測度問題（宇宙論）

宇宙論における測度問題は、多元宇宙内の異なるタイプの宇宙の比率をどのように計算するかに関するものである。これは通常、永遠のインフレーションの文脈で発生する。この問題は、これらの比率を計算するための異なるアプローチが異なる結果をもたらし、どのアプローチが正しいのか（もしあるとすれば）が明確ではないために発生する。^[1]

尺度は、観測された物理定数を予測するかどうか、また、若さのパラドックスやボルツマン脳などの直感に反する影響を回避できるかどうかによって評価できます。^[2]数十の尺度が提案されていますが、^{[3] :}問題が解決されていると考える物理学者はほとんどいません。^[4]

無限多元宇宙理論はますます人気が高まっていますが、無限に多くの異なるタイプの宇宙の例が含まれるため、各タイプの宇宙の割合を計算する方法が不明です。^[4] アラン・グースは次のように述べています。^[4]

単一の宇宙では、頭が 2 つある牛は頭が 1 つある牛よりも稀です。[しかし、無限に分岐する多元宇宙では] 頭が 1 つの牛が無限に存在し、頭が 2 つある牛も無限に存在します。この比率はどうなるのでしょうか?

ショーン・M・キャロルは別の非公式な例を挙げた。^[1]

2000 年にジョージ W. ブッシュが大統領になった宇宙が無数にあり、また2000 年にアル ゴアが大統領になった宇宙も無数にあるとします。分数 N(ブッシュ)/N(ゴア) を計算するには、尺度、つまりそれらの無限大を制御する方法が必要です。通常、これは「正規化」によって行われます。すべての数が有限である宇宙の小さな部分から始めて分数を計算し、次にその部分を大きくしていき、分数が近づく限界を計算します。

この分数の限界を計算する手順が異なれば、答えは大きく異なります。^[1]

異なる正規化方法がどのように異なる答えを生み出すかを示す1つの方法は、偶数である正の整数の集合の割合の極限を計算することです。整数が通常の方法で順序付けられていると仮定します。

1、2、3、4、5、6、7、8、... ( OEIS : A000027 )

「リストの最初の 5 つの要素」のカットオフでは、分数は 2/5 です。「最初の 6 つの要素」のカットオフでは、分数は 1/2 です。分数の限界は、サブセットが大きくなるにつれて、1/2 に収束します。ただし、整数が奇数の後に 2 つの連続した偶数が続くように順序付けられている場合は、

1、2、4、3、6、8、5、10、12、7、14、16、... ( OEIS : A265667 )

偶数である整数の分数の極限は1/2ではなく2/3に収束する。^[5]

正規化でどのような順序を使用するかを決める一般的な方法は、最も単純または最も自然に見える順序付け方法を選択することです。整数の大きさが増加する順に並べられた最初のシーケンスがより自然に見えることは誰もが同意します。同様に、多くの物理学者は、「固有時間カットオフ測定」(以下) が最も単純で最も自然な正規化方法であることに同意します。残念ながら、固有時間カットオフ測定は誤った結果を生成するようです。^{[3] : 2  [5]}

測度問題は宇宙論において重要である。なぜなら、無限の多元宇宙における宇宙論を比較するためには、どのタイプの宇宙が他の宇宙よりも一般的であると予測されるかを知る必要があるからである。^[4]

固有時間カットオフ測度は、与えられた固有時間における与えられたスカラー場が見つかる確率を考慮します。^{[3] : 1–2}インフレーションの間、点の周りの領域は小さな固有時間間隔 のように成長します。^{[3] : 1}ここで はハッブルパラメータです。 ${\displaystyle P(\phi,t)}$${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle t}$${\displaystyle e^{3H\Delta t}}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle H}$

この尺度は、 が大きい限界において確率が時間経過に伴って同じままであるという意味で定常であるという利点がある。^{[3] : 1}しかし、これは若さのパラドックスに悩まされており、これは我々が観測している事実と矛盾して、我々が高温の領域にいる可能性が指数関数的に高くなるという効果をもたらす。これは、我々の領域よりも遅くインフレーションから脱出した領域が、暴走するインフレーションの指数関数的成長を我々よりも長い時間経験したためである。^{[3] : 2}たとえば、138億歳の宇宙（我々の観測年齢）の観測者は、130億歳の宇宙の観測者より 倍も数が少ない。この不均衡は続き、我々に似た観測者のうち最も数が多いのは、高温で非常に初期の宇宙のあり得ない変動によって形成された「ボルツマンベイビー」である。したがって、物理学者は単純な固有時間のカットオフを失敗した仮説として拒否する。^[6]${\displaystyle t}$${\displaystyle 10^{10^{60}}}$

時間は、固有時間とは異なる方法でパラメータ化することができます。 [ ^{3 ] :} 1 1つの選択肢は、空間のスケール係数、またはより一般的にはによってパラメータ化することです。 [3] ^{: 1}すると、空間の特定の領域は とは無関係にとして拡大します。^{[3] : 1}${\displaystyle a}$${\displaystyle \eta \sim \log a}$${\displaystyle e^{3\Delta \eta }}$${\displaystyle H}$

このアプローチは、小さな領域が何らかの時間に対してとして成長する測度の族と時間スライスアプローチに一般化することができます。^{[3] : 1–2 に対する}任意の選択は、大きな時間に対して定常のままです。 ${\displaystyle e^{3H^{\beta }\Delta t_{\beta }}}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle t_{\beta}}$${\displaystyle \beta}$

スケールファクターカットオフ尺度は を採用し、長期間にわたって高いエネルギー密度を保持する領域に大きな重みを付けないことで若さのパラドックスを回避します。^{[3] : 2}${\displaystyle \beta =0}$

この尺度は の選択に非常に敏感である。なぜなら、 のいずれかは若さのパラドックスをもたらすのに対し、 のいずれかは「老いのパラドックス」をもたらし、ほとんどの生命は、我々のような秩序だった経験を持つ進化した生物としてではなく、ボルツマン脳として冷たく空虚な空間に存在すると予測されるからである。^{[3] : 2}${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta <0}$

De Simoneら（2010）は、スケールファクターカットオフ尺度が尺度問題に対する有望な解決策であると考えている。^{[7]この尺度は、}宇宙定数の観測値と良好な一致を示すことも示されている。^[8]

定常測定は、異なるプロセスが異なる時間に定常性を達成するという観察から始まる。^{[3] : 2}したがって、定常測定は、開始以来の特定の時間におけるプロセスを比較するのではなく、各プロセスが個別に定常になってからの時間に基づいてそれらを比較する。^{[3] : 2}たとえば、宇宙のさまざまな領域は、星形成が始まってからの時間に基づいて比較することができる。^{[3] : 3}${\displaystyle P(\phi,t)}$

アンドレイ・リンデと共著者らは、定常測度は若さのパラドックスとボルツマン脳の両方を回避できると示唆している。^[2]しかし、定常測度は原始密度コントラストと重力定数の極端な値（非常に大きいか非常に小さい）を予測し、観測結果と矛盾している。^{[7] : 2}${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle G}$

再加熱はインフレーションの終焉を意味する。因果ダイヤモンドとは、再加熱超曲面を横切る観測者の未来の光円錐と、観測者が与えられた真空から出た地点の過去の光円錐とを交差させることによって形成される有限の4次元空間である。^{[3] : 2}言い換えれば、因果ダイヤモンドとは^{[4]である。}

時間の始まりから終わりまでを旅する一人の観察者がアクセスできる最大の帯。因果ダイヤモンドの有限の境界は、暗闇の中で互いに向けた一対の懐中電灯から発せられる分散光線のように、2 つの光の円錐が交差することによって形成されます。1 つの円錐は、ビッグバン後に物質が生成された瞬間 (観察者の考えられる最も古い誕生) から外側を指し、もう 1 つは、因果ダイヤモンドが空虚で時間のない空間になり、観察者が原因と結果を結び付ける情報にアクセスできなくなる瞬間である、未来の地平線の最も遠い範囲から後ろを向いています。

因果ダイヤモンド測度は以下の量を掛け算する: ^{[9] : 1, 4}

• 世界線が与えられた真空に入る事前確率
• 観測者が真空中に出現する確率。ダイヤモンドから出るときとダイヤモンドに入るときのエントロピーの差として近似されます。（「自由エネルギーが大きいほど、観測者が出現する可能性が高くなります。」）

真空タイプの事前確率が異なると、結果も異なります。^{[3] : 2}エントロピー生成量は、ダイヤモンド内の銀河の数として近似できます。^{[3] : 2}

ウォッチャー測度は、無限の数のビッグクランチ特異点を通過する永遠の「ウォッチャー」の世界線を想像する。^[10]

拡大する無限の多元宇宙に対するすべての「カットオフ」スキームでは、有限の割合の観測者が生涯のうちにカットオフに到達します。ほとんどのスキームでは、現在の観測者が 50 億年後も生きている場合、その観測者の人生の後半の段階は、現在の段階と比較して、何らかの形で約 2 倍「割引」される必要があります。そのような観測者の場合、この時間スケールでは、人類選択効果によりベイズの定理が破綻するように見える場合があります。この仮説的な破綻は、「グース-ヴァンチュリンのパラドックス」と呼ばれることもあります。このパラドックスの解決策として提案されている 1 つは、今後数十億年以内に 50 パーセントの確率で発生する物理的な「時間の終わり」を仮定することです。もう 1 つの重複する提案は、ブラックホールの事象の地平線を通過すると粒子が破壊されるか存在しなくなるモデルと同様に、観測者が特定の因果パッチの外側を通過すると物理的に存在しなくなると仮定することです。^{[11] [12]}ガスとヴァンチュリンは、このような「時間の終わり」の提案に反対し、「（後の）人生の段階は、初期の段階よりも多元宇宙の平均に（より少なく）貢献する」が、このパラドックスは物理的な「時間の終わり」として解釈する必要はないと述べた。文献では、少なくとも5つの解決策が提案されている：^{[13] [14]}

1. 物理的な「終末」を受け入れる
2. 有限宇宙における確率は出来事や歴史の相対的な頻度によって与えられるという考えを拒否する
3. 幾何カットオフによる確率計算を拒否する
4. 標準的な確率理論を拒否し、代わりに「相対確率」は、公理的には、特定の幾何学的カットオフプロセスの限界であると仮定する。
5. 永遠のインフレを拒否

ガスとヴァンチュリンは、標準的な確率理論が間違っている可能性があり、それが直感に反する結果をもたらすのではないかと仮説を立てている。^[14]

• 人類原理