信用区間

ベイズ統計学では、信頼区間は確率分布を特徴付けるために使用される区間です。これは、観測されていないパラメータ値がその範囲内に入る特定の確率を持つように定義されます。たとえば、パラメータの可能な値の分布を決定する実験では、 が35 から 45 の間に入る確率が である場合、 は95% の信頼区間です。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \alpha =0.95}$${\displaystyle 35\leq \mu \leq 45}$

信頼区間は、通常、事後確率分布または予測確率分布を特徴付けるために使用されます。^[1]分離した集合または多変量集合への信頼区間の一般化は信頼領域と呼ばれます。

信用区間は、頻度主義統計における信頼区間のベイズ類似物です。^[2]これら 2 つの概念は異なる哲学から生じています。^[3]ベイズ区間では境界を固定し、推定パラメータをランダム変数として扱いますが、頻度主義信頼区間では境界をランダム変数として、パラメータを固定値として扱います。また、ベイズ信用区間では状況固有の事前分布の知識を使用します (実際、必要とします)が、頻度主義信頼区間ではその知識は必要ありません。

信頼できる領域は一意ではありません。任意の確率分布には、確率の信頼できる領域が無限に存在します。たとえば、単変量の場合、適切な間隔または領域には複数の定義があります。 ${\displaystyle \alpha }$

• 最小の区間。最高密度区間(HDI) と呼ばれることもあります。この区間には、の場合は必ず中央値が含まれます。また、分布が単峰性の場合は、この区間に最頻値が含まれます。${\displaystyle \alpha \geq 0.5}$
• 最小の領域。最高密度領域(HDR) と呼ばれることもあります。多峰性分布の場合、これは必ずしも区間ではなく、分離されている場合もあります。この領域には常にモードが含まれます。
• 四分位数ベースの区間(QBI) は、ある の四分位数間区間を取ることによって計算されます。たとえば、確率の中央値区間は、区間を下回る確率が区間を上回る確率と同じである区間、つまり区間 です。これは等尾区間と呼ばれることもあり、常に中央値が含まれます。最低区間や最高区間など、他の多くの QBI を定義できます。これらの区間は、境界付き変数により適している場合があります。${\displaystyle [q_{\beta },q_{\beta +\alpha }]}$${\displaystyle \beta \in [0,1-\alpha ]}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle [q_{(1-\alpha )/2},q_{(1+\alpha )/2}]}$ ${\displaystyle [q_{0},q_{\alpha }]}$ ${\displaystyle [q_{1-\alpha },q_{1}]}$

平均が存在すると仮定して、平均が中心点となる 区間を定義することができます。

HDRは多変量の場合に簡単に一般化でき、確率密度等高線によって囲まれます。^[4]これらには常に最頻値が含まれますが、必ずしも平均、座標ごとの中央値、幾何中央値が含まれるわけではありません。

信頼区間は、マルコフ連鎖モンテカルロ法などのシミュレーション技術を使用して推定することもできます。^[5]

頻度主義の 95%信頼区間とは、多数の繰り返しサンプルがある場合、計算された信頼区間の 95% にパラメータの真の値が含まれることを意味します。頻度主義の用語では、パラメータは固定されており(可能な値の分布があるとは考えられません)、信頼区間はランダムです(ランダム サンプルに依存するため)。

ベイズ信頼区間は、頻度主義信頼区間と 2 つの主要な点で異なります。

• 信用区間は、その値が（事後）確率密度を持つ区間であり、パラメータがその値を持つ尤もらしさを表します。一方、信頼区間は、母集団パラメータを固定値と見なし、したがって確率の対象とは見なしません。信頼区間内では、信頼性は、繰り返し試行した場合の信頼区間自体のランダム性を指しますが、信用区間は、手元のデータに基づいて対象パラメータの不確実性を分析します。

• 信用区間と信頼区間は、迷惑パラメータをまったく異なる方法で扱います。

単一のパラメータと単一の十分統計量に要約できるデータの場合、未知のパラメータが位置パラメータ（つまり、前方確率関数が の形を持つ）で、事前分布が一様平坦分布である場合、信頼区間と信頼区間が一致することが示されます。 ^[6]また、未知のパラメータがスケールパラメータ（つまり、前方確率関数が の形を持つ）で、ジェフリーズの事前分布である場合も、 ^[6]となります。後者は、そのようなスケールパラメータの対数を取ると、一様分布の位置パラメータになるため成り立ちます。しかし、これらは明らかに特別な（ただし重要な）ケースであり、一般にそのような同値性はあり得ません。 ${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )}$${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)}$   ${\displaystyle \mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s}$

• ボルスタッド、ウィリアム M.、カラン、ジェームズ M. (2016)。「ベイズ統計と頻度論による平均値の推論の比較」ベイズ統計入門(第 3 版)。ジョン ワイリー & サンズ。237 ～ 253 ページ。ISBN 978-1-118-09156-2。