逆ガンマ関数

数学において、逆ガンマ関数は関数である。

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}},}$

ここで、Γ( z ) はガンマ関数を表します。ガンマ関数は有理型であり、複素平面上のどこでもゼロではないため、その逆数は整関数です。整関数として、それは 1 次です（つまり、log log | ⁠1/Γ( z ) は⁠ | はlog | z |より速く増加しませんが、無限型です（つまり、log | ⁠1/Γ( z ) は⁠ | は| z |の任意の倍数よりも速く成長します。これは、その成長が左半平面で | z | log | z |にほぼ比例するためです

逆数はガンマ関数の数値計算の開始点として使用されることもあり、通常のガンマ関数とは別に逆数を提供するソフトウェア ライブラリもいくつかあります。

カール・ワイエルシュトラスは逆ガンマ関数を「factorielle」と呼び、ワイエルシュトラスの因数分解定理の開発にそれを使用しました。

オイラーとワイエルシュトラスによるガンマ関数の無限積定義に従えば、逆ガンマ関数の次の無限積展開が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\\{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\end{aligned}}}$

ここで、γ = 0.577216...はオイラー・マスケロニ定数です。これらの展開はすべての複素数 zに対して有効です。

0の周りのテイラー級数展開は次のようになる: ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{\ \Gamma (z)\ }}=z+\gamma \ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{ \frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{3}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{4}+\cdots \ }$

ここでγはオイラー・マスケロニ定数である。n > 2の場合、 z ⁿ項の係数a _{n は}次のように再帰的に計算できる[ ^{2] [3]}

${\displaystyle a_{n}={\frac {\ {a_{2}\ a_{n-1}+\sum _{j=2}^{n-1}(-1)^{j+1}\ \zeta (j)\ a_{n-j}}\ }{n-1}}={\frac {\ \gamma \ a_{n-1}-\zeta (2)\ a_{n-2}+\zeta (3)\ a_{n-3}-\cdots \ }{n-1}}}$

ここでζはリーマンゼータ関数である。これらの係数の積分表現は、最近Fekih-Ahmed (2014)によって発見された: ^[3]

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\pi n!}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ \operatorname {Im} {\Bigl [}\ {\bigl (}\log(t)-i\pi {\bigr )}^{n}\ {\Bigr ]}\ \mathrm {d} t~.}$

値が小さい場合、次の値が得られます。

Fekih-Ahmed (2014) ^[3]も近似値を与えている: ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{\ (n-1)!\ }}\ {\sqrt {{\frac {2}{\ \pi n\ }}\ }}\ \operatorname {Im} \left({\frac {\ z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\ e^{-nz_{0}}\ }{\sqrt {1+z_{0}\ }}}\right)\ ,}$

ここで、およびはランバートのW関数のマイナス第一枝です。 ${\displaystyle z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\ ,}$${\displaystyle W_{-1}}$

1付近のテイラー展開では、同じ（ただしシフトした）係数を持ちます。つまり、

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (1+z)}}={\frac {1}{z\Gamma (z)}}=1+\gamma \ z+\left({\frac {\gamma ^{2}}{2}}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right)\ z^{2}+\left({\frac {\gamma ^{3}}{6}}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{12}}+{\frac {\zeta (3)}{3}}\ \right)z^{3}+\cdots \ }$

（ガウスのπ関数の逆数）。

| z |が定数arg( z )で無限大に近づくと、次の式が得られます。

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad {\text{for}}~\left|\arg(z)\right|<\pi }$

ヘルマン・ハンケルによる積分表現は

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$

ここでHはハンケル積分路、すなわち正の方向に0を囲む経路であり、正の実軸に沿った分岐切断に関して正の無限大から始まり、そこに戻る。シュメルツァーとトレフェテン^[4]によると、ハンケル積分の数値評価はガンマ関数を計算するための最良の方法の基礎となっている。

正の整数に対して、逆階乗関数の積分は^[5]で与えられる。${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-nit}e^{e^{it}}\ dt.}$

同様に、任意の実数とに対して、実軸に沿った逆ガンマ関数の次の積分は次のようになる： ^[6]${\displaystyle c>0}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle Re(z)>0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,}$

ここで、逆数二階乗関数に対応する関係が与えられる特定のケースでは、${\displaystyle z=n+1/2}$${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

逆ガンマ関数を正の実軸に沿って積分すると、次の値が得られる。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$

これはフランセン・ロビンソン定数として知られています。

次の式があります（^[7]第9章、演習100）

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {a^{x}}{\Gamma (x)}}\,dx=ae^{a}+a\int _{0}^{\infty }{\dfrac {e^{-ax}}{\log ^{2}(x)+\pi ^{2}}}\,dx}$

• ベッセル・クリフォード関数
• 逆ガンマ分布

• メッテ・ルンド、逆ガンマ関数の積分
• ミルトン・アブラモウィッツ & アイリーン・A・ステガン『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』
• Eric W. Weisstein、ガンマ関数、MathWorld