ボルン近似

一般的に散乱理論、特に量子力学において、ボルン近似は、散乱体の各点における駆動場として全場の代わりに入射場を用いるものです。ボルン近似は、量子理論の発展初期にこの近似を提唱したマックス・ボルンにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]}

これは、拡張物体による散乱に適用される摂動法である。散乱場が散乱体への入射場に比べて小さい場合に精度が高い。

例えば、軽量の発泡スチロール製の柱による電波の散乱は、プラスチックの各部分が、柱がない場合にその点に存在するであろうのと同じ電場によって分極されていると仮定し、その分極分布にわたる放射積分として散乱を計算することによって近似することができる。

ポテンシャルからの散乱に関するシュレーディンガー波動方程式に基づく物理モデルから始める${\displaystyle V}$散乱振幅を計算する、${\displaystyle f}$ 完全な散乱波動関数を知る必要がある${\displaystyle \psi }$, ^{[ 2 ] : 325}$${\displaystyle f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i})=-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int \psi _{f}^{*}\,V(\mathbf {r} )\,\psi _{i}\,d^{3}r}$$ボルン近似では、初期波動関数と最終波動関数は平面波として近似される。$${\displaystyle f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i})=-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int e^{-i\mathbf {k} _{f}\cdot \mathbf {r} }\,V(\mathbf {r} )\,e^{i\mathbf {k} _{i}\cdot \mathbf {r} }\,d^{3}r}$$これは、散乱ポテンシャルのフーリエ変換と数学的に等価である。${\displaystyle \mathbf {r} }$に${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {k} _{f}-\mathbf {k} _{i}}$: ^{[ 2 ] : 325}$${\displaystyle f(\mathbf {k} _{f},\mathbf {k} _{i})=-{\frac {\mu }{2\pi \hbar ^{2}}}\int V(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }d^{3}r}$$球対称ポテンシャルの場合、角度積分を実行することができ、散乱振幅は極角のみに依存する。${\displaystyle \theta }$入力方向と出力方向の間: ^{[ 2 ] : 325}$${\displaystyle f(\theta )=-{\frac {2\mu }{\hbar ^{2}q}}\int _{0}^{\infty }r\sin(qr)\,V(r)\,dr}$$どこ${\displaystyle q=2k\sin(\theta /2)}$そして${\displaystyle k=|\mathbf {k} _{f}-\mathbf {k} _{i}|.}$

散乱状態に対するリップマン・シュウィンガー方程式${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$勢いをつけて${\displaystyle \mathbf {p} }$外向き（+）または内向き（−）の境界条件は

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle ,}$

どこ${\displaystyle G^{\circ }}$は自由粒子のグリーン関数である。${\displaystyle \epsilon }$は正の微小量であり、${\displaystyle V}$相互作用ポテンシャル。${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$は対応する自由散乱解であり、入射場と呼ばれることもある。${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$右側は、ドライビングフィールドと呼ばれることもあります。

ボルン近似セット^{[ 2 ]： 324}$$\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle \approx \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$$ ボルン近似では、上記の式は次のように表される。

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i\epsilon )V\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle ,}$

右辺が未知の状態に依存しなくなったため、これははるかに簡単に解ける。${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle }$。

得られた解は、ボルン級数として知られる摂動級数の出発点となる。^{[ 2 ]： 324}

ボルン近似は、さまざまな物理的文脈で用いられる。

中性子散乱においては、中性子ガイドにおける内部全反射や斜入射小角散乱といった中性子光学現象を除いて、一次ボルン近似はほぼ常に適切である。一次ボルン近似を用いると、散乱ポテンシャルに対する散乱振幅は、${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$これは散乱ポテンシャルのフーリエ変換と同じです^{[ 4 ]} 。この概念を用いて、フーリエ光学の電子アナログが単層グラフェンで理論的に研究されています^{[ 5 ]} 。ボルン近似は、二層グラフェンの導電率を計算するため^{[ 6 ]} 、および弾性媒体における長波長波の伝搬を近似するためにも使用されています^{[ 7 ]}。

同様の考え方は、 地球内部における地震波の動きの研究にも応用されている。 ^{[ 8 ]}

ボルン近似は、入射波が${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle }$これらは平面波である。つまり、散乱体は自由空間または均質な媒質に対する摂動として扱われる。

歪曲波ボルン近似（DWBA ）では、入射波は解である。${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$一部へ${\displaystyle V^{1}}$問題の${\displaystyle V=V^{1}+V^{2}}$それは、解析的または数値的な何らかの別の方法で処理される。関心のある相互作用${\displaystyle V}$摂動として扱われる${\displaystyle V^{2}}$あるシステムへ${\displaystyle V^{1}}$これは他の方法で解決できる。核反応については、数値光学モデル波が用いられる。荷電粒子による荷電粒子の散乱については、クーロン散乱の解析解が用いられる。これにより、非ボルン予備方程式が得られる。

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{\circ }}\rangle +G^{\circ }(E_{p}\pm i0)V^{1}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle }$

そしてボルン近似

${\displaystyle \vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{(\pm )}}\rangle =\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle +G^{1}(E_{p}\pm i0)V^{2}\vert {\Psi _{\mathbf {p} }^{1}}^{(\pm )}\rangle .}$

応用例としては、制動放射や光電効果などが挙げられる。荷電粒子誘起直接核反応の場合、この手順は2回適用される。凝縮系物理学の研究では、DWBAは斜入射小角散乱の解析に用いられる。

• ボーンシリーズ
• リップマン・シュウィンガー方程式
• ダイソンシリーズ
• 部分波解析
• レイリー・ガンス近似

• 櫻井、JJ（1994）。現代量子力学。アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-53929-2。
• ニュートン、ロジャー・G. (2002).波と粒子の散乱理論. ドーバー出版. ISBN 0-486-42535-5。
• 呉と大村、『量子散乱理論』、プレンティス・ホール、1962年