ドイツの戦車問題

統計的推定理論において、ドイツ戦車問題は、非復元標本抽出から離散一様分布の最大値の推定を行うことです。簡単に言えば、1 からNまで順番に番号が付けられた未知の数のアイテムが存在するとします。これらのアイテムからランダムにサンプルを抽出し、その順序番号を観察します。問題は、観察されたこれらの数から N を推定することです。

この問題には、頻度主義的推論またはベイズ推論のいずれかを使用してアプローチできますが、結果は異なります。単一のサンプルに基づいて母集団の最大値の推定を行うと、異なる結果が得られますが、複数のサンプルに基づく推定は、答えが単純である（特に頻度主義の設定では）が、明白ではない（特にベイズの設定では）実用的な推定問題です。

この問題は、第二次世界大戦中に連合軍が、非常に限られたデータからドイツの戦車の月間生産率を推定するために歴史的に適用したことにちなんで名付けられました。これは、戦車の部品 (シャーシ、ギアボックス、エンジン、車輪) に昇順のシリアル番号を割り当てて取り付ける製造慣行を利用したもので、最終的に一部の戦車は戦闘で連合軍に捕獲されました。

敵は、シリアル番号 1 から始まる連続した整数が記された一連の戦車を製造したと推定されます。さらに、戦車の製造日、使用履歴、またはシリアル番号に関係なく、分析が行われる時点まで、分析で明らかになるシリアル番号の分布は均一です。

戦車には 1 から始まる連続したシリアル番号が割り当てられていると仮定し、4 台の戦車が捕獲され、それらのシリアル番号が 19、40、42、60 であるとします。

頻度主義アプローチ（最小分散不偏推定量を使用）では、生産されるタンクの総数は次のように予測されます。

${\displaystyle N\approx 74}$

ベイズ的アプローチ（適切に大きい に対して の整数に対して一様事前分布を使用）では、生産される戦車の数の中央値は頻度主義の予測と非常によく似たものになると予測されます。 ${\displaystyle [4,\Omega ]}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle N_{med}\approx 74.5}$

一方、ベイズ平均では、生産される戦車の数は次のように予測されます。

${\displaystyle N_{av}\約 89}$

N は生産されたと予測される戦車の総数、m は観測された最大のシリアル番号、k は捕獲された戦車の数とします 。

頻度主義予測は次のように計算されます。

${\displaystyle N\approx m+{\frac {m}{k}}-1=74}$

ベイズ中央値は次のように計算されます。

${\displaystyle N_{med}\approx m+{\frac {m\ln(2)}{k-1}}=74.5}$

ベイズ平均は次のように計算されます。

${\displaystyle N_{av}\approx (m-1){\frac {k-1}{k-2}}=89}$

これらのベイズ量はベイズ事後分布から導出されます。

${\displaystyle \Pr(N=n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n<m\\{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}&{\text{if }}n\geq m,\end{cases}}}$

この確率質量関数は正の歪度を持ち、これは少なくとも60台のタンクが存在するという事実に関連しています。この歪度のため、平均値は最も意味のある推定値ではない可能性があります。この例の中央値は74.5で、頻度主義の公式とほぼ一致しています。スターリングの近似を使用すると、事後分布はnの指数関数的に減少する関数で近似できます。

${\displaystyle \Pr(N=n)\approx {\begin{cases}0&{\text{if }}n<m\\(k-1)m^{k-1}n^{-k}&{\text{if }}n\geq m,\end{cases}}}$

中央値の近似値は次のようになります。

${\displaystyle N_{med}\approx m+{\frac {m\ln(2)}{k-1}}}$

平均と標準偏差の近似値は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}N&\approx \mu \pm \sigma =89\pm 50,\\[5pt]\mu &=(m-1){\frac {k-1}{k-2}},\\[5pt]\sigma &={\sqrt {\frac {(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^{2}}}}.\end{aligned}}}$

第二次世界大戦中、西側連合国はドイツの生産規模を判定するために継続的な努力を続け、従来の情報収集と統計的推定という 2 つの主要な方法でこれに取り組みました。多くの場合、統計分析は従来の情報収集を大幅に改善しました。場合によっては、D デイ直前のパンサー戦車の生産量の推定の場合のように、従来の情報が統計的手法と組み合わせて使用​​されました。

連合軍の指揮系統は、イタリアで目撃された高速で長砲身の75mm/L70砲を搭載したV号戦車（パンター）は珍しい重戦車で、チュニジアで目撃されたティーガーIと同様に、北フランスで少数が目撃されるだけだと考えていた。アメリカ陸軍は、北アフリカやシチリア島でIII号戦車やIV号戦車と戦ったときのように、シャーマン戦車が今後も優れた戦果を上げ続けると確信していた。^[a] D-デイの直前、大量のV号戦車が使用されているとの噂が流れた。

これが真実かどうかを判断するために、連合国は生産された戦車の数を推定しようとした。そのために、彼らは捕獲または破壊された戦車のシリアル番号を使用した。使用された主な番号はギアボックス番号で、これは2つの途切れないシーケンスになっている。シャーシとエンジンの番号も使用されたが、それらの使用はより複雑だった。分析をクロスチェックするために、他のさまざまなコンポーネントが使用された。同様の分析が車輪に対して行われ、連続番号（つまり、1、2、3、...、  N）が付けられていることが観察された。^{[2] [b] [3] [4]}

戦車の車輪を分析すると、使用されていた車輪の金型の数が推定された。その後、英国の車輪メーカーとの話し合いにより、この金型から製造できる車輪の数を推定し、毎月製造される戦車の台数を算出した。2台の戦車の車輪（各32個の車輪、合計64個の車輪）を分析すると、1944年2月に270台の戦車が製造されたと推定され、これは以前の推測よりも大幅に多い数であった。^[5]

戦後のドイツの記録によると、1944年2月の生産台数は276台だった。^{[6] [c]}この統計的アプローチは従来の諜報方法よりもはるかに正確であることが判明し、「ドイツの戦車問題」というフレーズがこの種の統計分析を表す言葉として受け入れられるようになった。

このシリアル番号分析は、生産量を推定するだけに使われたわけではありません。工場の数、工場の相対的な重要性、サプライチェーンの長さ（生産と使用の遅れに基づく）、生産の変化、ゴムなどの資源の使用など、ドイツの生産をより一般的に理解するためにも使われました。

連合国の従来の情報機関の推定によると、ドイツ軍は1940年6月から1942年9月までの間に毎月約1,400両の戦車を生産していた。以下の式を捕獲した戦車のシリアルナンバーに当てはめると、その数は毎月246両と計算された。戦後、アルベルト・シュペーア省が捕獲したドイツの生産数値は、実際の数が245両であることを示した^。[3]

特定の月についての推定値は次のように示されています: ^[7]

同様のシリアル番号分析は第二次世界大戦中に他の軍事装備にも使用され、最も成功したのはV-2ロケットでした。^[8]

ソ連軍装備品の工場刻印は朝鮮戦争中に分析され、第二次世界大戦中にはドイツの諜報機関によって分析された。^[9]

1980年代、一部のアメリカ人はイスラエルのメルカバ戦車の生産ラインへのアクセスを許可された。生産数は機密扱いだったが、戦車にはシリアル番号が付いており、生産量を推定することができた。^[10]

この式は軍事以外の分野でも使用されており、例えばコモドール64コンピュータの製造台数を推定する際に使用され、その結果（1250万台）は下限の推定値と一致している。^[11]

シリアル番号の解析を混乱させるために、シリアル番号を除外するか、使用可能な補助情報を削減することができます。あるいは、暗号解読に耐性のあるシリアル番号を使用することもできます。最も効果的なのは、生成されたオブジェクトの数よりもはるかに大きいリストから番号をランダムに選択するか、乱数を生成して、すでに割り当てられている番号のリストと照合することです。可能な桁数が生成されたオブジェクトの数の桁数の2倍を超えない限り、衝突が発生する可能性があります (シリアル番号は任意の基数でかまいません)。誕生日問題を参照してください。^[d]このため、暗号的に安全な疑似乱数ジェネレータを使用できます。これらの方法はすべて、シリアル番号から製造順序に戻るための参照テーブル (または暗号の解読) を必要とし、シリアル番号の使用を複雑にします。たとえば、シリアル番号の範囲を思い出すことはできず、それぞれを個別に検索するか、リストを生成する必要があります。

あるいは、連続したシリアル番号は、単純な置換暗号で暗号化することができます。これは簡単に解読できますが、頻度分析によって簡単に破られます。つまり、任意の点から始めても、平文にはパターンがあります（つまり、数字が連続しています）。 1 つの例は、ケン・フォレットの小説「ゼロへのコード」にあります。この小説では、ジュピター Cロケットのシリアル番号の暗号化は次のように表されています。

ここでのコードワードはハンツビル（重複する文字は省略）で、10文字のキーが得られます。^[12]したがって、ロケット番号13は「HN」、ロケット番号24は「UT」でした。

点推定（合計の単一の値を推定する）の場合、最小分散不偏推定量（MVUEまたはUMVU推定量）は次のように与えられる：^[e]${\displaystyle {\widehat {N}}}$

${\displaystyle {\widehat {N}}=m(1+k^{-1})-1,}$

ここで、mは観測された最大のシリアル番号（サンプル最大値）、kは観測されたタンクの数（サンプルサイズ）である。^{[10] [13]}シリアル番号が一度観測されると、それはプール内にはなくなり、再び観測されることはないことに注意してください。

これにはばらつきがある^[10]

${\displaystyle \operatorname {var} \left({\widehat {N}}\right)={\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N,}$

したがって、標準偏差はおよそN / k、つまりサンプル内のソートされた観測値間のギャップの予想されるサイズになります。

この式は、サンプル最大値とサンプル内の観測値間の平均ギャップを足したものとして直感的に理解できる。サンプル最大値は、最大尤度推定量であるため初期推定値として選択される。^[f]ギャップは、母集団最大値の推定値としてのサンプル最大値の負のバイアスを補正するために追加され、^[g]と書かれる。

${\displaystyle {\widehat {N}}=m+{\frac {m-k}{k}}=m+mk^{-1}-1=m(1+k^{-1})-1.}$

これは、サンプル内の観測値が範囲全体に均等に配置され、範囲のすぐ外側に 0 とN + 1 の追加の観測値があると想像することで視覚化できます。0 とサンプル内の最低の観測値 (サンプルの最小値) の間の初期ギャップから開始する場合、サンプル内の連続する観測値間の平均ギャップは です。 は、観測値間のギャップを計算する際に観測値自体はカウントされないためです。^{[h] 。期待値の導出とサンプル最大値の分散は、}離散一様分布のページに示されています。 ${\displaystyle (m-k)/k}$${\displaystyle -k}$

この考え方は、最大間隔推定法で形式化され一般化されています。同様のヒューリスティックが Q-Qプロットでの位置のプロットにも使用され、一様分布上に均等に分布し、最後にギャップがある k / ( n + 1)のサンプルポイントがプロットされます。

点推定の代わりに、または点推定に加えて、信頼区間などの区間推定を実行することができます。これらは、サンプル内のk 個の観測値が範囲 p (0 ≤  p  ≤ 1)の区間pに含まれる確率がp ^kであるという観察に基づいて簡単に計算されます(このセクションでは、計算を簡略化するために、抽出は復元ありで行われるものと仮定します。抽出が復元なしの場合、尤度が過大評価され、区間は過度に保守的になります)。

したがって、標本最大値の分位数の標本分布は、0から1までのグラフx ^{1/ k}です。標本最大値mのp番目からq番目の分位数は、区間[ p ^{1/ k} N、  q ^{1/ k} N ]です。これを反転すると、母集団最大値の対応する信頼区間[ m / q ^{1/ k}、  m / p ^{1/ k} ]が得られます。

たとえば、k = 5の場合に対称 95% 区間p = 2.5%、q = 97.5%をとると、0.025 ^1/5 ≈ 0.48、0.975 ^1/5 ≈ 0.995 となり、信頼区間はおよそ [1.005 m、2.08 m ] となります。下限はmに非常に近いため、より有益なのはp = 5%から 100% までの非対称信頼区間です。k = 5の場合、0.05 ^1/5 ≈ 0.55 となり、区間は [ m、1.82 m ] となります。

より一般的には、（下向きに偏った） 95 % 信頼区間は [ m , m /0.05 ^{1/ k} ] = [ m , m ·20 ^1/k ] です。k 値の範囲については、UMVU ポイント推定値（読みやすさのために 1 を加算）を参考にすると、次のようになります。

直ちに観察されたことは次のとおりです。

• サンプルサイズが小さい場合、信頼区間は非常に広くなり、推定値の不確実性が大きくなります。
• 範囲は急速に縮小し、サンプル内のすべての観測値が最大値を大幅に下回る確率が指数関数的に減少していることを反映しています。
• N がサンプルの最大値より低くなることは決してありませんが、それより任意に高くなる可能性はありますので、信頼区間は正の偏りを示します。

注意すべきことは、推定値の標準誤差は母集団の最大値（パラメータ）に基づいているため、m / k を標準誤差SEの推定値として単純に（または ( m  +  m / k  − 1)/ kとして）使用することはできないということであり、推定値を使用してその推定値自体の誤差を推定することは循環論法である。

ドイツの戦車問題^[14]に対するベイズ的アプローチは、観測された戦車の数が であり、観測された最大シリアル番号が であるときに、敵の戦車の数が である事後確率を考慮することである。 ${\displaystyle (N=n\mid M=m,K=k)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$

この問題の答えは、の事前分布の選択に依存します。ポアソン分布や負の二項分布など、正の整数に対する適切な事前分布を使用して進めることができ、事後平均と事後分散の閉じた式が得られます。^[15] 以下では、代わりに有界な一様事前分布を採用します。 ${\displaystyle N}$

簡潔にするために、以下ではと記述します。 ${\displaystyle (N=n\mid M=m,K=k)}$${\displaystyle (n\mid m,k)}$

条件付き確率の規則は

${\displaystyle (n\mid m,k)(m\mid k)=(m\mid n,k)(n\mid k)=(m,n\mid k)}$

表現

${\displaystyle (m\mid n,k)=(M=m\mid N=n,K=k)}$

は、敵戦車の数 が に等しいことが分かっており、観測された敵戦車の数 がに等しいことが分かっているときに、観測された最大シリアル番号 がに等しい条件付き確率です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$

それは

${\displaystyle (m\mid n,k)={\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}^{-1}[k\leq m][m\leq n]}$

ここでは二項係数、 はアイバーソン括弧です。 ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$${\displaystyle [k\leq n]}$

この式は次のように導き出されます。 「タンクが全部 ある場合、特定のシリアル番号がタンクのサンプルで観測される最高番号である確率はどれくらいですか?」という質問に答えます。${\displaystyle (m\mid n,k)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

サンプルのサイズは、個々の抽出を非置換で行った結果であると考えることができます。が抽出番号 で観測されると仮定します。 これが発生する確率は次のとおりです。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle d}$$${\displaystyle \underbrace {{\frac {m-1}{n}}\cdot {\frac {m-2}{n-1}}\cdot {\frac {m-3}{n-2}}\cdots {\frac {m-d+1}{n-d+2}}} _{d-1{\text{ times}}}\cdot \underbrace {\frac {1}{n-d+1}} _{{\text{draw no. }}d}\cdot \underbrace {{\frac {m-d}{n-d}}\cdot {\frac {m-d-1}{n-d-1}}\cdots {\frac {m-d-(k-d-1)}{n-d-(k-d-1)}}} _{k-d{\text{ times}}}={\frac {(n-k)!}{n!}}\cdot {\frac {(m-1)!}{(m-k)!}}.}$$

右側からわかるように、この式は とは独立しており、したがって各 に対して同じです。は異なる抽選で得られるため、特定の が観測される最大のものである確率は、上記の確率の 倍になります。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle d\leq k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$$${\displaystyle (m\mid n,k)=k\cdot {\frac {(n-k)!}{n!}}\cdot {\frac {(m-1)!}{(m-k)!}}={\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}^{-1}.}$$

この式は、タンクが一度観測されたが、シリアル番号が実際に観測される前に、 最大シリアル番号が等しくなる確率です。${\displaystyle (m\mid k)=(M=m\mid K=k)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

この式は、すべての可能な を周辺化することで、他の量に関して書き直すことができます。 ${\displaystyle (m\mid k)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(m\mid k)&=\sum _{n=0}^{\infty }(m,n\mid k)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }(m\mid n,k)(n\mid k)\end{aligned}}}$

は事前に固定されていると仮定し、 上の分布を考慮する必要はありません。したがって、事前分布は に依存できます。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

表現

${\displaystyle (n\mid k)=(N=n\mid K=k)}$

は、タンクの総数が であることが分かっているが、シリアル番号が観測される前に、タンクの総数が に等しいという信頼性である。これは、何らかの離散一様分布であると仮定する。${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle (n\mid k)=(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega ]}$

上限は 有限でなければならない。なぜなら関数 ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle f(n)=\lim _{\Omega \rightarrow \infty }(\Omega -k)^{-1}[k\leq n][n<\Omega ]=0}$

は質量分布関数ではありません。以下の結果は に依存しません。 ${\displaystyle \Omega }$

ただし、事前分布は観測データと一致するものとする。 ${\displaystyle \Omega >m}$

${\displaystyle (n\mid m,k)=(m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\Omega -1}(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n][n<\Omega ]}$

となると、和は（ k ≥ 2の場合には有限となる ）に近づく。したがって、が十分に大きい場合、 ${\displaystyle \Omega \rightarrow \infty }$${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle (n\mid m,k)\approx (m\mid n,k)\left(\sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)\right)^{-1}[m\leq n]}$

k  ≥ 1の場合、敵戦車の数の分布のモードはmです。

k ≥ 2の場合 、敵戦車の数が に等しい という確信度は、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle (N=n\mid m,k)=(k-1){\binom {m-1}{k-1}}k^{-1}{\binom {n}{k}}^{-1}[m\leq n]}$

敵戦車の数Nがnより大きいという信憑性は、

${\displaystyle (N>n\mid m,k)={\begin{cases}1&{\text{if }}n<m\\{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k-1}}}&{\text{if }}n\geq m\end{cases}}}$

k  ≥ 3の場合、 Nは有限の平均値を持ちます。

${\displaystyle (m-1)(k-1)(k-2)^{-1}}$

k  ≥ 4の場合、 Nは有限の標準偏差を持ちます。

${\displaystyle (k-1)^{1/2}(k-2)^{-1}(k-3)^{-1/2}(m-1)^{1/2}(m+1-k)^{1/2}}$

これらの式は以下のように導出されます。

以下では、ドイツの戦車問題に関連する 級数を簡略化するために、次の二項係数恒等式が使用されます。

${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}={\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {m-1}{k-1}}}}$

この和の公式は積分公式にいくらか似ている。

${\displaystyle \int _{n=m}^{\infty }{\frac {dn}{n^{k}}}={\frac {1}{k-1}}{\frac {1}{m^{k-1}}}}$

これらの式はk  > 1 の場合に適用されます。

n 個のタンクの集団からランダムに 1 個のタンクを観察すると、m  ≤  nの場合は1/ nの確率でシリアル番号mが得られ、m  >  nの場合は 0 の確率で得られます。アイバーソンの括弧記法 を使用すると、これは次のように表されます。

${\displaystyle (M=m\mid N=n,K=1)=(m\mid n)={\frac {[m\leq n]}{n}}}$

これは の条件付き確率質量分布関数です。 ${\displaystyle m}$

m を固定してnの関数として考えると、これは尤度関数です。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)={\frac {[n\geq m]}{n}}}$

タンクの総数の最大尤度推定値は N 0 = m ですが、実際の_数 は これより多く、潜在的にはもっと多いかもしれませんが、これより少なくなることはないため、明らかに偏った推定値です。

周辺尤度（つまり、すべてのモデルにわたって周辺化された尤度）は無限大であり、調和級数の末尾になります。

${\displaystyle \sum _{n}{\mathcal {L}}(n)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$

しかし

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)[n<\Omega ]&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{n}}\\[5pt]&=H_{\Omega -1}-H_{m-1}\end{aligned}}}$

ここで は調和数です。 ${\displaystyle H_{n}}$

信頼性質量分布関数は事前限界に依存する。 ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=1)\\[5pt]={}&(n\mid m)={\frac {[m\leq n]}{n}}{\frac {[n<\Omega ]}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\end{aligned}}}$

の平均値 は ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}n\cdot (n\mid m)&=\sum _{n=m}^{\Omega -1}{\frac {1}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\[5pt]&={\frac {\Omega -m}{H_{\Omega -1}-H_{m-1}}}\\[5pt]&\approx {\frac {\Omega -m}{\log \left({\frac {\Omega -1}{m-1}}\right)}}\end{aligned}}}$

1つのタンクではなく2つのタンクが観測された場合、観測された2つのシリアル番号のうち大きい方がmに等しい確率は、

${\displaystyle (M=m\mid N=n,K=2)=(m\mid n)=[m\leq n]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

固定mに対するnの関数として考えると、これは尤度関数である。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {m-1}{\binom {n}{2}}}}$

全体の確率は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)&={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}\cdot {\frac {2}{2-1}}\cdot {\frac {1}{\binom {m-1}{2-1}}}\\[4pt]&=2\end{aligned}}}$

そして信頼性の質量分布関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=2)\\[4pt]={}&(n\mid m)\\[4pt]={}&{\frac {{\mathcal {L}}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)}}\\[4pt]={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n(n-1)}}\end{aligned}}}$

中央値 は ${\displaystyle {\tilde {N}}}$

${\displaystyle \sum _{n}[n\geq {\tilde {N}}](n\mid m)={\frac {1}{2}}}$

それで

${\displaystyle {\frac {m-1}{{\tilde {N}}-1}}={\frac {1}{2}}}$

そして中央値は

${\displaystyle {\tilde {N}}=2m-1}$

しかし、の平均値は無限大である ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \mu =\sum _{n}n\cdot (n\mid m)={\frac {m-1}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n-1}}=\infty }$

シリアル番号{1,..., n }から抽出されたk個の観測値のうち最大のものがmに等しい条件付き確率は、

${\displaystyle {\begin{aligned}&(M=m\mid N=n,K=k\geq 2)\\={}&(m\mid n,k)\\={}&[m\leq n]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}\end{aligned}}}$

nの尤度関数は同じ式である

${\displaystyle {\mathcal {L}}(n)=[n\geq m]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}}$

総尤度はk ≥ 2に対して有限である:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)&={\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{1 \over {\binom {n}{k}}}\\&={\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\cdot {\frac {k}{k-1}}\cdot {\frac {1}{\binom {m-1}{k-1}}}\\&={\frac {k}{k-1}}\end{aligned}}}$

信頼性の質量分布関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N=n\mid M=m,K=k\geq 2)=(n\mid m,k)\\={}&{\frac {{\mathcal {L}}(n)}{\sum _{n}{\mathcal {L}}(n)}}\\={}&[n\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {n}{k}}}\\={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{\binom {n-1}{k-1}}}\\={}&[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {m-2}{n-1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{\binom {n-2}{k-2}}}\end{aligned}}}$

補完累積分布関数は、N > xの信頼性である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N>x\mid M=m,K=k)\\[4pt]={}&{\begin{cases}1&{\text{if }}x<m\\\sum _{n=x+1}^{\infty }(n\mid m,k)&{\text{if }}x\geq m\end{cases}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {N}{k}}}\\[4pt]={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}\\[4pt]={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\cdot {\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {x}{k-1}}}\\[4pt]={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {x}{k-1}}}\end{aligned}}}$

累積分布関数はN≤xの信頼性である。

${\displaystyle {\begin{aligned}&(N\leq x\mid M=m,K=k)\\[4pt]={}&1-(N>x\mid M=m,K=k)\\[4pt]={}&[x\geq m]\left(1-{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {x}{k-1}}}\right)\end{aligned}}}$

敵戦車の数の桁は

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\sum _{n}n\cdot (N=n\mid M=m,K=k)\\[4pt]&=\sum _{n}n[n\geq m]{\frac {m-1}{n}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{\binom {n-1}{k-1}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n-1}{k-1}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {\binom {m-2}{k-2}}{1}}\cdot {\frac {k-1}{k-2}}{\frac {1}{\binom {m-2}{k-2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}\end{aligned}}}$

統計的不確実性は標準偏差であり、次の式を満たす。 ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ^{2}+\mu ^{2}=\sum _{n}n^{2}\cdot (N=n\mid M=m,K=k)}$

それで

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{2}+\mu ^{2}-\mu &=\sum _{n}n(n-1)\cdot (N=n\mid M=m,K=k)\\[4pt]&=\sum _{n=m}^{\infty }n(n-1){\frac {m-1}{n}}{\frac {m-2}{n-1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{\binom {n-2}{k-2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}\cdot {\frac {\binom {m-3}{k-3}}{1}}\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n-2}{k-2}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-2}}{\frac {\binom {m-3}{k-3}}{1}}{\frac {k-2}{k-3}}{\frac {1}{\binom {m-3}{k-3}}}\\[4pt]&={\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-3}}\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &={\sqrt {{\frac {m-1}{1}}{\frac {m-2}{1}}{\frac {k-1}{k-3}}+\mu -\mu ^{2}}}\\[4pt]&={\sqrt {\frac {(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^{2}}}}\end{aligned}}}$

分散平均比は単純に

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}={\frac {m-k+1}{(k-3)(k-2)}}}$

• 標識と再捕獲、個体群サイズを推定する別の方法
• 最大間隔推定は、「均一に分布していると仮定する」という直感を一般化したものである。
• コペルニクスの原理とリンディ効果は、サンプル内の 1 つの観測値 (現在の年齢) のみを想定した類似の寿命予測です。
  • 終末論、人類の予想生存時間を推定するための応用。
• 一般化された極値分布、サンプル最大値の可能な極限分布（反対の質問）。
• 最大尤度
• 推定値のバイアス
• 尤度関数

• Goodman , LA (1954)。「シリアル番号分析におけるいくつかの実際的な手法」。アメリカ統計学会誌。49 (265)。アメリカ統計学会: 97–112。doi : 10.2307/2281038。JSTOR  2281038。

• グライム、ジェームズ。「タンクを数える賢い方法 - Numberphile」（ビデオ）。YouTube 。ブレイディ・ハラン。 2024年10月18日閲覧。