ファインマン図

理論物理学において、ファインマン図とは、素粒子の挙動や相互作用を記述する数式を視覚的に表現したものである。この図は、1948年にこの図を導入したアメリカの物理学者リチャード・ファインマンにちなんで名付けられた。

理論素粒子物理学における確率振幅の計算には、多数の変数にわたる大規模で複雑な積分が必要となる。ファインマン図は、これらの積分を視覚的に表現するものである。

ファインマン図は、そうでなければ難解で抽象的な数式を視覚的に分かりやすく表現します。デイビッド・カイザーによれば、「20世紀半ば以降、理論物理学者は重要な計算を行う際にこのツールをますます活用するようになりました。ファインマン図は理論物理学のほぼあらゆる側面を革新しました。」^{[ 1 ]}

これらの図は主に量子場理論に適用されるが、固体理論などの物理学の他の分野でも使用できる。フランク・ウィルチェックは、2004年のノーベル物理学賞を受賞した計算は「ヒッグス粒子の生成と観測への道筋を確立した[ウィルチェックの]計算と同様に、ファインマン図がなければ文字通り考えられなかっただろう」と書いている。^{[ 2 ]}

ファインマン図は、量子力学または統計場理論の遷移振幅または相関関数に対する摂動項をグラフィカルに表現したものです。量子場理論の正準形式においては、ファインマン図は摂動 $S$ 行列のウィック展開における項を表します。一方、量子場理論の経路積分形式においては、遷移振幅は、粒子または場のいずれかの観点から、系の初期状態から最終状態までのあらゆる可能な履歴の重み付き和として表されます。この場合、遷移振幅は、量子系の初期状態と最終状態の間の $S$ 行列の行列要素として与えられます。

ファインマンは、エルンスト・シュトゥッケルベルクの陽電子の解釈を、陽電子が時間を逆行する電子であるかのように用いた。 ^{[ 3 ]}そのため、ファインマン図では反粒子は時間軸に沿って逆行するものとして表される。

動機と経歴

この図では、アップクォークとストレンジ反クォークからなるカオンが、弱い崩壊と強い崩壊の両方で3つのパイ中間子に崩壊します。その過程には、Wボソンとグルーオンが関与しており、それぞれ青色の正弦波と緑色の螺旋で表されています。

素粒子物理学において散乱断面積を計算する際、粒子間の相互作用は、入射粒子と出射粒子を記述する自由場から出発し、粒子が互いにどのように偏向するかを記述する相互作用ハミルトニアンを含めることによって記述できます。散乱の振幅は、すべての可能な中間粒子状態にわたる各相互作用履歴の合計です。相互作用ハミルトニアンが作用する回数は摂動展開の次数であり、場の時間依存摂動理論はダイソン級数として知られています。中間時間における中間状態がエネルギー固有状態（明確な運動量を持つ粒子の集合）である場合、この級数は旧式の摂動理論（または時間依存/時間順序付き摂動理論）と呼ばれます。

ダイソン級数は、ファインマン図の和として書き直すこともできます。各頂点ではエネルギーと運動量が保存されますが、エネルギーと運動量の4元ベクトルの長さは必ずしも質量と等しくなく、つまり中間粒子はいわゆるオフシェルです。ファインマン図は、「昔ながらの」項よりもはるかに扱いやすいです。なぜなら、昔ながらの方法では粒子と反粒子の寄与を別々に扱うからです。各ファインマン図は指数関数的に多くの昔ながらの項の和です。なぜなら、各内部線は粒子または反粒子のいずれかを個別に表すことができるからです。非相対論的古典理論では、反粒子はなく、倍増もないため、各ファインマン図には1つの項しか含まれません。

ファインマンは、場の理論のラグランジアンから任意の図の振幅を計算するための処方箋（下記のファインマンの規則）を与えた。各内部線は仮想粒子のプロパゲーターの因子に対応し、線が交わる各頂点はラグランジアンの相互作用項から導出される因子を与え、入射線と出射線はエネルギー、運動量、スピンを運ぶ。

ファインマン図は、数学的なツールとしての価値に加えて、粒子の相互作用の本質に関する深い物理的洞察を提供します。粒子はあらゆる方法で相互作用します。実際、中間的な仮想粒子は光速よりも速く伝播することが許されています。各最終状態の確率は、そのようなすべての可能性を合計することによって得られます。これは、ファインマンによって考案された量子力学の関数積分定式化と密接に関連しています（経路積分定式化を参照）。

このような計算を単純に適用すると、粒子間の短距離相互作用には粒子の自己相互作用を含めるための慎重な制限手順が必要となるため、振幅が無限大となる図が生成されることがよくあります。エルンスト・シュトゥッケルベルクとハンス・ベーテによって提案され、ダイソン、ファインマン、シュウィンガー、朝永らによって実装された繰り込み法は、この影響を補正し、厄介な無限大を解消します。繰り込み後、ファインマン図を用いた計算は、実験結果と非常に高い精度で一致します。

ファインマン図法と経路積分法は統計力学でも使用されており、古典力学にも応用できる。^{[ 4 ]}

別名

マレー・ゲルマンは、スイスの物理学者エルンスト・シュトゥッケルベルクにちなんで、ファインマン図をシュトゥッケルベルク図と常に呼んでいた。シュトゥッケルベルクは、何年も前に同様の表記法を考案していた。シュトゥッケルベルクは、量子場理論のための明らかに共変的な形式の必要性に動機づけられていたが、対称因子とループを扱う自動化された方法は提供しなかった。しかし、彼は経路積分を用いずに、粒子の時間的順方向と逆方向の経路という観点から正しい物理的解釈を最初に発見した人物である。^[⁵^]

歴史的に、共変摂動論の帳簿付けツールとして、グラフはファインマン・ダイソン図またはダイソン図と呼ばれていました^{[ 6 ]。}これは、導入当時は経路積分が馴染みのない概念であり、フリーマン・ダイソンが統計力学の摂動展開から借用した旧式の摂動論から導出した方が、以前の方法で訓練を受けた物理学者にとって理解しやすかったためです。^{[ a ]}ファインマンは、方程式とグラフで訓練を受けた物理学者を混乱させるこれらの図のために、懸命に働きかけなければなりませんでした。^{[ 7 ]}

物理的現実の表現

素粒子物理学の観点から書かれた基本相互作用のプレゼンテーション^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}において、ジェラルド・ト・フーフトとマルティヌス・フェルトマンは、基本粒子の量子散乱の物理を最も簡潔に表現するために、元の非正則化ファインマン図を採用することの妥当な議論を展開した。彼らの動機は、ジェームズ・ダニエル・ビョルケンとシドニー・ドレルの確信と一致している。^{[ 10 ]}

ファインマンのグラフと計算規則は、量子場理論を、理解したい実験数値と密接に関連する形で要約する。グラフによる理論の記述は摂動論を暗示するかもしれないが、多体問題におけるグラフ的手法の使用は、この形式が非摂動的な現象を扱うのに十分な柔軟性を持っていることを示している。ファインマンの計算規則の何らかの修正は、局所正準量子場理論の精緻な数学的構造よりも長く存続する可能性がある。

量子場理論において、ファインマン図はラグランジアンからファインマン規則によって得られる。

次元正則化は、ファインマン図の評価における積分を正則化する手法であり、補助的な複素パラメータ $d$ （次元と呼ばれる）の有理型関数となる値を積分に割り当てます。次元正則化では、ファインマン積分は時空次元 $d$ と時空点に依存する積分として表されます。

粒子経路解釈

ファインマン図は、量子場理論における粒子間の相互作用を図示したものです。粒子は図中の線で表されます。線は粒子の種類に応じて、波状であったり直線であったり、矢印が付いていたり付いていなかったりします。線同士が交わる点は頂点と呼ばれ、粒子が出会い相互作用する場所です。相互作用には、粒子の放出／吸収、粒子の偏向、粒子の種類の変化などがあります。

線には次の 3 種類があります。頂点を結ぶ内部線、初期状態を表す「過去」から頂点に伸びる入力線、最終状態を表す頂点から「未来」に伸びる出力線 (後者 2 つは外部線とも呼ばれます)。従来、図の下部が過去、上部が未来とされていましたが、あるいは、過去が左側、未来が右側とされていました。散乱振幅ではなく相関関数を計算する場合、過去と未来は関係なく、すべての線は内部線となります。粒子は、相関が計算される演算子の位置を表す小さな x で始まり、小さな x で終わります。

ファインマン図は、さまざまな形で起こりうる過程における全振幅への寄与を視覚的に表現したものです。入射粒子群が互いに散乱する場合、その過程は、粒子が時間的に逆行する経路も含め、考えられるすべての経路をたどる過程と考えることができます。

ファインマン図は、散乱過程における粒子の物理的な位置ではなく、粒子間の相互作用を表すグラフです。粒子散乱を記述する点では共通していますが、時空図やバブルチャンバー図とは異なります。バブルチャンバー図とは異なり、特定の粒子間の相互作用を表すのは、関連するすべてのファインマン図の総和のみです。粒子は相互作用するたびに特定の図を選択するわけではありません。総和の法則は重ね合わせの原理と一致しており、すべての図が全体の過程の振幅に寄与します。

説明

ファインマン図は、ある初期量子状態からある最終量子状態への量子遷移の振幅に対する摂動的な寄与を表す。

例えば、電子・陽電子対消滅の過程では、初期状態は電子1個と陽電子1個であり、最終状態は光子2個である。

慣例として、初期状態は図の左側に、最終状態は右側に配置されます（ただし、他のレイアウトも使用されます）。

初期状態にある粒子は、初期状態の方向（例えば左方向）を指す線で表されます。最終状態にある粒子は、最終状態の方向（例えば右方向）を指す線で表されます。

QEDは、電子や陽電子などの物質粒子（フェルミオンと呼ばれる）と交換粒子（ゲージボソンと呼ばれる）の2種類の粒子を扱います。これらはファインマン図で次のように表されます。

初期状態の電子は実線で表され、矢印は粒子のスピンを示し、頂点（→•）の方向を指しています。
最終状態の電子は線で表され、矢印は粒子のスピンを示し、頂点から離れる方向を向いています（•→）。
初期状態の陽電子は実線で表され、矢印は粒子のスピンを示し、頂点から離れる方向を指しています（←•）。
最終状態の陽電子は線で表され、矢印は粒子のスピンを示し、頂点に向かっています（•←）。
初期状態と最終状態における仮想光子は波線（~•と•~）で表されます。

QEDでは、各頂点には3本の線が接続されています。1本はボソン線、1本は頂点に向かう矢印を持つフェルミオン線、そしてもう1本は頂点から離れる矢印を持つフェルミオン線です。

頂点は、ボソン伝播関数またはフェルミオン伝播関数によって接続されます。ボソン伝播関数は、2つの頂点を結ぶ波線（•~•）で表されます。フェルミオン伝播関数は、2つの頂点を結ぶ矢印付きの実線（•←•）で表されます。

頂点の数は、遷移振幅の摂動級数展開における項の次数を示す。

電子・陽電子消滅の例

電子-陽電子消滅相互作用：

e ⁺ + e ⁻ → 2γ

2次ファインマン図からの寄与がある。

初期状態（下側、初期時間）には電子（e ⁻）が1つと陽電子（e ⁺）が1つあり、最終状態（上側、後期時間）には光子（γ）が2つあります。

正準量子化定式化

$量子系（漸近的に自由な状態間）が初期状態|$ $i$ $⟩$ から最終状態 $|$ $f$ $⟩$ へ遷移する確率振幅は、行列要素によって与えられる。

S_{\rm {fi}}=\langle \mathrm {f} |S|\mathrm {i} \rangle \;,

ここで $S$ は $S$ 行列である。時間発展演算子 $U$ に関して言えば、それは単純に

S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\left[\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\right]\;.

相互作用図では、これは次のように展開されます。

S={\mathcal {T}}\exp \left(-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau )\right).

ここで、 $H V$ は相互作用ハミルトニアンであり、 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ は演算子の時間順序積を表す。ダイソンの公式は、時間順序行列指数関数を相互作用ハミルトニアン密度のべき乗の摂動級数に展開する。

S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.

同様に、相互作用ラグランジアン $L V$ を用いると、次のようになる。

S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.

ファインマン図は、 $S$ 行列のダイソン級数の $n$ 次項 $S$ $($ $n$ $)$ における時間順序積のウィック展開の単一の項の図式表現である。

{\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{\text{A}}(\pm ){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,

ここで、 $N は$ 演算子の通常の順序の積を表し、(±) はフェルミオン演算子を交換してそれらを縮約 (プロパゲーター)にまとめるときに起こりうる符号の変化を処理し、 $A は$ すべての可能な縮約を表します。

ファインマンルール

図は、相互作用ラグランジアンに依存するファインマン規則に従って描かれています。QED相互作用ラグランジアンの場合

L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }

フェルミオン場 $ψ$ とボソンゲージ場 $Aμ$ の相互作用を記述するファインマン規則は、座標空間において次のように定式化できる $。$

各積分座標 $x j$ は点（頂点と呼ばれることもある）で表されます。
ボソン伝播関数は、2点を結ぶ波状の線で表される。
フェルミオン伝播関数は、2点を結ぶ実線で表される。
ボソン場 $A_{\mu }(x_{i})$ $は、点x i$ に接続された波線で表されます。
フェルミオン場 $ψ (x i)は、点$ $x i$ に矢印が付いた実線で表されます。
反フェルミオン場 $ψ (x i)$ は、点 $x i$ に実線で接続され、その点から離れる方向に矢印が付いた線で表されます。

例：QEDにおける二次プロセス

$S$ 行列の2次摂動項は

S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;

フェルミオンの散乱

被積分関数のウィック展開により、（とりわけ）次の項が得られる。

N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,

どこ

{\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}

は、ファインマンゲージにおける電磁収縮（プロパゲーター）です。この項は、右のファインマン図で表されます。この図は、以下のプロセスに寄与します。

電子^-電子^散乱（図の右側が初期状態、左側が最終状態）
e ⁺ e ⁺散乱（図の左側が初期状態、右側が最終状態）
e ⁻ e ⁺散乱（初期状態は図の下部/上部、最終状態は図の上部/下部）。

^{コンプトン散乱と電子・}陽電子^対の消滅／生成

拡張におけるもう1つの興味深い用語は

N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,

どこ

{\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}

はフェルミオン収縮（プロパゲーター）である。

経路積分定式化

経路積分では、場のラグランジアンをすべての可能な場の履歴にわたって積分することで、ある場の配置から別の場の配置へ移行する確率振幅を定義します。意味を成すためには、場の理論は明確に定義された基底状態を持つ必要があり、積分は虚時間軸に少し回転させて実行する必要があります。つまり、ウィック回転を行う必要があります。経路積分の形式は、上記の正準演算子の形式と完全に等価です。

スカラー場ラグランジアン

$一例として、 d$ 次元における自由相対論的スカラー場があり、その作用積分は次のようになる。

S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.

プロセスの非正規化確率振幅は次のとおりです。

\int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,

ここで $、A$ と $B$ は境界条件を定義する空間的超曲面です。開始超曲面上のすべての $φ (A)の集合は、$ 点粒子の開始位置に類似した場の初期値を与え、最終超曲面の各点における場の値 $φ (B)$ は最終場の値を定義します。この最終場の値は変化することが許容され、異なる振幅によって異なる値に落ち着くことができます。これが場間遷移振幅です。

経路積分は、初期状態と最終状態の間の演算子の期待値を与える。

\int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,

そして、AとBが無限の過去と無限の未来へと後退する極限においては、重要な寄与は基底状態からの寄与のみとなる（これは、経路積分が虚時間へとわずかに回転して定義されている場合にのみ厳密に成り立つ）。経路積分は次のように正規化される。

{\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.

この場の分配関数は、底部の正規化係数であり、虚時間軸に回転させた場合、零温度における統計力学的分配関数と一致する。

最初から連続体極限を考えると、初期振幅から最終振幅までの定義が曖昧になる。なぜなら、場のゆらぎが無限大になる可能性があるからである。したがって、経路積分は格子間隔 $a$ の離散的な正方格子上で考えることができ、極限 $a \to 0$ は慎重に扱う必要がある。最終結果が格子の形状や $a$ の値に依存しない場合、連続体極限が存在する。

格子状

格子上では、（i）場はフーリエモードで展開できる。

\phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi )^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.

$ここでは、$ 積分領域は $kに関して一辺の長さ$ $が 2π$ $/ a の$ 立方体に制限されているため、大きな $k$ の値は許容されません。 $k測度には$ フーリエ変換からの2 $π$ の因子が含まれており、これは QFT における $k$ 積分の最良の標準規約です。格子は、大きな $k$ でのゆらぎがすぐに寄与することを許さず、 $a$ $\to 0 の極限でのみ寄与し始めることを意味します。場合によっては、格子の代わりに、場のモードが$ $k$ の大きな値で単にカットオフされます。

時空体積を有限とみなすことも時折便利である。そうすることで、 $k$ モードも格子状になる。これは厳密には空間格子極限ほど必要ではない。なぜなら、 $kにおける相互作用は局在化していないからである。しかし、$ $k$ 積分の前に現れる因子や、運動量保存則を満たすデルタ関数を把握する上で便利である。

格子上では、（ii）動作を離散化する必要がある。

S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big )}^{2}\,,

ここで $、⟨ x, y ⟩$ $は最も近い格子点x$ と $y$ のペアです。離散化は、導関数 $\partial μ φ$ の意味を定義するものと考えるべきです。

格子フーリエモードの観点から見ると、作用は次のように記述できる。

S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big )}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big )}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big )}{\Big )}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.

$kが$ ゼロに近い場合、これは次のようになります。

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.

これで、元の作用の連続フーリエ変換が得られました。有限体積では、量 $d d kは$ 無限小ではなく、隣接するフーリエモードによって作られるボックスの体積、つまり $(⁠ 2π / V ⁠) d$ になります。

場 $φ$ は実数値であるため、フーリエ変換は以下を満たす。

\phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.

実部と虚部に関して言えば、 $φ (k)の実部は$ $k$ の偶関数であり、虚部は奇関数である。フーリエ変換は二重カウントを避けるため、次のように記述できる。

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)

$各ペア(k, -k) について$ ちょうど一度だけ積分する積分領域上で。

作用を持つ複素スカラー場の場合

S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x

フーリエ変換は制約を受けない。

S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}

そして積分はすべての $k$ について行われる。

$φ (x)$ のすべての異なる値について積分することは、すべてのフーリエモードについて積分することと同等です。なぜなら、フーリエ変換は場の座標のユニタリ線形変換だからです。多次元積分で座標を線形変換によって変更すると、新しい積分の値は変換行列の行列式によって与えられます。

y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,

それから

\det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.

$A$ が回転である場合、

A^{\mathrm {T} }A=I

したがって、 $det A = \pm1$ となり、その符号は回転に鏡映が含まれるかどうかによって決まります。

$座標をφ (x)から$ $φ (k)$ に変換する行列は、フーリエ変換の定義から読み取ることができます。

A_{kx}=e^{ikx}\,

そしてフーリエの逆変換定理は、その逆関数を教えてくれます。

A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,

$これは、 2π$ の係数を除いて複素共役転置行列です。有限体積格子では、行列式はゼロではなく、場の値に依存しません。

\det A=1\,

そして、経路積分は $k$ の各値において別の因子となる。

\int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,

因子 $d d k$ は、正方格子ボックス内の $k$ 空間における離散セルの微小体積である。

d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,

ここで、 $L$ は箱の一辺の長さである。各因子は振動するガウス分布であり、体積が無限大に近づくにつれてガウス分布の幅は発散する。

虚時間では、ユークリッド作用は正定値となり、確率分布として解釈できる。場が値 $φk を$ 持つ確率は

e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.

場の期待値とは、確率分布に従って選択された場の統計的期待値のことである。

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}

$φ k$ の確率は積であるため、 $k$ の各値における $φ k$ の値は独立にガウス分布に従います。ガウス分布の分散は $⁠$ $1$ $/$ $k$ $2$ $d$ $d$ $k$ $⁠$ であり、形式的には無限大ですが、これは単に無限体積では変動が無制限であることを意味します。任意の有限体積では、積分は離散和に置き換えられ、積分の分散は $⁠$ $V$ $/$ $k$ $2$ $⁠$ となります。

モンテカルロ

経路積分は、ユークリッドスカラー場構成を生成する確率的アルゴリズムを定義します。波数 k における各フーリエモードの実部と虚部をランダムに選択し、 $分散 1$ $/$ $k$ $2 の$ $ガウス$ $乱数$ にします $。$ これにより、構成 $φ$ $C$ $($ $k$ $)$ がランダムに生成され、フーリエ変換により $φ$ $C$ $($ $x$ $)が得られます。実スカラー場の場合、アルゴリズムは各ペア$ $φ$ $($ $k$ $) と$ $φ$ $(-$ $k$ $)$ のうち 1 つだけを生成し、2 番目を最初の複素共役にする必要があります。

相関関数を求めるには、この手順でフィールドを繰り返し生成し、統計的平均値を求めます。

\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}

ここで $、| C |$ は配置の数であり、和は各配置における場の値の積です。ユークリッド相関関数は、統計学または統計力学における相関関数とまったく同じです。量子力学的相関関数は、ユークリッド相関関数の解析接続です。

二次作用を持つ自由場の場合、確率分布は高次元ガウス分布となり、統計平均は明示的な式で与えられる。しかし、モンテカルロ法は、相関関数に閉じた形式が存在しないボソン相互作用場理論にも有効である。

スカラープロパゲーター

各モードは独立にガウス分布に従う。場モードの期待値は簡単に計算できる。

\left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,

$k \neq k'$ の場合、2 つのガウス確率変数は独立であり、両方とも平均がゼロになります。

\left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}

有限体積 $V$ では、2 つの $k$ 値が一致するとき、これはガウス分布の分散であるため、無限体積の極限では、

\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}

厳密に言えば、これは近似値である。格子伝播関数は次のようになる。

\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big )}}}

しかし、 $k = 0$ 付近では、格子間隔に比べて長い磁場変動に対して、2 つの形式は一致する。

デルタ関数には 2π の因子が含まれている $ため$ 、 $k$ 積分の測定における 2π の因子 $が$ 相殺されます。

\delta (k)=(2\pi )^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,

ここで $、δ D (k)$ は通常の 1 次元ディラックのデルタ関数です。デルタ関数に関するこの慣例は普遍的なものではなく、デルタ関数 (および $k積分) に 2$ $π$ の係数を明示的に残す著者もいます。

運動方程式

伝播関数の形式は、場の運動方程式を用いることでより簡単に求めることができる。ラグランジアンから得られる運動方程式は次のようになる。

\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,

期待値では、これは次のように表されます。

\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0

ここで、導関数は $x$ に作用し、恒等式は $x$ と $y が$ 一致する場合を除いてどこでも成り立ち、演算子の順序が重要となる。特異点の形状は、正準交換関係からデルタ関数であると理解できる。(ユークリッド)ファインマン伝播関数 $Δ を$ 、時間順序付けされた 2 点関数 (経路積分から得られるもの) のフーリエ変換として定義する。

\partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,

となることによって：

\Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}

運動方程式が線形であれば、プロパゲーターは常に自由ラグランジアンを定義する二次形式行列の逆数になります。なぜなら、これが運動方程式を与えるからです。これは経路積分からも容易にわかります。ユークリッド理論では、因子 $iは消えます。$

ウィックの定理

各場モードは独立したガウス分布であるため、多数の場モードの積の期待値はウィックの定理に従う。

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle

フィールドモードがペアで一致しない限り、はゼロになります。これは、 $φの数が奇数の場合はゼロであり、$ $φ$ の数が偶数の場合は、デルタ関数を使用して各ペアからの寄与に等しくなります。

\left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}

ここで、和はフィールドモードをペアに分割した各部分について、積はペアについて取られます。例えば、

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}

ウィックの定理の解釈としては、各場の挿入をぶら下がった線と考えることができ、期待値は、線をペアでつなぎ、ペア内の各パートナーの運動量が等しくなるようにデルタ関数因子を置き、伝播関数で割ることによって計算される、というものがある。

高次ガウスモーメント ― ウィックの定理の完成

ウィックの定理が証明される前に、微妙な点が残されています。 $\phi$ s は同じ運動量を持つか? 奇数の場合、積分はゼロになります。負の値は正の値と相殺されます。しかし、偶数の場合、積分は正になります。前のデモンストレーションでは、 $\phi$ sはペアでのみ一致する。

しかし、この定理は、任意の数の $\phi$ これらは等しく、これはガウス積分の注目すべき特性である。

I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}

{\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}

$I$ で割ると、

\left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}

\left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}

ウィックの定理が正しければ、高次モーメントは、 $2 n 個$ の異なる $x$ のリストのすべての可能なペアリングによって与えられる。

\left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle

ここで、 $x は$ すべて同じ変数であり、添え字はそれらをペアにする方法の数を追跡するためのものです。最初の $x は$ $2 n - 1$ 個の他の xとペアにすることができ、残りは $2 n - 2 個$ です。次にペアになっていない $x は$ $2 n - 3 個の$ 異なる $x$ とペアにすることができ、残りは $2 n - 4 個です。以下同様です。つまり、修正されていないウィックの定理によれば、$ $x 2 n$ の期待値は次のようになります。

\left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}

そして、これがまさに正解です。つまり、内部変数の運動量がいくつ一致しても、ウィックの定理は成り立つのです。

交流

相互作用は高次の寄与によって表されます。なぜなら、二次寄与は常にガウス分布に従うからです。最も単純な相互作用は、作用を持つ四次自己相互作用です。

S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

組み合わせ因子4!の理由はすぐに明らかになるでしょう。格子（または連続体）フーリエモードを用いて作用を記述すると次のようになります。

S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.

ここで $S F$ は自由作用であり、その相関関数はウィックの定理によって与えられる。経路積分における $Sの指数関数は$ $λ$ のべき乗で展開することができ、自由作用に対する一連の補正を与える。

e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)

完全な作用の経路積分は、自由作用に対する補正のべき級数になります。Xで表される項は、 $φ$ $(k) の$ 各因子に対応する4つの半直線として考えるべきであり、これらの半直線は頂点で交わり、運動量の合計がすべて等しくなるようにするデルタ関数を寄与します。

$相互作用理論における相関関数を計算するには、 X$ 項からの寄与が必要になります。例えば、4場相関関数の経路積分は次のようになります。

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}

自由場では運動量 $k が$ ペアで等しい場合にのみ非ゼロであったものが、今では $k$ のすべての値に対して非ゼロになります。挿入 $φ (k i)の運動量は、展開における$ $X$ sの運動量と一致させることができます。挿入は、運動量 $k$ を運ぶものの積分されない半直線 (この場合は 4 つ) としても考えることができます。

最も低い次数の寄与は、作用のテイラー展開における最初の非自明な項 $e - S F X$ $から生じる。ウィックの定理によれば、 X$ 半線における運動量、すなわち $X$ における $φ (k)$ 因子は、対になった外部半線の運動量と一致する必要がある。新しい寄与は次のように表される。

\lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.

$X$ 内部の 4!は、 $X$ 内の半線と外部の半線を対応させる方法がちょうど 4! 通りあるため相殺されます。ウィックの定理により、 $k 1,2,3,4$ の値に関係なく、これらの半線をペアで対応させるさまざまな方法はそれぞれちょうど 1 回ずつ寄与します。

ファインマン図

作用を $Xのべき乗で展開すると、$ $X$ の数が次第に大きくなる一連の項が得られます。ちょうど $n個の$ $X$ を含む項からの寄与は $n$ 次項と呼ばれます。

n次項は次のようになります $。$

$4 n 個の$ $内部半線は、 X$ sからの $φ (k)$ の因子です。これらはすべて頂点で終わり、すべての可能な $k$ について積分されます。
積分における $φ (k)$ 挿入から生じる外部半線。

ウィックの定理によれば、各半直線のペアは直線になるようにペアにされなければならず、この直線は係数を与える。

{\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}

これは寄与を乗算します。つまり、線を構成する 2 つの半線は、等しく反対の運動量を持つように強制されます。線自体は、線に平行に描かれた矢印で示され、線内の運動量 $k$ でラベル付けされます。矢印の末端の半線は運動量 $k$ を持ち、先端の半線は運動量 $- k$ $を持ちます。2 つの半線のうちの 1 つが外部である場合、内部kが外部$ $k$ と等しくなるように強制されるため、内部 $k$ に関する積分は消滅します。両方とも内部である場合、 $k$ に関する積分は残ります。

$X内の半線と挿入を表す外部半線$ $を$ リンクして形成される図は、この理論のファインマン図です。各線は伝播関数である 1 / k 2 の係数を持ち $、$ $頂点$ $から$ $頂点$ $へ$ $進むか、挿入で終わります。内部の場合は、積分されます。各頂点では、入ってくるk$ の総数は出ていく $k の$ 総数に等しくなります。

半線を線に繋げて図を作成する方法の数は、指数関数のテイラー級数と各頂点の 4! から生じる階乗因子をほぼ完全に打ち消します。

ループ順序

フォレスト図とは、内部のすべての線が外部の線によって完全に決定される運動量を持ち、各頂点において流入運動量と流出運動量が等しいという条件を満たす図のことです。これらの図の寄与は、積分を伴わないプロパゲーターの積となります。ツリー図は、連結されたフォレスト図です。

樹形図の例としては、4本の外部線がそれぞれ $Xで終わるものが挙げられます。また、3本の外部線が$ $X$ で終わり、残りの半分の線が別の $X$ に合流し、その $X$ の残りの半分の線が外部線に分岐する図も樹形図の一例です。これらはすべて森図でもあります（すべての樹形図は森図です）。樹形図ではない森図の例としては、8本の外部線が2つの $X$ で終わるものが挙げられます。

これらのすべての場合において、すべての内部線上の運動量は、外部運動量と各頂点における運動量保存の条件によって決定されることを容易に確認できる。

フォレスト図ではない図はループ図と呼ばれ、例えば、 $X$ 字型の2本の線が外部の線に接続され、残りの2本の線が互いに接続されている図などが挙げられます。互いに接続されている2本の線は、どちらも同じ頂点に出入りするため、どのような運動量を持つかは問いません。より複雑な例としては、2つの $X$ 字型の脚を互いに一致させることで接続された図があります。この図には外部の線は一切ありません。

ループ図がループ図と呼ばれる理由は、運動量保存則によって未決定のまま残される $k積分の数が、図中の独立した閉ループの数に等しいからである。ここで、独立したループは$ ホモロジー理論と同様に数えられる。ホモロジーは実数値（実際には $R d$ 値）であり、各線に関連付けられた値は運動量である。境界演算子は、各線を、先頭に正の符号、末尾に負の符号を持つ端点の合計に取り込む。運動量が保存される条件は、 $k$ 値重み付きグラフの境界がゼロであるという条件と全く同じである。

$有効なk$ 値の集合は、閉ループが存在する場合にはいつでも任意に再定義できます。閉ループとは、同じ頂点を二度と訪れない隣接する頂点の循環経路のことです。このようなサイクルは、仮想的な 2 セルの境界と考えることができます。運動量を保存する (つまり境界がゼロである) グラフの $kラベル付けは、$ $k$ の再定義(つまり 2 セルの境界まで) まで、グラフの第一ホモロジーを定義します。決定されていない独立運動量の数は、独立ホモロジーループの数に等しくなります。多くのグラフでは、これは最も直感的な方法で数えたループの数に等しくなります。

対称性因子

半線を繋ぎ合わせて特定のファインマン図を形成する方法は数多くあり、ウィックの定理によれば、半線をペアにするそれぞれの方法は等しく寄与する。多くの場合、これにより各項の分母にある階乗は完全に相殺されるが、相殺が不完全な場合もある。

相殺されない分母は、図の対称性因子と呼ばれる。各図の相関関数への寄与は、その対称性因子で割らなければならない。

例えば、2本の外部線が1つの $X$ に結び付けられ、残りの2本の半線が $互いに$ 結び付けられて形成されるファインマン図を考えてみましょう。外部の半線をXに結び付ける方法は4×3 $通り$ あり、残りの2本の線を互いに結び付ける方法は1通りしかありません。Xは $4$ ! = 4×3×2で割り切れますが、 $Xの$ 半線を結び付けて図を作成する方法は4 × 3通りしかないので、この図の寄与は2で割り切れます。

$別の例として、1 つのX$ のすべての半線を別の $X$ のすべての半線に接続して形成される図を考えてみましょう。この図は外部の線に接続しないため、真空バブルと呼ばれます。この図を形成する方法は 4! 通りありますが、分母には 2! (指数展開から、 $Xが 2 つある) と 4! の 2 つの因数$ が含まれています。寄与は4 ! / 2 × 4! × 4! = 1 / 48で乗算されます。

$もう1つの例は、2つのX$ から形成されるファインマン図です。各 $Xは2つの外部線にリンクし、各$ $X$ の残りの2つの半線は互いに結合されます。Xを2つの外部線にリンクする方法の数は $4$ ×3であり、どちらの $Xもどちらのペアにもリンクできるため、係数2が追加されます。2つの$ $X$ の残りの2つの半線は2通りの方法で互いにリンクできるため、図を形成する方法の総数は4×3×4×3×2×2となり、分母は4!×4!×2!です。全体の対称性係数は2であり、この図の寄与は2で割られます。

対称性因子定理は、一般的な図の対称性因子を与える。すなわち、各ファインマン図の寄与は、その図が持つ対称性の数である自己同型群の位数で割らなければならない。

ファインマングラフの自己同型写像とは、以下の性質を持つ、線分の置換 $Mと頂点分の置換$ $Nのことである。$

直線 $l$ が頂点 $v$ から頂点 $v'$ へ向かう場合、 $M (l)は$ $N (v)$ から $N (v')$ へ向かう。直線が無向である場合（実スカラー場の場合など）、 $M (l)は$ $N (v')$ から $N (v)$ へ向かうこともできる。
線分 $l が$ 外部の線分で終わる場合、 $M (l) も$ 同じ外部の線分で終わります。
異なる種類の線がある場合、 $M (l) は$ その種類を保持する必要があります。

この定理は粒子経路の観点から解釈できる。すなわち、同一の粒子が存在する場合、すべての中間粒子に関する積分は、同一の粒子を入れ替えることによってのみ異なる状態を二重にカウントしてはならない。

証明：この定理を証明するには、図のすべての内部線と外部線に固有の名前を付けます。次に、一方の半分の線をその名前に、もう一方の半分の線をその名前にリンクさせて図を作成します。

次に、名前付き図を作成する方法の数を数えてみましょう。Xの各順列は $、$ 名前と半線をリンクする異なるパターンを与え、これは $n!の倍数になります。単一の$ $X$ 内の半線の各順列は4!の倍数になります。したがって、名前付き図は、ファインマン展開の分母と同じ数だけ作成できます。

しかし、名前のない図の数は、グラフの自己同型群の位数だけ、名前のある図の数よりも少ない。

連結図：連結クラスター定理

大まかに言えば、ファインマン図は、すべての頂点とプロパゲーター線が、図自体の頂点とプロパゲーターのシーケンスによってリンクされている場合に連結であると呼ばれます。無向グラフとして見れば、それは連結です。量子場理論におけるこのような図の顕著な重要性は、それらが量子分配関数 $Z [J]$ を決定するのに十分であるという事実によるものです。より正確には、連結ファインマン図は、

iW[J]\equiv \ln Z[J].

これを理解するには、次のことを思い出す必要がある。

Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}

$D k$ は、いくつかの連結成分 $C i$ から構成されると考えられる（任意の）ファインマン図から構築される。ファインマン図 $D$ $k$ 内に成分 $C$ $i$ $のn i$ 個の（同一の）コピーが存在する場合、対称性因子 $n$ $i$ $!$ を含める必要がある。しかし、最終的には、ファインマン図 $D$ $k$ の分配関数への各寄与は、一般的な形式となる。

\prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}

ここで $、i は$ （無限に）多くの連結可能なファインマン図を表す。

$D kから$ $Z [J]$ へのこのような寄与を順次生成するスキームは、

\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots

したがって、

Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.

正規化 $Z 0 = exp W [0] = 1$ を確立するには、すべての接続された真空図、つまりソース $J$ のない図(ファインマン図の外部脚と呼ばれることもあります)を計算するだけです。

連結クラスター定理は、 1955年にキース・ブリュックナーによって4次の場合には初めて証明され、1957年にジェフリー・ゴールドストーンによって無限次の場合には証明された^{。[ 11 ]}

真空気泡

連結クラスター定理の直接的な帰結として、相関関数を計算する際に、外部線を持たないすべての真空バブル（図）が相殺される。相関関数は次のように与えられる。

\left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.

分子は、外部線に全く接続していない非連結図も含めた、すべてのファインマン図の総和です。連結図に関しては、分子には分母と同じ真空バブルの寄与が含まれます。

\int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.

$ここで、 E$ 図の総和には、接続された各成分が少なくとも1つの外部線で終わる図のみが含まれます。真空バブルは外部線に関係なく同じであり、全体的な乗法因子を与えます。分母はすべての真空バブルの総和であり、割り算によって2番目の因子が消去されます。

真空バブルは、 $Z$ 自体を決定するためにのみ有用であり、経路積分の定義から、Zは次のように表される。

Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}

ここで、 $ρ$ は真空中のエネルギー密度です。各真空バブルには、各頂点で全 $k をゼロにする$ $δ (k)$ の係数が含まれており、外部線がない場合、運動量保存則が過剰に強制されるため、この係数には $δ$ $(0)$ が含まれます。有限体積では、この係数は時空全体の体積として識別できます。体積で割ると、真空バブルの残りの積分には解釈があります。それは、真空のエネルギー密度への寄与です。

情報源

相関関数は連結したファインマン図の和であるが、この形式体系では連結図と非連結図を異なるものとして扱う。内部線は頂点で終わるが、外部線は挿入点へと伸びる。ソースを導入することで、1本の線が終点となる場所に新たな頂点を設けることが可能になり、形式体系が統一される。

ソースとは、外部場、つまり作用に寄与する場であって、動的変数ではない場のことである。スカラー場ソースとは、(ローレンツ)ラグランジアンに項を寄与する別のスカラー場 $h$ のことである。

\int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,

ファインマン展開では、これは頂点で終わる半線を持つ H 項に寄与します。ファインマン図の線は、 $X$ 頂点または $H$ 頂点のいずれかで終わることができ、 $H頂点に入る線は 1 つだけです$ $。H$ 頂点に対するファインマン規則は、運動量 $k$ を持つ $H$ からの線は $h$ $($ $k$ $)$ の係数を得るということです。

ソースが存在する場合の連結図の合計には、ソースが存在しない場合の連結図に対応する項が含まれますが、この場合、図はソースで終了することができます。従来、ソースは挿入と同様に、1本の線が伸びた小さな「×」で表されます。

\log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,

ここで、 $C (k 1,..., k n)は、示されたように運動量を持つ$ $n 本$ の外部線を持つ連結図です。総和は、これまでと同様に、すべての連結図について取られます。

場 $h$ は動的ではないため、 $h$ に関する経路積分は存在しません。h $は$ ラグランジアンのパラメータであり、点ごとに変化します。場の経路積分は次のとおりです。

Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,

$そしてそれは、各点におけるh$ の値の関数です。この式を解釈する一つの方法は、場空間におけるフーリエ変換であると考えることです。R n 上に確率密度が存在する場合 $、$ その確率密度のフーリエ変換は次のようになります $。$

\int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,

$フーリエ変換は振動指数関数の期待値である。ソースh (x)$ が存在する場合の経路積分は次のようになる。

Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle

これは格子上では、各場値に対する振動指数関数の積となる。

\left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle

デルタ関数のフーリエ変換は定数であり、これによりデルタ関数の形式的な表現が得られる。

\delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk

これは、経路積分における場のデルタ関数がどのような形をしているかを示しています。2 つのスカラー場 $φ$ と $η$ の場合、

\delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,

これはフーリエ変換座標、すなわち $h$ について積分する。この式は、通常の多次元積分でデルタ関数を用いて座標を変更するのと同様に、経路積分において場の座標を形式的に変更するのに役立つ。

$分配関数は体h$ の関数となり、物理的な分配関数は $h$ が零関数である場合の値となる。

相関関数は、ソースに関する経路積分の微分である。

\left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.

ユークリッド空間では、作用へのソース寄与は依然として係数 $i$ を伴って現れるため、フーリエ変換は依然として行われます。

スピン1/2 ;「光子」と「ゴースト」

スピン1/2 :グラスマン積分

場の経路積分はフェルミ場の場合にも拡張できるが、そのためには積分の概念を拡張する必要がある。自由フェルミ場のグラスマン積分は高次元の行列式またはパフィアンであり、フェルミ場に適した新しいタイプのガウス積分を定義する。

グラスマン積分の2つの基本公式は以下のとおりです。

\int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,

ここで、 $M$ は任意の行列であり、 $ψ 、 ψ$ $は各インデックスi$ に対する独立したグラスマン変数であり、

\int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,

ここで、 $A$ は反対称行列、 $ψ$ はグラスマン変数の集合であり、⁠ 1 / 2 ⁠ は二重カウントを防ぐためです ( $ψ$ $i$ $ψ$ $j$ $= -$ $ψ$ $j$ $ψ$ $i$ であるため)。

行列表記では、 $ψ$ と $η$ はグラスマン値を持つ行ベクトル、 $η$ と $ψ$ はグラスマン値を持つ列ベクトル、 $M$ は実数値行列である。

Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,

ここで、最後の等式はグラスマン積分の並進不変性の結果である。グラスマン変数 $ηは$ $ψ$ の外部ソースであり、 $η$ に関して微分すると $ψ$ の因子が引き下げられる。

\left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}

$再び、概略的な行列表記で示す。上記の式の意味は、 η$ と $η$ の適切な成分に関する微分が $M -1$ の行列要素を与えるということである。これは、複素ボソン場のガウス積分に対するボソン経路積分公式と全く同じである。

\int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}

\left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.

つまり、プロパゲーターは、ボーズの場合とフェルミの場合の両方において、作用の二次部分の行列の逆行列となる。

実グラスマン場、マヨラナフェルミオンの場合、経路積分はパフィアンとソース二次形式の積で表され、その式は実ボソン場の場合と同様に、行列式の平方根を与えます。プロパゲーターは依然として二次部分の逆数です。

無料のディラック・ラグランジアン：

\int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi

通常の経路積分におけるクライン・ゴルドン・ラグランジアンがスカラー場の運動方程式と交換関係を与えるのと同様に、これは形式的にはディラック場の運動方程式と反交換関係を与える。ディラック場の空間フーリエ変換をグラスマン代数の新しい基底として用いることで、ディラック作用の二次項は簡単に逆変換できるようになる。

S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.

異なる $k$ の値は混ざり合わないため、プロパゲーターは $ψ$ $($ $k$ $)$ と $ψ$ $($ $k$ $)$ を結びつける行列 $Mの逆行列です。$

\left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}

ウィックの定理の類似版は、 $ψ$ と $ψを$ ペアで対応させる。

\left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}

$ここで S は、 ψ$ と $ψ$ のシーケンスを並べ替えて、デルタ関数を構成するペアを隣り合わせ、 $ψ$ $がψ$ の直前に来るようにする置換の符号です。 $ψ 、 ψ$ ペアはグラスマン代数の可換要素であるため、ペアの順序は関係ありません。複数の $ψ 、 ψ$ ペアが同じ $k$ を持つ場合、積分はゼロになり、この場合、ペアリングの合計がゼロになることは簡単に確認できます (ペアリングの数は常に偶数です)。これは、以前にボソン的ウィックの定理を完成させた高次のガウスモーメントのグラスマン類似物です。

スピン⁠ 1 / 2 ⁠ディラック粒子の規則は次のとおりです。プロパゲーターはディラック演算子の逆であり、線には複素スカラー場の場合と同様に矢印があり、図は閉じたフェルミループごとに全体的な係数 −1 を取得します。フェルミループの数が奇数の場合、図は符号が反転します。歴史的に、−1 規則はファインマンにとって発見するのが非常に困難でした。彼はグラスマン積分の適切な理論を持っていなかったため、長い試行錯誤の過程を経てそれを発見しました。

この規則は、頂点におけるフェルミ線の数が常に偶数であるという観察から導かれる。ラグランジアンの各項は常にボソンでなければならない。フェルミループは、フェルミオン線をたどって開始点に戻るまで数え、その後、それらの線を図から削除することによって数えられる。このプロセスを繰り返すと、最終的にすべてのフェルミオン線が消去される。これがグラフを2色にするためのオイラーアルゴリズムであり、各頂点の次数が偶数である限り機能する。オイラーアルゴリズムのステップ数は、ラグランジアンのすべての項がフェルミ場に関して正確に2次である一般的な特殊なケース、つまり各頂点に正確に2つのフェルミオン線がある場合にのみ、独立したフェルミオン相同サイクルの数と等しくなる。4つのフェルミ相互作用がある場合（弱い核相互作用のフェルミ有効理論など）、 $k$ 積分はフェルミループよりも多くなる。この場合、計数規則は、各頂点のフェルミ線をペアにして、ラグランジアンの項のボソン因子を形成するオイラーアルゴリズムを適用し、1本の線で頂点に入った場合は、常にパートナーの線で出る必要がある。

この規則を明確にし証明するために、フェルミオン場を持つラグランジアンの項である頂点から構成されるファインマン図を考えてみましょう。完全な項はボソンであり、グラスマン代数の可換要素であるため、頂点が現れる順序は重要ではありません。フェルミ線はループ状に連結されており、ループをたどる際に、符号のコストなしに、頂点の項を順番に並べ替えることができます。例外は、開始点に戻る場合で、最後の半線は連結されていない最初の半線と結合する必要があります。これには、最後の $ψ を$ $最初のψ$ の前に移動するための 1 つの順列が必要であり、これにより符号が得られます。

この規則は、内部線における排他原理の唯一の目に見える効果である。外部線が存在する場合、同一粒子に対する2つのフェルミ挿入を入れ替えると振幅は反対称になる。これは、フェルミ場のソース自体がグラスマン値をとるため、ソース形式では自動的に起こる。

スピン1：光子

光子の単純なプロパゲーターは無限大である。なぜなら、A場のラグランジアンは次のようになるからである。

S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.

伝播関数を定義する二次形式は非可逆である。その理由は、場のゲージ不変性にある $。A$ に勾配を加えても物理法則は変化しない。

この問題を解決するには、ゲージを固定する必要があります。最も便利な方法は、 $A$ の発散が、点ごとに値がランダムな関数 $fであると要求することです。f の値について積分しても、$ $ゲージ$ の選択を決定するだけなので問題ありません。この手順により、 $A$ の経路積分に次の因子が挿入されます。

\int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.

最初の要素であるデルタ関数はゲージを固定します。2番目の要素は、等価でないゲージ固定となる $f$ の異なる値を合計します。これは単純に

e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.

ゲージ固定による追加項は自由ラグランジアンの後半部分を打ち消し、ファインマンラグランジアンを与える。

S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }

$これは、 A$ の各成分に対応する4つの独立した自由スカラー場のようなものです。ファインマン伝播関数は次のとおりです。

\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.

唯一の違いは、ローレンツの場合、一方のプロパゲーターの符号が間違っていることです。時間的成分のプロパゲーターの符号が逆になります。これは、これらの粒子の状態が負のノルムを持つことを意味します。つまり、これらは物理的な状態ではありません。光子の場合、図式法によってこれらの状態が物理的ではないことを容易に示すことができます。これらの状態の寄与は縦方向の光子と相殺され、任意の $k$ の値に対して 2 つの物理的な光子偏光の寄与だけが残ります。

$f$ に関する平均化を 1/2 以外の係数で行うと、2つの項は完全には打ち消し合わない。これにより、係数を持つ共変ラグランジアンが得られる。 $\lambda$ これは何にも影響を与えません。

S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)

QEDの共変プロパゲーターは次のとおりです。

\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.

スピン1：非可換幽霊

非可換ゲージ場に対するファインマン規則を見つけるには、経路積分における変数変換を考慮するように、ゲージ固定を行う手順を慎重に修正する必要がある。

ゲージ固定係数には、デルタ関数をポップすることによる追加の決定要因があります。

\delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M

行列式の形式を見つけるには、まず、角度 $θではなく$ $r$ のみに依存する関数 $f$ の単純な2次元積分を考えます $。θ$ に関する積分を挿入すると次のようになります。

\int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy

微分因子により、 $θ$ のデルタ関数をポップすると積分が除去されることが保証されます。積分の順序を交換すると、

\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy

しかし、これでデルタ関数を $y$ にポップすることができる。

\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.

$θ$ に関する積分は、全体として $2π$ の係数を与えるだけであり、 $θ$ の変化に伴う $y$ の変化率は $x$ であるため、この演習は動径関数の極座標積分の標準的な公式を再現します。

\int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx

非可換ゲージ場の経路積分では、同様の操作は次のようになる。

\int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,

式の先頭にある係数はゲージ群の体積であり、定数項が含まれていますが、これは無視できます。残りの積分はゲージ固定作用に関するものです。

\int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,

共変ゲージを得るためのゲージ固定条件は、アーベルの場合と同じです。

\partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,

微小ゲージ変換によるその変動は次式で与えられる。

\partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,

ここで、 $α$ は、無限小ゲージ変換を実行する各点におけるリー代数の随伴値要素である。これにより、ファデエフ・ポポフ行列式が作用に追加される。

\det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,

これは、ゴーストフィールドを導入することでグラスマン積分として書き換えることができる。

\int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,

行列式は $fに依存しないため、$ $f$ の測度をアーベルの場合と同様に選択することで、 $f$ に関する経路積分からファインマン伝播関数（または共変伝播関数）が得られます。完全なゲージ固定作用は、ファインマンゲージにおけるヤン・ミルズ作用にゴースト作用を加えたものとなります。

S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,

この図は、この作用から導出される。スピン1場のプロパゲーターは、通常のファインマン形式をとる。次数3の頂点には、結合定数が構造定数である運動量因子があり、次数4の頂点には、結合定数が構造定数の積である。さらに、 $A$ ループ内の時間的状態と縦方向状態を打ち消すゴーストループも存在する。

アーベルの場合、共変ゲージの行列式は $A$ に依存しないため、ゴーストは連結図に寄与しない。

粒子経路表現

ファインマン図は、もともとファインマンが試行錯誤の末に、異なる種類の粒子軌道がS行列に及ぼす影響を表す方法として発見したものである。

シュウィンガーの代理人

ユークリッドスカラープロパゲーターは、示唆に富む表現を持つ。

{\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau

この恒等式（これは基本的な積分である）の意味は、フーリエ変換によって実空間に展開することでより明確になる。

\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}

$τ$ の任意の値におけるプロパゲーターへの寄与は、幅 $\sqrtτ$ のガウス分布です。0 から $x$ への全伝播関数は、正規化されたガウス分布のすべての適切な時間 $τ$ にわたる重み付き和であり、時間 $τのランダムウォークの後に$ $x$ に到達する確率です。

すると、プロパゲーターの経路積分表現は次のようになる。

\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}

これは、シュウィンガー表現の経路積分による書き換えである。

シュウィンガー表現は、プロパゲーターの粒子的な側面を明確にするのに役立つだけでなく、ループ図の分母を対称化するためにも役立つ。

分母をまとめる

$シュウィンガー表現は、$ ループ図に直接的な実用的応用が可能である。例えば、 $φ4$ 理論における、2つの $x$ を2つの半線で結合し、残りの線を外部線とすることによって形成される図の場合、ループ内の内部プロパゲーターに関する積分は次のようになる。

\int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.

ここでは、一方の線が運動量 $k$ を持ち、もう一方の線が $k + p を$ 持つ。この非対称性は、すべてをシュウィンガー表現にすることで解消できる。

\int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.

指数は主に $t + t'$ に依存します。

\int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,

非対称な部分を除いて。変数 $u = t + t'$ および $v = ⁠ t' / u ⁠$ と定義すると、変数 $u$ は 0 から $\infty$ まで、 $v$ は 0 から 1 まで変化します。変数 $u$ はループの適切な合計時間であり、 $v は$ ループの上部と下部の適切な時間の割合をパラメータ化します。

この変数変換のヤコビアンは、以下の恒等式から簡単に求めることができます。

d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,

そして「くさび」は

u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,

。

これにより、 $uの$ 積分を明示的に評価することが可能になります。

\int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv

$v$ 積分のみを残す。この方法はシュウィンガーによって考案されたが、通常はファインマンに帰せられており、分母結合法と呼ばれる。抽象的には、これは基本的な恒等式である。

{\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv

$しかし、この形式ではv$ を導入する物理的な動機は得られません。v $は$ ループの片方の脚における固有時間の割合です。

分母を結合すると、 $kを$ $k' = k + vp$ にシフトすることで全てが対称化されます。

\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv

$この形式は、 p 2 が$ ループ内の粒子の質量の 4 倍よりも負の値になる瞬間（これはローレンツ空間の物理的領域で発生する）に、積分に切断点が存在することを示している。まさにこのとき、外部運動量が物理的な粒子を生成できるのである。

ループの頂点数が増えると、組み合わせる分母の数も増えます。

\int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}

$一般的な規則は、 n + 1 個$ の分母に対するシュウィンガーの処方から導かれる。

{\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.

$シュウィンガーパラメータu i$ に関する積分は、これまでと同様に、全固有時間 $u = u 0 + u 1 ... + u n$ $に関する積分と、ループの最初のセグメントを除くすべてのセグメントにおける固有時間の割合v i = ⁠ u i / u ⁠$ $( i \in {1,2,..., n})$ に関する積分に分割できます。 $v i は$ 正であり、合計は 1 未満になるため、 $v の$ 積分は $n$ 次元単体に関するものです。

座標変換のヤコビアンは、これまでと同様に計算できます。

du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,

d(uv_{i})=du_{i}\,.

これらの式をすべて組み合わせると、次の式が得られる。

u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.

これにより、次の積分が得られます。

\int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,

ここで単体は条件によって定義される領域である

v_{i}>0\quad {\mbox{and}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1

同様に

v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.

$u$ 積分を実行すると、分母を結合するための一般的な手順が得られます。

{\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}

被積分関数の分子は関係しないため、脚がどのようなスピンを運んでいるかに関わらず、同じ手順がどのループにも適用できます。パラメータ $v i$ は、各脚で費やされる全固有時間の割合を表します。

散乱

量子場理論の相関関数は、粒子の散乱を記述する。相対論的場理論における「粒子」の定義は自明ではない。なぜなら、位置の不確定性をコンプトン波長よりも小さくしようとしても、エネルギーの不確定性は真空から同じ種類の粒子や反粒子がさらに生成されるほど大きいからである。これは、単一粒子状態の概念が、空間に局在する物体の概念とある程度両立しないことを意味する。

1930年代、ウィグナーは単粒子状態を数学的に定義しました。それは、ポアンカレ群の既約表現を形成する状態の集合です。単粒子状態は、有限の質量、明確に定義された運動量、およびスピンを持つ物体を表します。この定義は陽子、中性子、電子、光子には適していますが、永久に閉じ込められているクォークは除外されるため、現代の観点はより柔軟です。粒子とは、相互作用がファインマン図で記述できるものすべてであり、ファインマン図は粒子の軌跡の総和として解釈されます。

場演算子は真空から1粒子状態を生成するように作用することができ、これは場演算子 $φ (x)が$ ウィグナー粒子状態の重ね合わせを生成することを意味します。自由場理論では、場は1粒子状態のみを生成します。しかし、相互作用がある場合、場演算子は3粒子、5粒子（+/−対称性がない場合は2、4、6粒子）状態も生成することができます。単一粒子状態の散乱振幅を計算するには、場を無限遠に送り、空間積分して高次の補正を取り除くという慎重な極限が必要です。

散乱関数と相関関数の関係はLSZ定理で表されます。散乱イベントで $n$ 個の粒子が $m個の粒子に散乱する場合の散乱振幅は、$ $n + m個$ の場の挿入に対する相関関数に含まれるファインマン図の合計によって与えられ、外部レッグのプロパゲーターは除外されます。

例えば、前節のλφ4相互作用の場合 $、$ $($ ローレンツ)相関関数への次数 $λの寄与は次のようになります。$

\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,

外部伝播関数を取り除く、つまり i / k 2 の因子を取り除くと $、$ $不変$ $散乱$ $振幅$ $M$ が得 $られ$ $ます$ 。

M=i\lambda \,

これは、入射運動量と出射運動量に依存しない定数です。散乱振幅の解釈は、すべての可能な最終状態における $| M | 2$ $の合計が散乱事象の確率であるということです。ただし、 M$ が相対論的不変量となるように、単粒子状態の正規化は慎重に選択する必要があります。

非相対論的単粒子状態は運動量 $k$ でラベル付けされ、 $k$ のすべての値において同じノルムを持つように選択されます。これは、単粒子状態に対する非相対論的単位演算子が次のようになるためです。

\int dk\,|k\rangle \langle k|\,.

$相対性理論では、質量mの粒子のk$ 状態に関する積分は、エネルギー・運動量関係によって定義される $E, k$ 空間内の双曲線に沿って積分される。

E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.

積分が各 $k$ 点を等しく重み付けする場合、その尺度はローレンツ不変ではありません。不変尺度は、ローレンツ不変なデルタ関数を持つ双曲線に限定して、 $k$ と $E$ のすべての値について積分します。

\int \delta (E^{2}-k^{2}-m^{2})|E,k\rangle \langle E,k|\,dE\,dk=\int {dk \over 2E}|k\rangle \langle k|\,.

したがって、正規化された $k状態は、相対論的に正規化された$ $k$ 状態とは、係数だけ異なります。

{\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.

不変振幅 $M$ は、相対論的に正規化された入射状態が相対論的に正規化された出射状態になる確率振幅である。

$k$ の非相対論的値の場合、相対論的正規化は非相対論的正規化と同じである（定数係数を除いて）。 ${\sqrt {m}}$ この極限では、 $φ 4$ 不変散乱振幅は依然として一定です。場 $φ$ によって生成された粒子は、すべての方向に等しい振幅で散乱します。

ボルン近似において、あらゆる方向に等しい振幅で散乱する非相対論的ポテンシャルは、フーリエ変換が一定であるデルタ関数ポテンシャルである。この理論の最低次の散乱は、この理論の非相対論的解釈を明らかにし、デルタ関数的な反発力を持つ粒子の集合を記述する。このような粒子は、同時に同じ点を占めることを嫌う。

非摂動効果

ファインマン図を摂動級数と考えると、トンネル効果のような非摂動的な効果は現れません。なぜなら、多項式よりも速くゼロに収束する効果はテイラー級数に影響を与えないからです。束縛状態も存在しません。なぜなら、有限の次数では粒子は有限回しか交換されず、束縛状態を作るには結合力が永遠に持続する必要があるからです。

しかし、この見方は誤解を招く。なぜなら、これらの図は散乱を記述するだけでなく、短距離場理論の相関関係も表しているからである。粒子散乱のような漸近過程を符号化するだけでなく、場の乗法則、すなわち演算子積展開も記述している。非摂動トンネル過程は、結合定数が小さくなるにつれて平均的に大きくなる場の配置を伴うが、各配置は、局所的な相互作用がファインマン図で記述される粒子のコヒーレントな重ね合わせである。結合が小さい場合、これらは多数の粒子が関与する集団過程となるが、各粒子間の相互作用は単純である。（相互作用する量子場理論の摂動級数は収束半径がゼロであるため、（結合がゼロになる極限において）このような場の配置を記述するために必要な無限級数の図の極限が複雑になる。）

これは、非摂動効果が無限クラスの図の再和に漸近的に現れ、これらの図は局所的に単純になり得ることを意味します。グラフは局所的な運動方程式を決定し、許容される大規模な構成は非摂動的な物理を記述します。しかし、ファインマン伝播関数は時間的に非局所的であるため、場のプロセスをコヒーレントな粒子言語に変換することは完全に直感的ではなく、特定の特殊なケースでのみ明示的に解かれています。非相対論的束縛状態の場合、ベテ・サルピーター方程式は、相対論的原子を記述するために含めるべき図のクラスを記述します。量子色力学の場合、シフマン・ヴァインシュタイン・ザハロフ和則は、非摂動的に励起された長波長場モードを粒子言語で記述しますが、現象論的な方法でのみです。

摂動論の高次におけるファインマン図の数は非常に多い。なぜなら、与えられたノード数を持つグラフの数だけ図が存在するからである。非摂動効果は、高次において図の数と再和が発散する様相に痕跡を残す。非摂動効果が図の中に隠れた形で現れるからこそ、弦理論において非摂動効果を解析することが可能になったのである。弦理論では、多くの場合、ファインマン記述しか利用できない。

大衆文化において

仮想粒子がクォークと反クォークのペアを生成する上記の図は、テレビコメディ「ビッグバン★セオリー」のエピソード「コウモリの瓶の仮説」で取り上げられた。
2012年1月11日のPhD Comicsでは、量子力学的な学術的相互作用、つまり博士課程の学生が指導教官と交流する際にたどる経路を視覚化して説明するファインマン図が示されています。^{[ 12 ]}
スティーブン・バクスターによるSF小説『真空図』には、タイトルにもなっている真空図、つまりファインマン図の一種が登場する。
ファインマンと妻のグウェネス・ハワースは1975年にダッジ・トレードマン・マキシバンを購入し、ファインマンの図をペイントした。^{[ 13 ]}このバンは現在、ビデオゲームデザイナーで物理学者のシーマス・ブラックリーが所有している。^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} ナンバープレートのIDはQantumだった。 ^{[ 20 ]}

注記

↑「ファインマンの視覚的洞察がどのように活用できるかを示したのはダイソンの貢献であった[...]彼はファインマン図が[...]場の理論の論理的内容（摂動展開で述べられているように）の表現としても見なせることに気づいた。」シュウェーバー、前掲書（1994年）

参考文献

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情報源

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外部リンク

AMSの記事：「数学の最新情報：有限次元ファインマン図」
Quantumdiaries.comのFlip Tanedoによる解説で、ファインマン図の描き方を学びましょう。
PostScript形式で出力されるFeynDiagram C++ライブラリを使用して、ファインマン図を描画します。
オンライン図作成ツール出版に適した図を作成するためのグラフィカルアプリケーション。
JaxoDrawは、ファインマン図を描画するためのJavaプログラムです。
Bowley, Roger; Copeland, Ed (2010). "Feynman Diagrams" . Sixty Symbols . Brady Haran for the University of Nottingham .

[7] 「ファインマンの視覚的洞察がどのように活用できるかを示したのはダイソンの貢献であった[...]彼はファインマン図が[...]場の理論の論理的内容（摂動展開で述べられているように）の表現としても見なせることに気づいた。」シュウェーバー、前掲書（1994年）

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[4] Penco, R.; Mauro, D. (2006). "古典力学におけるファインマン図による摂動理論". European Journal of Physics . 27 (5): 1241–1250 . arXiv : hep-th/0605061 . Bibcode : 2006EJPh...27.1241P . doi : 10.1088/0143-0807/27/5/023 . S2CID 2895311 .

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[10] マルティヌス・ヴェルトマン、『ダイアグラムマティカ：ファインマン図への道』、ケンブリッジ物理学講義ノート、 ISBN 0-521-45692-4

[11] Bjorken, JD; Drell, SD (1965). Relativistic Quantum Fields . New York: McGraw-Hill. p. viii. ISBN 978-0-07-005494-3。

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[18] 「フェルミラボ｜ TUFTE展｜ 2014年4月12日～6月26日｜展示について」。www.fnal.gov 。

[19] 
ハラルド・フリッチュ
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[auto-20] 「ファインマン博士の落書き」。2005年7月12日。

[21] 「クォンタム」。リズ・アルゾナ・アート。

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動機と経歴

別名

物理的現実の表現

粒子経路解釈

説明

電子・陽電子消滅の例

正準量子化定式化

ファインマンルール

例：QEDにおける二次プロセス

フェルミオンの散乱

コンプトン散乱と電子・陽電子対の消滅／生成

経路積分定式化

スカラー場ラグランジアン

格子状

モンテカルロ

スカラープロパゲーター

運動方程式

ウィックの定理

高次ガウスモーメント ― ウィックの定理の完成

交流

ファインマン図

ループ順序

対称性因子

連結図：連結クラスター定理

真空気泡

情報源

スピン1/2 ;「光子」と「ゴースト」

スピン1/2 :グラスマン積分​

スピン1：光子

スピン1：非可換幽霊

粒子経路表現

シュウィンガーの代理人

分母をまとめる

散乱

非摂動効果

大衆文化において

関連項目

注記

参考文献

情報源

外部リンク

^{コンプトン散乱と電子・}陽電子^対の消滅／生成

スピン1/2 :グラスマン積分