終末論

ゴットは、将来生まれる人の数（N ）の事前分布の関数形式を具体的に提案している。ゴットのDAは、曖昧な事前分布を使用した。

${\displaystyle P(N)={\frac {k}{N}}}$。

どこ

• P(N)は、 n（これまでに生まれた人間の総数）が発見される前の確率である。
• 定数kは、P( N )の合計を正規化するために選択されます。ここで重要なのは、選択される値そのものではなく、関数形式です（これは不適切な事前分布であるため、 kのどの値も有効な分布を与えるわけではありませんが、ベイズ推論はこれを使用しても可能です）。

ゴットは全人間の事前分布P(N)を指定しているので、ベイズの定理と無差別原理だけでP(N|n)が得られます。これは、 nがNからのランダムな抽出である場合にN人の人間が生まれる確率です。

${\displaystyle P(N\mid n)={\frac {P(n\mid N)P(N)}{P(n)}}.}$

これは、これまでに生まれた人口nを条件とした、Nのこれまでに生まれた総人口の事後確率に関するベイズの定理です。ここで、無差別原理を使用します。

${\displaystyle P(n\mid N)={\frac {1}{N}}}$。

現在の人口の無条件n分布は、漠然とした事前N確率密度関数と同一であるため、^{[注1 ]}次のようになる。

${\displaystyle P(n)={\frac {k}{n}}}$、

各特定のNに対してP ( N | n ) を与える(事後確率方程式への代入により)。

${\displaystyle P(N\mid n)={\frac {n}{N^{2}}}}$。

与えられた信頼度（例えば95%）で終末予測値を算出する最も簡単な方法は、Nが非常に大きいので連続変数であると仮定し、 N = nからN = Zまでの確率密度関数を積分することです。（これにより、 N ≤ Zとなる確率の関数が得られます。）

${\displaystyle P(N\leq Z)=\int _{N=n}^{N=Z}P(N|n)\,dN}$${\displaystyle ={\frac {Zn}{Z}}}$

Z = 20 nと定義すると、次のようになります。

${\displaystyle P(N\leq 20n)={\frac {19}{20}}}$。

これは、終末論的議論の最も単純なベイズ的導出である。

将来生まれる人間の総数（N）が、これまでに生まれた人間の総数の20倍を超える確率は5%未満である。

漠然とした事前分布を用いるのは、特定の関数を選択する必要があるという前提のもと、 Nに関する知識をできるだけ少なくすることを前提としているため、妥当な方法と言える。これは、絶対位置 ( n )を知った後でも、小数位置の確率密度が一様分布を維持するという仮定と同等である。

ゴットが1993年の原著論文で用いた「参照クラス」は出生数ではなく、「人類」が種として存在してきた年数であり、彼はそれを20万年とした。また、ゴットは最小生存時間と最大生存時間の間の95%信頼区間を求めようとした。最小値を過小評価する確率が2.5%であるため、最大値を過大評価する確率も2.5%しかない。これは、絶滅が信頼区間の上限値より前に起こる確率が97.5%であることを意味し、上記の積分式でZ = 40 n、n = 20万年として使用できる。

${\displaystyle P(N\leq 40[200000])={\frac {39}{40}}}$

ゴットは、 N ≤ 8,000,000 年以内に絶滅する確率を 97.5% と推定しました。彼が引用した数値は、残りの推定時間N  − n = 780 万年です。これは、出生数を数えることで得られる時間的信頼限界よりもはるかに高い値です。なぜなら、時間に対する無関心の原理を適用したからです。（同じ仮説で異なるパラメータをサンプリングすることで異なる推定値が得られるのは、ベルトランのパラドックスです。）同様に、現在が人類史の最初の 97.5% に含まれる確率は 97.5% なので、人類の総寿命が少なくとも 800 万年になる確率は 97.5% です。 

${\displaystyle N\geq 200000\times {\frac {40}{39}}\approx 205100~{\text{years}}}$;

言い換えれば、ゴットの主張によれば、人類は5100年から780万年後の間に絶滅する確率は95％である。

ゴットはこの定式化をベルリンの壁やブロードウェイ、オフブロードウェイの演劇にも適用して検証した。^{[ 6 ]}

レスリーの主張は、ゴットの主張とは異なり、 Nの事前確率分布を漠然と仮定していない。その代わりに、レスリーは、 Nの事前確率分布に関係なく、出生順位を考慮に入れると終末が早く訪れる確率が高まるという点に終末論の説得力があると主張する。彼はこれを確率シフトと呼んでいる。

ハインツ・フォン・フェルスターは、人類が社会、文明、技術を構築する能力は自己抑制につながるものではないと主張した。むしろ、社会の成功は人口規模に正比例する。フォン・フェルスターはこのモデルがイエスの誕生から1958年までの約25のデータポイントに適合し、説明できない分散はわずか7%しか残っていないことを発見した。フォン・フェルスターの方程式が依然として正しいことを示すいくつかのフォローアップレター（1961年、1962年など）がサイエンス誌 に掲載された。データは1973年まで適合し続けた。フォン・フェルスターのモデルで最も注目すべき点は、人類の人口が2026年11月13日金曜日に無限大または数学的特異点に達すると予測したことである。実際には、フォン・フェルスターはその日の世界人口が実際に無限大になる可能性があると示唆したわけではない。本当の意味は、1960年以前の何世紀にもわたって続いてきた世界人口増加パターンが終焉を迎え、根本的に異なるパターンへと変容するということだった。注目すべきは、この「終末論」が発表されてからわずか数年後に、この予測が現実のものとなり始めたことである。^{[注2 ]}

ニック・ボストロムは、観測選択効果を考慮して、自己サンプリング仮定（SSA）を提唱しました。「適切な参照クラスからランダムに選ばれた観測者であるかのように考えるべきだ」というものです。参照クラスがこれまで生まれた人間の集合である場合、 95%の信頼度でN < 20 nとなります（標準的な終末論的議論）。しかし、彼はこの考えを改良し、観測者だけでなく観測者の瞬間にも適用できるようにしました。彼はこれを次のように定式化しました。 ^{[ 7 ]}

強い自己サンプリング仮定（SSSA）：各観測者モーメントは、参照クラス内のすべての観測者モーメントのクラスからランダムに選択されたかのように推論するべきである。

SSSAの根底にある原理の応用例（ただし、この応用例はボストロムによって明示的に述べられていない）は次のとおりである。この記事を読んでいる瞬間が、すべての人間の生涯におけるすべての瞬間からランダムに選ばれたとすると、（95%の信頼度で）この出来事は人間の観察瞬間の最初の5%以降に起こったことになる。将来の平均寿命が過去の平均寿命の2倍であるとすると、これはN < 10 n（将来の平均的な人間は、過去の平均的な人間の2倍の観察瞬間を経験する）が95%の信頼度で得られることを意味する。したがって、このバージョンにおける絶滅時間の95パーセンタイル推定値は4560年となる。

終末論に対する反論の一つは、その統計的手法には同意するものの、絶滅時期の推定値には同意しないというものである。この立場では、観察者がこれまで生まれたすべての人類から無作為に選ばれたと仮定できない理由を説明する必要があり、これはこの人類集団が適切な参照クラスではないことを意味する。終末論に反対するこの立場は、観察者が生まれた人類の最初の5%以内に属することを示唆している。

類推すると、共同プロジェクトに5万人が参加している場合、終末論的議論の論理によれば、そのプロジェクトのメンバー数は95%の信頼区間内で100万人を超えることはないということになります。しかし、その人の特性がプロジェクトの全期間を通して平均的なメンバーではなく、初期採用者の典型的なものである場合、その人がプロジェクトのライフサイクルのランダムな時点で参加したと考えるのは妥当ではないかもしれません。例えば、潜在的なユーザーの大多数は、プロジェクトがほぼ完成した段階で参加することを好むでしょう。しかし、もしある人がプロジェクトの未完成の状態を楽しんでいるとしたら、その人の早期参加が発覚する前から、その人は異例の存在であることがすでに分かっているのです。

典型的な長期ユーザーとは異なる測定可能な属性を持っている場合、プロジェクトの終末論は、その人が事前に上位5%のメンバーに入ることが期待できるという事実に基づいて反駁できる。全人類を対象とした議論の類推としては、現代人と歴史上の人間を主流から外す人間の特性の分布予測に対する確信は、 nを調べる前に、それがNの非常に早い段階にある可能性が高いことがすでにわかっていることを意味する。これは参照クラスを変更する議論である。

例えば、将来生まれる人間の99％がサイボーグであると確信しているが、これまでに生まれた人間のうちサイボーグはごくわずかであるとすれば、今後生まれる人の数は、これまでに生まれた人の少なくとも100倍であると確信することもできるだろう。

ロビン・ハンソンの論文は、終末論に対するこれらの批判を要約している。^{[ 8 ]}

他の条件はすべて同じではありません。私たちは、これから生まれてくるすべての人々の中から無作為に選ばれた人間ではないと考えるに足る十分な理由があります。

絶滅レベルの事象は稀であるという事後的な観察結果は、終末論の予測が非現実的であることを示す証拠として提示できる。一般的に、優勢種の絶滅は100万年に1回未満しか起こらない。したがって、今後1万年以内に人類が絶滅する可能性は低いと主張される。（終末論とは異なる結論を導き出す、別の確率論的議論。）

ベイズの観点から言えば、この終末論への反論は、歴史に関する我々の知識（あるいは災害を防ぐ能力）によって、Nの事前周辺確率が数兆の最小値を持つというものである。例えば、 Nが^10¹²から10¹³の^範囲で一様に分布している場合、 n =600億から推測されるN <12000億の確率は極めて小さい。これは同様に完璧なベイズ計算であり、人類が今後10万年以内に絶滅するようなメカニズムは存在しないため、我々は「特別な観察者」でなければならないという理由で、コペルニクス原理を否定している。

ロビン・ハンソンは、 Nの事前分布は指数分布である可能性があると主張している。^{[ 8 ]}

${\displaystyle N={\frac {e^{U(0,q]}}{c}}}$

ここで、cとqは定数です。qが大きい場合、 95%信頼区間の上限は、Nの指数値ではなく、一様分布の上限となります。

これをゴットのベイズ的議論と比較する最も簡単な方法は、確率がNとともに（反比例ではなく）より緩やかに減少することで、曖昧な事前分布からの分布を平坦化することです。これは、人類の成長が時間とともに指数関数的であり、終末が時間とともに曖昧な事前確率密度関数を持つという考えに対応します。これは、最後の出生であるNの分布が次のようになることを意味します。

${\displaystyle \Pr(N)={\frac {k}{N^{\alpha }}},0<\alpha <1.}$

この事前のN分布は、（無差別原理を用いて） nからNを推論するために必要なすべてであり、これはGottによって説明されている標準的なケースとまったく同じ方法で行われます（${\displaystyle \alpha }$= この分布では 1 です):

${\displaystyle \Pr(n)=\int _{N=n}^{N=\infty }\Pr(n\mid N)\Pr(N)\,dN=\int _{n}^{\infty }{\frac {k}{N^{(\alpha +1)}}}\,dN={\frac {k}{{\alpha }n^{\alpha }}}}$

事後確率方程式に代入すると：

${\displaystyle \Pr(N\mid n)={\frac {{\alpha }n^{\alpha }}{N^{(1+\alpha )}}}.}$

xnを超える任意のNの確率を積分する：

${\displaystyle \Pr(N>xn)=\int _{N=xn}^{N=\infty }\Pr(N\mid n)\,dN={\frac {1}{x^{\alpha }}}.}$

例えば、x = 20 の場合、${\displaystyle \alpha }$= 0.5 の場合、次のようになります。

${\displaystyle \Pr(N>20n)={\frac {1}{\sqrt {20}}}\simeq 22.3\%.}$

したがって、この事前確率を用いると、1兆人の出生の確率は、標準的なDAで示される5%ではなく、20%をはるかに超える。${\displaystyle \alpha }$事前分布Nがより平坦であると仮定すると、 nによって与えられるNの制限はさらに弱くなる。${\displaystyle \alpha }$そのうちの1つは、出生参照クラスを使用してゴットの計算を再現し、${\displaystyle \alpha }$人口が指数関数的に増加している場合、約0.5は彼の時間的信頼区間の計算を近似できる可能性がある。${\displaystyle \alpha \to 0}$（nが小さくなるにつれて）nはNに関する情報がますます少なくなる。極限では、この分布は（無限）一様分布に近づき、 Nのすべての値が等しく起こりやすくなる。これはPageらの「仮定3」であり、彼らはこれを事前に否定する理由をほとんど見出していない。（ただし、すべての分布は${\displaystyle \alpha \leq 1}$これらは不適切な事前分布であり、これはゴットの曖昧な事前分布にも当てはまり、有限の上限人口を仮定することで、これらはすべて適切な積分を生成するように変換できます。）人口が 2 Nに達する確率は通常、 Nに達する確率にNから2 Nまでの生存確率を掛けたものと考えられているため、Pr( N ) はNの単調減少関数でなければなりませんが、これは必ずしも反比例を必要としません。^{[ 8 ]}

終末論に対するもう一つの反論は、予想される人類の総人口は実際には無限であるという点である。^{[ 9 ]}計算は以下の通りである。

総人口N = n / fであり、nは現在までの総人口、fは総人口における我々の割合である。

f は(0,1]上で一様分布していると仮定します。

Nの期待値は$${\displaystyle E(N)=\int _{0}^{1}{n \over f}\,df=n[\ln(f)]_{0}^{1}=n\ln(1)-n\ln(0)=+\infty .}$$

直感に反する無限の期待値の類似例としては、サンクトペテルブルクのパラドックスを参照のこと。

一つの反論は、人間が存在する可能性は、将来存在する人間の数（N）に依存するというものである。この数が多い場合、人間が存在する可能性は、ごく少数の人間しか存在しない場合よりも高くなる。実際に人間が存在するということは、将来存在する人間の数が多いことの証拠となる。^{[ 10 ]}

この反論は、元々はデニス・ディークス（1992年）によるもので、^{[ 11 ]}現在はニック・ボストロムが名付けた「自己指示仮定の反論」として知られています。一部のSIAは、 n（現在の人口）からNを推論することを妨げることが示されています。 ^{[ 12 ]}

SIAはマシュー・アデルスタインによって擁護されており、SIAに代わるあらゆる選択肢は終末論の正当性やその他さらに奇妙な結論を暗示していると主張している。^{[ 13 ]}

カールトン・M・ケイブスのベイズ的議論は、一様分布の仮定はコペルニクス原理と相容れないものであり、その結果ではないと述べている。^{[ 14 ]}

ケイブスは、ゴットの法則が非現実的であると主張するために、いくつかの例を挙げている。例えば、何も知らない誕生日パーティーに偶然出くわした状況を想像してみてほしい。

あなたが親切に誕生日を迎える人の年齢を尋ねると、彼女は50歳の誕生日を迎えたと答えた。_ゴットの法則によれば、この女性が将来[50]/39 = 1.28年から39[×50] = 1,950年まで生存すると95%の信頼度で予測できる。この広い範囲は女性の生存に関する妥当な期待を包含しているため、それほど悪くないように思えるかもしれないが、[ゴットの法則]によれば、この女性は100歳を超えて生存する確率が1/2、150歳を超えて生存する確率が1/3であることに気付くと、話は変わってくる。ゴットの法則を使って女性の生存に賭けたいと思う人はほとんどいないだろう。 （下記のケイブスのオンライン論文を参照。）

ケイブの例は、J・リチャード・ゴットの「コペルニクス的方法」による議論の弱点を露呈している。それは、「コペルニクス的方法」がいつ適用できるかを明示していない点である。しかし、この批判は、より洗練された議論に対しては効果が薄い。ニック・ボストロムなどの哲学者によるゴットの議論の認識論的洗練では、次のように明示されている。

絶対的な出生順位（n）を知っても、総人口（N）に関する情報は得られないはずです。

このルールで規定された慎重なDAバリアントは、上記のCavesの「老婦人」の例では不自然とは示されません。なぜなら、女性の年齢は寿命の推定値よりも前に示されているからです。人間の年齢は（生命表を通して）生存時間の推定値を与えるため、Cavesの誕生日パーティーの年齢推定は、この但し書きで定義されたDA問題のクラスには該当しません。

綿密に指定されたベイズ型DAに匹敵する「誕生日パーティーの例」を作成するには、人間の寿命に関するあらゆる事前知識を完全に排除する必要があります。原理的にはこれは可能ですが（例えば、仮想的な記憶喪失室など）、そうすると修正された例は日常的な経験からかけ離れてしまいます。日常的な領域に留めておくためには、生存推定を行う前に女性の年齢を隠さなければなりません。（これはもはや厳密にはDAではありませんが、はるかに類似したものとなります。）

女性の年齢がわからない場合でも、DA推論は誕生日（n）を50%の信頼度で最大寿命（N ）に変換するルールを生成します。ゴットのコペルニクス法のルールは単純に、Prob（N < 2n ） = 50%です。この推定値はどの程度正確になるでしょうか？西洋の人口統計は現在、年齢間でかなり均一であるため、ランダムな誕生日 ( n )は、国勢調査における最大寿命Mを U(0, M ]の抽出によって (非常に大まかに) 近似できます。この「フラット」モデルでは、全員が同じ寿命を共有しているため、 N = Mとなります。n が (M)/2 より小さい場合、NのGottの 2n推定値は、その真の値であるMを下回ります。残りの半分の時間は 2nがM を過小評価し、この場合 (Caves が例で強調しているケース) は、2n推定値に達する前に対象者が死亡します。この「フラット人口統計」モデルでは、Gott の 50% 信頼度値は 50% の確率で正しいことが証明されます。

一部の哲学者は、終末論（DA）を熟考した者だけが「人間」という参照クラスに属すると主張している。もしそれが適切な参照クラスだとすれば、カーターは（王立協会で）この議論を初めて説明した際に、自身の予測に反したことになる。同席者は次のように主張したかもしれない。

現在、世界で終末論を理解している人はたった一人しかいない。だから、その論理に従えば、それはせいぜい２０人しか興味を持たないような些細な問題である可能性が９５％あり、無視すべきだということになる。

ジェフ・デューインとピーター・ランズバーグ教授は、この推論は終末論にパラドックスを生み出すだろうと示唆した。 ^{[ 9 ]}

もし王立協会の会員がそのようなコメントをした場合、それは彼らがDAを十分に理解していることを示しており、実際には2人がそれを理解していると言えるでしょう。したがって、40人以上が実際に興味を持つ可能性は5%あることになります。また、もちろん、少数の人しか興味を示さないだろうという理由だけで何かを無視するのは極めて近視眼的です。もしこのようなアプローチを取るなら、興味や注意のメカニズムの本質について何の先験的な知識も持たないと仮定するならば、新しいことは何も探求されないでしょう。

様々な著者が、終末論は将来の期間と総期間の誤った混同に基づいていると主張している。これは、「間もなく破滅」と「破滅が延期される」という2つの期間の指定に起因しており、どちらの期間も出生順序の観測値の後に発生するように選択されていることを意味する。ピサトゥーロ（2009）^{[ 15 ]}の反論では、終末論は次のような等式に基づいていると主張している。

${\displaystyle P(H_{TS}|D_{p}X)/P(H_{TL}|D_{p}X)=[P(H_{FS}|X)/P(H_{FL}|X)]\cdot [P(D_{p}|H_{TS}X)/P(D_{p}|H_{TL}X)]}$、

どこ：

X = 事前情報。

D _p = 過去の期間がt _pであるデータ。

H _FS = 将来的にその現象の継続期間は短いという仮説。

H _FL = 将来的にその現象が長期間続くという仮説。

H _TS = 現象の総継続時間が短いという仮説、つまり、現象の総継続時間t _t = t _TSである。

H _TL = 現象の総継続期間が長いという仮説、つまり、現象の総継続期間t _tはt _TLであり、t _TL > t _TSである。

ピサトゥーロは次のように述べている。

これは明らかにベイズの定理の誤った適用例であり、将来の期間と総期間を混同している。

ピサトゥーロは、この方程式に対する2つの可能な修正、すなわち将来の期間のみを考慮する場合と、総期間のみを考慮する場合に基づいた数値例を取り上げている。どちらの場合も、彼は終末論者の主張、つまり将来の期間が短い方に有利な「ベイズ的シフト」が存在するという主張は誤りであると結論付けている。

この議論はオニール（2014）でも繰り返されている。^{[ 16 ]} この著作の中で、オニールは、一方向の「ベイズシフト」は確率論の標準的な定式化の中では不可能であり、確率の規則に矛盾すると主張している。ピサトゥーロと同様に、彼は終末論は、観察された出生順序の後に起こる終末の時期を指定することによって、将来の期間と総期間を混同していると主張している。オニールによれば、次のようになる。

終末論とその「ベイズ的シフト」の主張に対する反発の理由は、確率論に精通している多くの人々が、実際に観察された結果に関わらず、信念が自動的に一方的に変化するという主張の不合理性を暗黙のうちに認識しているからである。これは、根底にある推論メカニズムの特定の種類の欠陥から生じる「既定路線への推論」の一例である。この議論で用いられている推論問題を検証すると、この疑念は確かに正しく、終末論は無効であることがわかる。（216-217ページ）

ゲルマンとロバート^{[ 17 ]}は、終末論的議論は頻度論的信頼区間とベイズ的信用区間を混同していると主張している。各個人が自分の数nを知っていて、それを使ってNの上限を推定すると仮定する。各個人は異なる推定値を持っており、これらの推定値は、95%がNの真の値を含み、残りの5%が含まないように構築されている。ゲルマンとロバートによれば、これが頻度論的下側95%信頼区間の定義特性である。しかし、彼らは「これは、特定の区間が真の値を含む確率が95%であることを意味するものではない」と述べている。つまり、信頼区間の95%がNの真の値を含むとしても、これはNが95%の確率で信頼区間に含まれることとは異なる。後者は別の特性であり、ベイズ的信用区間の定義特性である。ゲルマンとロバートは次のように結論付けている。

終末論的議論は、ベイズ教育者の間で愛されている考え方、つまり、学生やクライアントはネイマン・ピアソン信頼区間を実際には理解しておらず、必然的に直感的なベイズ的解釈を与えてしまうという考え方の究極の勝利である。