藤川方式

物理学において、藤川法は場の量子論におけるカイラル異常を導く方法の一つで、関数行列式と分配関数の対応を利用し、アティヤ・シンガーの指数定理を効果的に利用している。

コンパクトリー群Gの表現に従って変換されるディラック場が与えられ、 リー代数で値を取る背景接続形式があるとする。ディラック演算子（ファインマンスラッシュ記法）は ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \rho}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\,.}$

${\displaystyle D\!\!\!\!/\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial \!\!\!/+iA\!\!\!/$

そしてフェルミオン作用は次のように与えられる。

${\displaystyle \int d^{d}x\,{\overline {\psi }}iD\!\!\!\!/\psi }$

パーティション関数は

${\displaystyle Z[A]=\int {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \,e^{-\int d^{d}x\, {\overline {\psi }}iD\!\!\!/\,\psi }.}$

軸対称変換は次のように表される。

${\displaystyle \psi \to e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}\psi \,}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}e^{i\gamma _{d+1}\alpha (x)}}$

${\displaystyle S\to S+\int d^{d}x\,\alpha (x)\partial _{\mu }\left({\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi \right)}$

古典的には、これはカイラルカレントが保存されることを意味します。 ${\displaystyle j_{d+1}^{\mu }\equiv {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{d+1}\psi }$${\displaystyle 0=\partial _{\mu }j_{d+1}^{\mu }}$

量子力学的には、カイラル電流は保存されません。ジャッキーは、三角形の図が消えないことからこれを発見しました。藤川は、これをカイラル変換による分配関数の測度の変化として再解釈しました。カイラル変換による測度の変化を計算するには、まずディラック演算子の固有ベクトルの基底にあるディラックフェルミオンを考えます。

${\displaystyle \psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{i},}$

${\displaystyle {\overline {\psi}}=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{i},}$

ここで、はグラスマン値の係数であり、はディラック演算子の固有ベクトルです。 ${\displaystyle \{a^{i},b^{i}\}}$${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$

${\displaystyle D\!\!\!\!/\psi _{i}=-\lambda _{i}\psi _{i}.}$

固有関数はd次元空間における積分に関して正規直交であるとみなされ、

${\displaystyle \delta _{i}^{j}=\int {\frac {d^{d}x}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger j}(x)\psi _{i}(x).}$

経路積分の尺度は次のように定義されます。

${\displaystyle {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}}$

無限小カイラル変換の下では、

${\displaystyle \psi \to \psi ^{\prime }=(1+i\alpha \gamma _{d+1})\psi =\sum \limits _{i}\psi _{i}a^{\prime i},}$

${\displaystyle {\overline {\psi }}\to {\overline {\psi }}^{\prime }={\overline {\psi }}(1+i\alpha \gamma _{d+1})=\sum \limits _{i}\psi _{i}b^{\prime i}.}$

変換のヤコビアンを、固有ベクトルの正規直交性を使って計算できるようになりました。

${\displaystyle C_{j}^{i}\equiv \left({\frac {\delta a}{\delta a^{\prime }}}\right)_{j}^{i}=\int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)[1-i\alpha (x)\gamma _{d+1}]\psi _{j}(x)=\delta _{j}^{i}\,-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x).}$

係数の変換も同様に計算される。最終的に量子測度は次のように変化する。 ${\displaystyle \{b_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\overline {\psi }}=\prod \limits _{i}da^{i}db^{i}=\prod \limits _{i}da^{\prime i}db^{\prime i}{\det }^{-2}(C_{j}^{i}),}$

ここで、積分変数はグラスマン関数なのでヤコビアンは行列式の逆数であり、a と b が等しく寄与するため 2 が現れます。行列式は標準的な手法で計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\det }^{-2}(C_{j}^{i})&=\exp \left[-2{\rm {tr}}\ln(\delta _{j}^{i}-i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{j}(x))\right]\\&=\exp \left[2i\int d^{d}x\,\alpha (x)\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}\psi _{i}(x)\right]\end{aligned}}}$

α(x)の一次方程式。

αが定数の場合に特化すると、積分は記述どおりには定義できないため、ヤコビアンを正規化する必要がある。藤川は熱核正規化を採用し、

${\displaystyle {\begin{aligned}-2{\rm {tr}}\ln C_{j}^{i}&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{-\lambda _{i}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\\&=2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\,\psi ^{\dagger i}(x)\gamma _{d+1}e^{{D\!\!\!/\,}^{2}/M^{2}}\psi _{i}(x)\end{aligned}}}$

（と書き直すことができ、固有関数は平面波基底で展開できる） ${\displaystyle {D\!\!\!\!/}^{2}}$${\displaystyle D^{2}+{\tfrac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}$

${\displaystyle =2i\lim \limits _{M\to \infty }\alpha \int d^{d}x\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}\int {\frac {d^{d}k^{\prime }}{(2\pi )^{d}}}\psi ^{\dagger i}(k^{\prime })e^{ik^{\prime }x}\gamma _{d+1}e^{-k^{2}/M^{2}+1/(4M^{2})[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]F_{\mu \nu }}e^{-ikx}\psi _{i}(k)}$

${\displaystyle =-{\frac {-2\alpha }{(2\pi )^{d/2}({\frac {d}{2}})!}}(F)^{d/2},}$

固有ベクトルの完全性関係を適用し、γ行列のトレースを行い、Mの極限を取った後、結果は場の強度2形式で表される。${\displaystyle F\equiv {\tfrac {1}{2}}F_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\,.}$

この結果は、 d 次元基本空間上の -バンドルのチャーン類に相当し、カイラルカレントの非保存の原因となる カイラル異常を与えます。${\displaystyle ({\tfrac {d}{2}})^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• K. Fujikawa と H. Suzuki (2004 年 5 月)。経路積分と量子異常。Clarendon Press。ISBN 0-19-852913-9 。
• S. Weinberg (2001).場の量子理論.第2巻: 現代の応用.. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55002-5 .