カイラル異常

理論物理学において、カイラル異常とはカイラル電流の異常な非 保存性です。日常的に言えば、密閉された箱の中に左巻きと右巻きのボルトが同数入っているのに、開けてみると左巻きのボルトの数が右巻きより多い、またはその逆であることが分かるのと同じです。

このような事象は古典的な保存則によれば禁じられていると予想されるが、電荷-パリティ非保存則（「CP対称性の破れ」）の証拠があるため、破る方法があるはずであることがわかっている。この種のカイラル法則の破れによって他の不均衡が引き起こされた可能性がある。多くの物理学者は、観測可能な宇宙に反物質よりも多くの物質が含まれているという事実はカイラル異常によって引き起こされたのではないかと疑っている。^[1]カイラル対称性の破れの法則の研究は、現時点では素粒子物理学研究の主要な取り組みである。^{[要出典] [いつ？ ]}

カイラル異常はもともと、カイラル模型の現在の代数で計算された中性パイ中間子の異常な崩壊率を指していました。これらの計算はパイ中間子の崩壊が抑制されていることを示唆しており、明らかに実験結果と矛盾していました。異常な計算の性質は、1969年にスティーブン・L・アドラー^[2]とジョン・スチュワート・ベル＆ローマン・ジャッキー^[3]によって初めて説明されました。これは現在、量子電磁力学のアドラー・ベル・ジャッキー異常と呼ばれています。^{[4] [5]}これは、量子補正によって破れる 古典電磁力学の対称性です。

アドラー・ベル・ジャッキウ異常は、次のようにして生じる。質量のないフェルミオン（ディラック方程式を解く、電荷を帯びたディラックスピノル）と結合した古典的（非量子化）電磁気学理論を考えると、1つだけではなく2つの保存電流、すなわちディラック場によって記述される通常の電流（ベクトル電流）と軸電流があると予想される 。古典理論から量子理論に移るとき、これらの電流に対する量子補正を計算できる。第一に、これらは1ループのファインマン図である。これらは発散することで有名であり、正規化を適用して、再正規化された振幅を得る必要がある。再正規化が意味を持ち、首尾一貫しているためには、正規化された図がゼロループ（古典的）振幅と同じ対称性に従わなければならない。これはベクトル電流の場合に当てはまりますが、軸電流の場合は当てはまりません。軸対称性を保存するような方法で正規化することはできません。古典電気力学の軸対称性は量子補正によって破られます。正式には、量子理論のウォード・高橋恒等式は電磁場のゲージ対称性から導かれますが、軸電流の対応する恒等式は破られます。 ${\displaystyle j^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$ ${\displaystyle j_{5}^{\mu }={\overline {\psi }}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\psi ~.}$

物理学でアドラー・ベル・ジャッキウ異常が研究されていた当時、微分幾何学でも同様の表現を含むと思われる関連した発展がありました。これらはいかなる種類の量子補正ともまったく関係がなく、ファイバー束のグローバル構造、具体的には、4次元と3次元の両方で、電磁テンソルに似た曲率形式を持つスピン構造上のディラック演算子の研究でした（チャーン・サイモンズ理論）。かなりの議論の末、異常の構造は非自明なホモトピー群を持つ束、または物理学の用語で言うインスタントンで記述できることが明らかになりました。

インスタントンは位相ソリトンの一種で、安定していて崩壊しない（例えば平面波に）という特性を持つ、古典的な場の理論に対する解である。言い換えると、従来の場の理論は真空、つまり大まかに言えば平坦な空の空間という考えに基づいている。古典的には、これは「自明な」解であり、すべての場は消える。しかし、（古典的な）場を非自明な全体構成を持つように配置することもできる。これらの非自明な構成は真空、つまり空の空間の候補でもあるが、もはや平坦でも自明でもない。インスタントンというねじれを含んでいる。量子論はこれらの構成と相互作用することができ、その場合、カイラル異常として現れる。

数学では、ディラック演算子を完全に一般化した設定、すなわち任意の次元のリーマン多様体上で研究する過程で、非自明な構成が見つかる。数学的な課題には、構造と構成の発見と分類が含まれる。有名な結果には、ディラック演算子に対するアティヤ・シンガーの指数定理がある。大まかに言えば、ミンコフスキー時空、ローレンツ不変性、ラプラシアン、ディラック演算子、および U(1)xSU(2)xSU(3)ファイバー束の対称性は、微分幾何学におけるはるかに一般的な設定の特殊なケースと見なすことができる。さまざまな可能性の探究は、弦理論などの理論の興奮の多くを説明するものであり、可能性の豊富さは、進歩がないという一定の認識を説明するものである。

アドラー・ベル・ジャッキウ異常は、中性パイ中間子の崩壊、特に中性パイ中間子が2つの光子に崩壊する幅を記述するという意味において、実験的に確認されている。中性パイ中間子自体は1940年代に発見され、その崩壊率（幅）は1949年にJ.スタインバーガーによって正しく推定された。^[6]軸電流の異常発散の正しい形は、1951年にシュウィンガーによって電磁気学と質量のないフェルミオンの2Dモデルで得られた。^[7]中性パイ中間子の崩壊がカイラル模型の電流代数解析で抑制されることは、1967年にサザーランドとヴェルトマンによって得られました。^{[8] [9]}この異常な結果の解析と解決は、1969年にアドラー^[2]とベルとジャッキー^[3]によって提供されています。異常の一般的な構造は、1969年にバーディーンによって議論されています。^[10]

パイオンのクォークモデルは、パイオンがクォークと反クォークの束縛状態であることを示しています。しかし、パリティや角運動量などの量子数は保存されるとみなされるため、少なくともゼロループ計算ではパイオンの崩壊は起こりません (簡単に言えば、振幅が消える)。クォークが質量を持つ (質量がない) のではなく質量があると仮定すると、カイラリティを破る崩壊が起こりますが、そのサイズは正しくありません。 (カイラリティは質量を持つスピノルの運動定数ではありません。スピノルは伝播するにつれて左右が変わるため、質量自体がカイラル対称性を破る項です。質量の寄与はサザーランドとフェルトマンの結果によって与えられ、部分的に保存された軸電流である「PCAC」と呼ばれます。) 1969 年に提供されたアドラー・ベル・ジャッキウ解析 (およびスタインバーガーとシュウィンガーによる初期の形式) は、中性パイ中間子の正しい崩壊幅を提供します。

パイオンの崩壊を説明することに加えて、それは 2 つ目の非常に重要な役割を持っています。1 ループ振幅には、ループ内を循環できるレプトンの総数を数える要素が含まれています。正しい崩壊幅を得るには、クォークの世代が 4 つ以上ではなく、正確に3 つである必要があります。このように、それは標準モデルを制限する上で重要な役割を果たします。それは、自然界に存在できるクォークの数を直接物理的に予測します。

現在、研究は、電弱理論の非自明な位相構成、つまりスファレロンなど、異なる設定での同様の現象に焦点が当てられています。他の応用としては、 GUTやその他の理論における重粒子数の非保存の仮説などがあります。

カイラル対称性を持つフェルミオンの理論の中には、量子化によってこの（グローバルな）カイラル対称性が破れるものがある。その場合、カイラル対称性に関連する電荷は保存されない。非保存は、ある真空から別の真空へのトンネル効果の過程で起こる。このような過程はインスタントンと呼ばれる。

フェルミオン粒子数の保存に関連する対称性の場合、そのような粒子の生成は次のように理解できます。粒子の定義は、トンネル効果が発生する 2 つの真空状態で異なります。したがって、一方の真空に粒子が存在しない状態は、もう一方の真空にいくつかの粒子が存在する状態に対応します。特に、フェルミオンのディラックの海があり、そのようなトンネル効果が発生すると、フェルミオンの海のエネルギー レベルが、粒子の場合は徐々に上方に、反粒子の場合は下方にシフトします (またはその逆)。これは、かつてディラックの海に属していた粒子が実際の (正のエネルギーの) 粒子になり、粒子の生成が発生することを意味します。

技術的には、経路積分定式化において、異常対称性は作用 の対称性であり、測度μの対称性ではなく、したがって生成関数の対称性でもない。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}=\int \!{\exp(i{\mathcal {A}}/\hbar )~\mathrm {d} \mu }}$

量子化理論の によって表される（ℏはプランクの作用量子を 2 πで割った値）。この測度は、フェルミオン場 に依存する部分と、その複素共役 に依存する部分から構成される。カイラル対称性の下での両部分の変換は、一般に打ち消されない。 がディラックフェルミオンである場合、カイラル対称性は と表される点に注意されたい。ここで、 はに作用するカイラルガンマ行列である。 の公式から、古典的な極限、ℏ → 0 では、この極限では の極値のみが関係するため、異常性は生じないことも明示的にわかる。 ${\displaystyle d\mu}$${\displaystyle [\mathrm {d} \psi ]}$${\displaystyle [\mathrm {d} {\bar {\psi }}]}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi \rightarrow e^{i\alpha \gamma ^{5}}\psi }$${\displaystyle \gamma^{5}}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

異常性は、フェルミオンが結合しているゲージ場のインスタントン数に比例します。(ゲージ対称性は常に非異常であり、理論の一貫性を保つために要求されるように厳密に尊重されることに注意してください。)

カイラル異常は、パイオンの崩壊に寄与する1 ループのファインマン図、例えばスタインバーガーの「三角形図」、およびによって正確に計算できます。このプロセスの振幅は、カイラル変換下でのフェルミオン場の測定値の変化から直接計算できます。 ${\displaystyle \pi ^{0}\to e^{+}e^{-}\gamma }$

ウェスとズミノは、ウェス-ズミノ整合条件と呼ばれる、ゲージ変換下での分割関数の振る舞いに関する一連の条件を開発しました。

藤川は、アティヤ・シンガー指数定理を用いて関数行列式と分配関数の対応関係からこの異常性を導出した。藤川の方法を参照。

電弱相互作用の標準モデルは、バリオン生成を成功させるために必要なすべての要素を備えていますが、これらの相互作用は一度も観測されたことがなく^[11] 、ビッグバン時の宇宙の初期のバリオン数がゼロである場合、観測された宇宙の総バリオン数を説明するには不十分である可能性があります。電荷共役 の違反とCP違反（電荷+パリティ）を超えて、バリオン電荷違反は、グループの アドラー・ベル・ジャッキウ異常を通じて現れます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CP}$${\displaystyle U(1)}$

量子カイラル異常のため、バリオンは通常の電弱相互作用では保存されません。古典的な電弱ラグランジアンではバリオン電荷が保存されます。クォークは常に双線形結合で入るため、クォークは反クォークとの衝突でのみ消滅します。言い換えると、古典的なバリオン電流は保存されます。 ${\displaystyle q{\bar {q}}}$${\displaystyle J_{\mu}^{B}}$

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}=\sum _{j}\partial ^{\mu }({\bar {q}}_{j}\gamma _{\mu }q_{j})=0.}$

しかし、スファレロンと呼ばれる量子補正はこの保存則を破壊します。この式の右辺のゼロの代わりに、ゼロにならない量子項があります。

${\displaystyle \partial ^{\mu }J_{\mu }^{B}={\frac {g^{2}C}{16\pi ^{2}}}G^{\mu \nu a} {\チルダ {G}}_{\mu \nu }^{a},}$

ここでCはℏ =0のときにゼロになる数値定数であり、

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}={\frac {1}{2}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }G^{\alpha \beta a},}$

ゲージ場の強度は次式で与えられる。 ${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}}$

${\displaystyle G_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf_ {bc}^{a}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}~.}$

電弱スファレロンは、重粒子および/またはレプトンの数を 3 または 3 の倍数だけ変更することができます (3 つの重粒子が 3 つのレプトン/反レプトンに衝突し、その逆も起こります)。

重要な事実は、異常電流の非保存性がベクトル演算子の全微分に比例することである（これは、無限遠で純粋なゲージであるゲージ場のインスタントン構成のためにゼロではない）。ここで、異常電流は ${\displaystyle G^{\mu \nu a}{\tilde {G}}_{\mu \nu }^{a}=\partial ^{\mu }K_{\mu }}$${\displaystyle K_{\mu}}$

${\displaystyle K_{\mu}=2\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\left(A^{\nu a}\partial ^{\alpha }A^{\beta a}+{\frac {1}{3}}f^{abc}A^{\nu a}A^{\alpha b}A^{\beta c}\right),}$

これはチャーン・サイモンズ3 形式 のホッジ双対です。

微分形式の言語では、任意の自己双対曲率形式にアーベル 4 形式を割り当てることができます。 チャーン-ヴェイユ理論は、この 4 形式は局所的には正確ですが大域的には正確ではなく、局所的にはチャーン-サイモンズ 3 形式によってポテンシャルが与えられることを示しています。 ${\displaystyle F_{A}}$${\displaystyle \langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle :=\operatorname {tr} \left(F_{A}\wedge F_{A}\right)}$

${\displaystyle d\mathrm {CS} (A)=\langle F_{A}\wedge F_{A}\rangle }$。

繰り返しますが、これは単一のチャートにのみ当てはまり、インスタントン数がゼロにならない限り、グローバル形式では偽になります。 ${\displaystyle \langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$

さらに進めるために、 に「無限遠点」k を付加してを生成し、クラッチ構造を使用して主 A バンドルを図表化します。1 つの図表はkの近傍に、もう 1 つは に示します。これらの図表が交差するkの周りの厚みは自明であるため、それらの交差は基本的に です。したがって、インスタントンは第 3ホモトピー群によって分類されます。これは、 の場合は単に第 3 3 球面群です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle S^{4}}$${\displaystyle S^{4}-k}$${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(A)}$${\displaystyle A=\mathrm {SU(2)} \cong S^{3}}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} }$

重粒子数カレントの発散は（数値定数を無視すると）

${\displaystyle \mathbf {d} \star j_{b}=\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle }$、

そしてインスタントン数は

${\displaystyle \int _{S^{4}}\langle F_{\nabla }\wedge F_{\nabla }\rangle \in \mathbb {N} }$。

• 異常現象（物理学）
• キラル磁気効果
• 世界的な異常
• 重力異常
• 強いCP問題

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