電界

定常状態（電荷と電流が静止している状態）の特殊な場合、マクスウェル・ファラデー誘導効果は消失する。結果として得られる2つの方程式（ガウスの法則）${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$誘導項のないファラデーの法則${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$これらを合わせると、電荷を持つ粒子は$q_1$ポジション$\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$電荷を持つ粒子に力を及ぼす$q0$ポジション$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$の: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} _{01}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$ どこ

• $\displaystyle \mathbf {F} _{01}}$荷電粒子に働く力は$q0$荷電粒子によって引き起こされる$q_1$。
• ε₀_は真空の誘電率です。
• $\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{01}}$は、から方向を向いた単位ベクトルです。$\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$に$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$。
• $\displaystyle \mathbf {r} _{01}}$は、​$\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$に$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$。

ご了承ください$\displaystyle \varepsilon _{0}}$に置き換える必要があります${\displaystyle \varepsilon }$電荷が空でない媒体中に存在する場合、誘電率。電荷が空でない媒体中に存在する場合、$q0$そして$q_1$電荷の符号が同じ場合、この力は正で、もう一方の電荷から離れる方向に働き、粒子が互いに反発し合うことを示します。電荷の符号が異なる場合、力は負で、粒子が引き合うことを示します。任意の位置にある電荷にかかるクーロン力を簡単に計算できるように$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$この式は、$q0$他の電荷（ソース電荷）のみに依存する式を残す^{[ 14 ] [ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})={\frac {\mathbf {F} _{01}}{q_{0}}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})}$は、$q0$により$q_1$。

これは点における電場です$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ポイントチャージのため$q_1$; これは、正の点電荷がその位置で受ける単位電荷あたりのクーロン力に等しいベクトル値関数です。$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$この式は任意の点における電場の大きさと方向を表すので$\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$空間内（電荷自体の位置を除く）$\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$（無限大になる）ベクトル場を定義します。上記の式から、点電荷による電場は、正の場合は電荷から離れる方向に、負の場合は電荷に向かう方向に常に向いており、その大きさは電荷からの距離の二乗に反比例して減少することがわかります。

大きさの電荷に働くクーロン力${\displaystyle q}$空間内の任意の点における電荷は、その点における電荷と電場の積に等しい。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} .}$$電場のSI単位は ニュートン毎クーロン（ N/C）またはボルト毎メートル（V/m）であり、 SI基本単位ではkg⋅m⋅s ⁻³ ⋅A ⁻¹である。

マクスウェル方程式の線形性により、電場は重ね合わせの原理を満たします。この原理は、ある点における電荷の集合による全電場は、その点における個々の電荷による電場のベクトル和に等しいと述べています。^{[ 4 ]}この原理は、複数の点電荷によって生成される電場を計算する際に役立ちます。電荷が${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$空間内の点に静止している${\displaystyle \mathbf {R} _{1},\mathbf {R} _{2},\dots ,\mathbf {R} _{n}}$電流が存在しない場合、重ね合わせの原理によれば、結果として生じる場は、クーロンの法則で説明されるように、各粒子によって生成される場の総和となる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} )+\dots +\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}}\end{aligned}}}$$ どこ

• $\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$は、点からの方向の単位ベクトルです。$\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$指摘する${\displaystyle \mathbf {r} }$
• $\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$は点からの変位ベクトルです$\displaystyle \mathbf {R} _{i}}$指摘する${\displaystyle \mathbf {r} }$。

重ね合わせの原理により、電荷密度分布による電場を計算することができる。${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$料金を考慮すると${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')dv}$それぞれの小さな空間の中に${\displaystyle dv}$地点で${\displaystyle \mathbf {r} '}$点電荷として、結果として生じる電場は、${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$地点で${\displaystyle \mathbf {r} }$計算すると次のようになります $${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}' \over {|\mathbf {r} '|}^{2}}dv={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$ どこ

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}'}$は、から指す単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} '}$に${\displaystyle \mathbf {r} }$。
• ${\displaystyle \mathbf {r} '}$は、${\displaystyle \mathbf {r} '}$に${\displaystyle \mathbf {r} }$。

全電場は、体積のすべての増分からの寄与を合計することによって求められ、体積全体にわたって電荷密度を積分することによって求められます。${\displaystyle V}$: $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint _{V}\,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

表面電荷密度を持つ表面電荷についても同様の式が成り立つ。${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$表面上${\displaystyle S}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}\,\sigma (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}da,}$$線電荷密度 を持つ線電荷の場合${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$オンライン${\displaystyle L}$$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}\,\lambda (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}d\ell .}$$

システムが静的で、磁場が時間的に変化しない場合、ファラデーの法則により、電場は回転なしとなる。この場合、電位、すなわち関数を定義することができる。${\displaystyle \varphi }$そのため${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$[ ^{15 ]}これは重力ポテンシャルに類似しています。空間内の2点における電位の差は、2点間の電位差（または電圧）と呼ば^れます。

しかし一般に、電場は磁場とは独立して記述することはできない。磁気ベクトルポテンシャルAは次のように定義される。${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$⁠、それでも電位を定義することは可能である${\displaystyle \varphi }$すなわち、以下の通りである。 $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ どこ${\displaystyle \nabla \varphi }$は電位の勾配であり、${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$は、 Aの時間に関する偏微分です。

ファラデーの誘導法則は、その方程式の回転を取ることによって復元できる^{[ 16 ]。}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$$これは、事後的に、 E の以前の形式を正当化する。

電磁気学の方程式は、連続的な記述で最もよく表されます。しかし、電荷は離散的な点として記述するのが最適な場合もあります。例えば、電子を点源として記述するモデルでは、空間のごく微小な領域において電荷密度が無限大となるように記述されることがあります。

料金${\displaystyle q}$所在地${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$数学的には電荷密度として記述できる${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$⁠、ここでは（3次元の）ディラックのデルタ関数が用いられる。逆に、電荷分布は多数の小さな点電荷で近似することができる。

クーロンの法則は、電荷間の相互作用を記述する法則である。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E} }$$これはニュートンの万有引力の法則 に似ている。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g} }$$ （どこ${\textstyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\frac {r}{|r|}} }$)

これは、電場Eと重力場g、またはそれらに関連する電位の間に類似性があることを示唆しています。質量は「重力電荷」と呼ばれることもあります。^{[ 18 ]}

静電気力と重力はどちらも中心力であり、保存力であり、逆二乗法則に従う。

一様な電場とは、あらゆる点で電場が一定である電場のことです。これは、2枚の導体板を平行に配置し、その間に電圧（電位差）を印加することで近似できます。ただし、境界効果（平面の端付近では平面が連続していないため電場が歪む）があるため、これはあくまで近似です。無限平面を仮定すると、電場Eの大きさは次のようになります。 $${\displaystyle E=-{\frac {\Delta V}{d}},}$$ ここで、ΔVはプレート間の電位差、dはプレート間の距離です。負の符号は、正電荷が反発し合うため生じます。したがって、正電荷は正に帯電したプレートから離れる方向に、つまり電圧が増加する方向とは逆の方向に力を受けます。マイクロおよびナノアプリケーション、例えば半導体に関連する場合、電界の典型的な大きさはオーダーです。10 ⁶  V⋅m ⁻¹は、1 μm 間隔で配置された導体間に 1 ボルト程度の電圧を印加することによって達成されます 。

複雑な電場にも有効な電場をプロットする便利な方法は、電界線を使用することです。^{[ 19 ]}ここでは、ある領域における電場の大きさと方向は、その領域を横断する多数の交差しない曲線で表されます。正しくプロットすると、任意の点における電場の方向は近くの線の方向で表され、大きさはその領域の電界線の密度で表されます。

電場線は交差しません。電場線は正電荷から始まり（または無限遠から伸び）、負電荷で終わります（または無限遠まで伸びます）。さらに、ある電荷から伸びる電場線の数は、その電荷に比例しなければなりません。静電場は閉じたループを形成することはできません。（3つの近くの導体の表面に電荷を誘起する正の点電荷に対して作成された複雑な電場線図の例については、図を参照してください。）

電界線は、特定の領域における電界を近似的にしか表すことができません。（電界を完全に表すには、無限の数の電界線が必要になります。）しかしながら、これらの図は、特定の領域における電界の変化を説明するのに役立ちます。

物質が存在する場合、電場の概念を3つのベクトル場に拡張することが有用である。^{[ 21 ]}$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$ ここで、Pは電気分極、すなわち電気双極子モーメントの体積密度であり、Dは電束密度場である。EとPは別々に定義されているため、この式を使用してDを定義することができる。D の物理的解釈は、E (実質的には材料に印加される電場) やP (材料中の双極子による誘導電場)ほど明確ではないが、マクスウェル方程式は自由電荷と電流の観点から簡略化できるため、便利な数学的簡略化として機能する。

E場とD場は、材料の誘電率εによって関連付けられる。^{[ 22 ] [ 21 ]}

線形、均質、等方性材料の場合、 EとDは領域全体で比例し一定であり、位置依存性はありません。 $${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon \mathbf {E} (\mathbf {r} ).}$$

不均質な材料の場合、材料全体にわたって位置依存性があります: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

異方性材料の場合、E場とD場は平行ではないため、EとDは誘電率テンソル（2階テンソル場）によって関連付けられます。成分形式で表すと次のようになります。 $${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}}$$

非線形媒体の場合、EとDは比例関係にありません。材料は、線形性、均質性、等方性の程度が様々です。

ローレンツ変換の下でのマクスウェル方程式の形式の不変性は、一様に運動する点電荷の電場を導出するために使用できます。粒子の電荷は、実験的証拠によって裏付けられているように、フレーム不変であると考えられています。^{[ 24 ]}あるいは、一様に運動する点電荷の電場は、クーロンの法則によって与えられる、ソースの静止フレームでテスト電荷が受ける4元力のローレンツ変換から導出でき、ローレンツ力の形式で与えられる定義によって電場と磁場を割り当てます。^{[ 25 ]}ただし、次の式は、粒子の履歴に加速が関与していない場合にのみ適用可能であり、その場合、クーロンの法則を考慮できるか、対称性の議論を使用してマクスウェル方程式を簡単に解くことができます。したがって、このような一様に運動する点電荷の電場は次のように与えられます。^{[ 26 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} ,}$$ どこ${\displaystyle q}$は点源の電荷であり、${\displaystyle \mathbf {r} }$は点光源から空間内の点までの位置ベクトルです。${\displaystyle \beta }$は、荷電粒子の観測速度と光速の比であり、${\displaystyle \theta }$角度は${\displaystyle \mathbf {r} }$そして、荷電粒子の観測された速度。

上記の式は、点電荷の非相対論的速度の場合、クーロンの法則によって与えられる式に帰着します。速度の方向を指定して場を計算すると、問題の対称性が破れるため、球対称性は満たされません。これを説明するために、移動する電荷の電場線は、共動座標系では等間隔に見える不等間隔の放射状線として表現されることがあります。^{[ 24 ]}

特殊相対性理論は局所性の原理を課しており、原因と結果は時間的に分離された事象であり、因果的効力は光速よりも速く伝わらないことを要求する。^{[ 27 ]}マクスウェルの法則は、電磁擾乱が光速で伝わることを示す遅延時間で場の一般解が与えられるため、この見解を裏付けていることがわかる。マクスウェルの法則の解を与える前進時間は、非物理的な解として無視される。荷電粒子の運動について、例えば、上述の電場を持つ運動粒子が急停止する場合を考えると、その粒子から遠く離れた点の電場は、静止電荷に対して古典的に与えられる電場にすぐに戻るわけではない。停止すると、静止点の周りの電場は予想される状態に戻り始め、この効果は光速で外側に伝播するが、そこから遠く離れた電場線は、想定される運動電荷に向かって放射状に指し続ける。この仮想粒子は、電磁場の擾乱の伝播範囲外には決して出ません。荷電粒子は光速よりも遅い速度に制限されているため、この領域でガウスの法則に違反するガウス面を構築することは不可能です。これを裏付けるもう1つの技術的な困難は、光速以上で移動する荷電粒子はもはや一意の遅延時間を持たないことです。電場線は連続であるため、この擾乱の境界で接続し、光速で外側に移動する電磁放射パルスが生成されます。 ^{[ 28 ]}一般に、加速する点電荷は電磁波を放射しますが、電荷のシステムでは非放射加速が可能です。

任意に移動する点電荷の場合、光速でのローレンツゲージ場などの電位場の伝播は、リエナール・ヴィーヘルト電位を使用して考慮する必要があります。^{[ 29 ]}電位はマクスウェル方程式を満たすため、点電荷に対して導出された場もマクスウェル方程式を満たします。電場は次のように表されます。^{[ 30 ]}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}{\gamma ^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} _{s}\times \left(\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}\right)}{c\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|}}\right)_{t=t_{r}}}$$ どこ${\displaystyle q}$は点源の電荷であり、${\textstyle {t_{r}}}$遅延時間、つまり電場の発生源の寄与が始まった時間、${\textstyle {r}_{s}(t)}$は粒子の位置ベクトルです。${\textstyle \mathbf {n} _{s}(\mathbf {r} ,t)}$は、荷電粒子から空間内の点に向かう単位ベクトルです。${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$は粒子の速度を光速で割った値であり、${\textstyle \gamma (t)}$は対応するローレンツ因子である。遅延時間は、次の式の解として与えられる。 $${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}{c}}}$$

解決策の独自性${\textstyle {t_{r}}}$与えられた${\displaystyle t}$、${\displaystyle \mathbf {r} }$そして${\displaystyle r_{s}(t)}$これは、光速よりも遅く移動する荷電粒子に対して有効です。加速する電荷の電磁放射は、電場の加速度依存項によって引き起こされることが知られており、そこからラーモア公式の相対論的補正が得られます。^{[ 30 ]}

マクスウェル方程式には、同じ形式で時間軸が進んだ場合の別の解が存在する。${\textstyle {t_{a}}}$遅延時間の代わりに、以下の解決策として提示される。

$${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{a})\right|}{c}}}$$

この物理的解釈は、ある点における電場が、将来のある時点における粒子の状態によって決定されることを示しているため、これは非物理的な解とみなされ、無視される。しかし、ファインマン・ホイーラー吸収体理論など、マクスウェル方程式の未来の時間解を探求する理論が存在する。

上記の式は、一様に運動する点電荷の式およびその非相対論的極限と一致するものの、量子力学的効果については補正されていない。