条件付け（確率）

信念は利用可能な情報に依存します。この考え方は、確率論では条件付けによって形式化されます。条件付き確率、条件付き期待値、条件付き確率分布は、離散確率、確率密度関数、測度論の3 つのレベルで扱われます。条件が完全に指定されている場合、条件付けはランダムでない結果をもたらします。そうでない場合、条件がランダムのままになっていると、条件付けの結果もランダムになります。

例: 公平なコインを 10 回投げます。ランダム変数 Xは、この 10 回のコイン投げで表が出た回数、Y は最初の 3 回のコイン投げで表が出た回数です。YがXより先に出るという事実にもかかわらず、誰かがX を知っていてY を知らないということが起こる可能性があります。

X = 1とすると、事象Y = 0の条件付き確率は

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=0|X=1)={\frac {\mathbb {P} (Y=0,X=1)}{\mathbb {P} (X=1)}}=0.7}$

より一般的には、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (Y=0|X=x)&={\frac {\binom {7}{x}}{\binom {10}{x}}}={\frac {7!(10-x)!}{(7-x)!10!}}&&x=0,1,2,3,4,5,6,7.\\[4pt]\mathbb {P} (Y=0|X=x)&=0&&x=8,9,10.\end{aligned}}}$

条件付き確率をランダム変数、つまりランダム変数Xの関数として扱うこともできる。つまり、

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=0|X)={\begin{cases}{\binom {7}{X}}/{\binom {10}{X}}&X\leqslant 7,\\0&X>7.\end{cases}}}$

このランダム変数の期待値は（無条件の）確率に等しい。

${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {P} (Y=0|X))=\sum _{x}\mathbb {P} (Y=0|X=x)\mathbb {P} (X=x)=\mathbb {P} (Y=0),}$

すなわち、

${\displaystyle \sum _{x=0}^{7}{\frac {\binom {7}{x}}{\binom {10}{x}}}\cdot {\frac {1}{2^{10}}}{\binom {10}{x}}={\frac {1}{8}},}$

これは全確率の法則の一例である ${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {P} (A|X))=\mathbb {P} (A).}$

したがって、X = 1に対応するランダム変数の値として扱うことができます。${\displaystyle \mathbb {P} (Y=0|X=1)}$${\displaystyle \mathbb {P} (Y=0|X)}$一方、 は、Xの他の可能な値に関係なく、明確に定義されます。 ${\displaystyle \mathbb {P} (Y=0|X=1)}$

X = 1とすると、確率変数Yの条件付き期待値はより一般的には、 ${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X=1)={\tfrac {3}{10}}}$

${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X=x)={\frac {3}{10}}x,\qquad x=0,\ldots ,10.}$

（この例では線形関数のように見えますが、一般的には非線形です。）条件付き期待値をランダム変数、つまりランダム変数Xの関数として扱うこともできます。つまり、

${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)={\frac {3}{10}}X.}$

この確率変数の期待値は、 Yの（無条件の）期待値に等しい。

${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (Y|X))=\sum _{x}\mathbb {E} (Y|X=x)\mathbb {P} (X=x)=\mathbb {E} (Y),}$

すなわち、

${\displaystyle \sum _{x=0}^{10}{\frac {3}{10}}x\cdot {\frac {1}{2^{10}}}{\binom {10}{x}}={\frac {3}{2}},}$

あるいは単に

${\displaystyle \mathbb {E} \left({\frac {3}{10}}X\right)={\frac {3}{10}}\mathbb {E} (X)={\frac {3}{10}}\cdot 5={\frac {3}{2}},}$

これは総期待の法則の一例である ${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (Y|X))=\mathbb {E} (Y).}$

ランダム変数は、Xが与えられた場合にYを最もよく予測する変数です。つまり、f ( X )の形式を持つすべてのランダム変数のクラスで平均二乗誤差を最小化します。このランダム変数のクラスは、 X を2 Xに置き換えてもそのまま残ります。したがって、 ではなく、特に、 より一般的には、 Xのすべての可能な値の集合と 1 対 1 であるすべての関数gについて、となります。 Xの値は無関係です。重要なのはパーティションです (これを α _Xと表記します)。 ${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y-f(X))^{2}}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|2X)=\mathbb {E} (Y|X).}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|2X)={\tfrac {3}{10}}\times 2X;}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|2X)={\tfrac {3}{20}}\times 2X={\tfrac {3}{10}}X.}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|2X=2)={\tfrac {3}{10}}.}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|g(X))=\mathbb {E} (Y|X)}$

${\displaystyle \Omega =\{X=x_{1}\}\uplus \{X=x_{2}\}\uplus \dots }$

標本空間 Ω を互いに素な集合 { X = x _n } に分割します (ここにXのすべての可能な値があります)。 Ω の任意の分割 α が与えられた場合、ランダム変数E ( Y | α )を定義できます。それでも、E ( E ( Y | α)) = E ( Y ) です。${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$

条件付き確率は、条件付き期待値の特別なケースとして扱うことができます。つまり、Y がAの指標である場合、P ( A | X ) = E ( Y | X )です。したがって、条件付き確率は、 X自体ではなく、Xによって生成されたパーティション α _Xにも依存します。つまり、 P ( A | g ( X ) ) = P ( A | X ) = P ( A | α)、α = α _X = α _{g ( X )}です。

一方、イベントBの条件付けは、 B が複数の部分の 1 つとして 含まれる可能性があるパーティションに関係なく、明確に定義されます。${\displaystyle \mathbb {P} (B)\neq 0,}$

X = xとすると、 Yの条件付き分布は

${\displaystyle \mathbb {P} (Y=y|X=x)={\frac {{\binom {3}{y}}{\binom {7}{x-y}}}{\binom {10}{x}}}={\frac {{\binom {x}{y}}{\binom {10-x}{3-y}}}{\binom {10}{3}}}}$

0 ≤ y ≤ min ( 3, x )の場合、これは超幾何分布 H ( x ; 3, 7 )、または同等のH ( 3; x , 10- x )です。対応する期待値 0.3 xは、一般式から得られます。

${\displaystyle n{\frac {R}{R+W}}}$

H ( n ; R , W )の場合、条件付き期待値E ( Y | X = x ) = 0.3 xに他なりません。

H ( X ; 3, 7 )をランダム分布（{0,1,2,3}上のすべての測度の4次元空間内のランダムベクトル）として扱うと、その期待値を取ることができ、 Yの無条件分布、つまり二項分布 Bin ( 3, 0.5 )が得られます。この事実は、次の等式に相当します。

${\displaystyle \sum _{x=0}^{10}\mathbb {P} (Y=y|X=x)\mathbb {P} (X=x)=\mathbb {P} (Y=y)={\frac {1}{2^{3}}}{\binom {3}{y}}}$

y = 0,1,2,3の場合、これは全確率の法則の一例です。

例.球上の一様分布に従って球上の点x ² + y ² + z ² = 1 がランダムに選択される。^[1]ランダム変数X、Y、Zはランダム点の座標である。X、Y、Zの結合密度は存在しない (球の体積はゼロであるため) が、X _、Yの結合密度f _X、Y は存在する。

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}&{\text{if }}x^{2}+y^{2}<1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

（球と平面の間の角度が一定ではないため、密度は一定ではありません。） Xの密度は積分によって計算できます。

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm {d} y=\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}{\frac {\mathrm {d} y}{2\pi {\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}}\,;}$

驚くべきことに、結果は(−1,1)の xに依存しない。

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}0.5&{\text{for }}-1<x<1,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

これは、 X が(-1,1) 上に均一に分布していることを意味します。同じことがYとZにも当てはまります(実際、a ² + b ² + c ² = 1のときは常にaX + bY + cZにも当てはまります)。

例：限界分布関数を計算する別の方法が以下に示されている^{[2] [3]}

${\displaystyle f_{X,Y,Z}(x,y,z)={\frac {3}{4\pi }}}$

${\displaystyle f_{X}(x)=\int _{-{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-y^{2}-x^{2}}}}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{+{\sqrt {1-x^{2}}}}{\frac {3\mathrm {d} y\mathrm {d} z}{4\pi }}=3{\sqrt {1-x^{2}}}/4\,;}$

X = 0.5とすると、事象Y ≤ 0.75の条件付き確率は条件付き密度の積分であり、

${\displaystyle f_{Y|X=0.5}(y)={\frac {f_{X,Y}(0.5,y)}{f_{X}(0.5)}}={\begin{cases}{\frac {1}{\pi {\sqrt {0.75-y^{2}}}}}&{\text{for }}-{\sqrt {0.75}}<y<{\sqrt {0.75}},\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq 0.75|X=0.5)=\int _{-\infty }^{0.75}f_{Y|X=0.5}(y)\,\mathrm {d} y=\int _{-{\sqrt {0.75}}}^{0.75}{\frac {\mathrm {d} y}{\pi {\sqrt {0.75-y^{2}}}}}={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arcsin {\sqrt {0.75}}={\tfrac {5}{6}}.}$

より一般的には、

${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq y|X=x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arcsin {\frac {y}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

となるxとyのすべてについて、 −1 < x < 1となる（そうでなければ分母f _X ( x ) はゼロになる）かつ（そうでなければ条件付き確率は 0 または 1 になる）。条件付き確率をランダム変数、つまりランダム変数Xの関数として扱うこともできる。つまり、 ${\displaystyle \textstyle -{\sqrt {1-x^{2}}}<y<{\sqrt {1-x^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbb {P} (Y\leq y|X)={\begin{cases}0&{\text{for }}X^{2}\geq 1-y^{2}{\text{ and }}y<0,\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arcsin {\frac {y}{\sqrt {1-X^{2}}}}&{\text{for }}X^{2}<1-y^{2},\\1&{\text{for }}X^{2}\geq 1-y^{2}{\text{ and }}y>0.\end{cases}}}$

このランダム変数の期待値は（無条件の）確率に等しい。

${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {P} (Y\leq y|X))=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbb {P} (Y\leq y|X=x)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\mathbb {P} (Y\leq y),}$

これは全確率の法則 E(P( A | X ))=P( A )の一例です。

条件付き確率P ( Y ≤ 0.75 | X = 0.5 )は、 P ( Y ≤ 0.75, X = 0.5 ) / P ( X = 0.5 )として解釈することはできません。後者は 0/0 となるためです。したがって、P ( Y ≤ 0.75 | X = 0.5 )は経験的頻度によって解釈することはできません。これは、正確な値X = 0.5 が、独立した試行の無限シーケンス中に 1 回もランダムに出現する機会がないためです。

条件付き確率は限界として解釈することができ、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (Y\leq 0.75|X=0.5)&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\mathbb {P} (Y\leq 0.75|0.5-\varepsilon <X<0.5+\varepsilon )\\&=\lim _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mathbb {P} (Y\leq 0.75,0.5-\varepsilon <X<0.5+\varepsilon )}{\mathbb {P} (0.5-\varepsilon <X<0.5+\varepsilon )}}\\&=\lim _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\int _{0.5-\varepsilon }^{0.5+\varepsilon }\mathrm {d} x\int _{-\infty }^{0.75}\mathrm {d} y\,f_{X,Y}(x,y)}{\int _{0.5-\varepsilon }^{0.5+\varepsilon }\mathrm {d} x\,f_{X}(x)}}.\end{aligned}}}$

条件付き期待値E ( Y | X = 0.5 )はあまり重要ではありません。対称性によって消えてしまうからです。| Z | をX、Yの関数として扱い、 E ( | Z | | X = 0.5 )を計算する方が興味深いです。

${\displaystyle {\begin{aligned}|Z|&=h(X,Y)={\sqrt {1-X^{2}-Y^{2}}};\\\mathrm {E} (|Z||X=0.5)&=\int _{-\infty }^{+\infty }h(0.5,y)f_{Y|X=0.5}(y)\,\mathrm {d} y=\\&=\int _{-{\sqrt {0.75}}}^{+{\sqrt {0.75}}}{\sqrt {0.75-y^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} y}{\pi {\sqrt {0.75-y^{2}}}}}\\&={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {0.75}}.\end{aligned}}}$

より一般的には、

${\displaystyle \mathbb {E} (|Z||X=x)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

条件付き期待値を確率変数、つまり確率変数Xの関数として扱うこともできる。つまり、

${\displaystyle \mathbb {E} (|Z||X)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {1-X^{2}}}.}$

この確率変数の期待値は、| Z | の（無条件の）期待値に等しい。

${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (|Z||X))=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbb {E} (|Z||X=x)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\mathbb {E} (|Z|),}$

すなわち、

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}{\frac {2}{\pi }}{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} x}{2}}={\tfrac {1}{2}},}$

これは総期待値の法則 E(E( Y | X ))=E( Y )の一例です。

ランダム変数E(| Z | | X )は、 Xが与えられた場合の | Z |の最善の予測子です。つまり、f ( X )という形式のすべてのランダム変数のクラスで平均二乗誤差E ( | Z | - f ( X ) ) ²を最小化します。離散ケースと同様に、( -1,1)で 1 対 1 である すべての測定可能な関数gに対して、 E ( | Z | | g ( X ) ) = E ( | Z | | X )です。

X = xの場合、 Yの条件付き分布は密度f _{Y | X = x} (y) で与えられ、（再スケールされた）逆正弦分布です。その累積分布関数は

${\displaystyle F_{Y|X=x}(y)=\mathbb {P} (Y\leq y|X=x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arcsin {\frac {y}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

となる。対応するh ( x , Y )の期待値は、条件付き期待値^{E (} h ( X , Y ) | X = x )に他ならない。これらの条件付き分布を混合したものを、すべてのxに対して（ Xの分布に従って）とると、Yの無条件分布となる。この事実は、次の等式に等しい。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{+\infty }f_{Y|X=x}(y)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=f_{Y}(y),\\&\int _{-\infty }^{+\infty }F_{Y|X=x}(y)f_{X}(x)\,\mathrm {d} x=F_{Y}(y),\end{aligned}}}$

後者は、上で述べた全確率の法則の例です。

離散レベルでは、条件が非ゼロ確率（ゼロで割ることができない）である場合にのみ条件付けが可能です。密度レベルでは、P ( X = x ) = 0であっても、 X = xの条件付けが可能です。この成功により、条件付けが常に可能であるという錯覚が生じる可能性があります。残念ながら、以下に示すいくつかの理由により、それは不可能です。

上記の結果P ( Y ≤ 0.75 | X = 0.5 ) = 5/6 は、次の意味で幾何学的に明らかです。条件x = 0.5 を満たす球x ² + y ² + z ^{2 = 1 の点 (} x、y、z ) は、平面x = 0.5 上の半径y ² + z ² = 0.75 の円です。不等式y ≤ 0.75 は円弧上でも成り立ちます。円弧の長さは円の長さの 5/6 であるため、条件付き確率は 5/6 に等しくなります。 ${\displaystyle {\sqrt {0.75}}}$

この巧妙な幾何学的説明により、次の質問が些細なことであるという錯覚が生じる可能性があります。

与えられた球面上の点がランダムに（一様に）選択されます。その点が与えられた平面上にある場合、その条件付き分布はどうなるでしょうか。

条件付き分布は与えられた円（与えられた球と与えられた平面の交点）上で一様でなければならないことは明らかであるように思えるかもしれない。時には実際にそうなることもあるが、一般的にはそうではない。特に、Z は(-1,+1) 上で一様分布し、比Y / Xとは無関係であるため、P ( Z ≤ 0.5 | Y / X ) = 0.75 となる。一方、不等式z ≤ 0.5 は円弧x ² + y ² + z ² = 1, y = cx (任意のcについて) 上で成立する。弧の長さは円の長さの 2/3 である。しかし、条件付き確率は 2/3 ではなく 3/4 である。これは古典的なボレルのパラドックスの現れである。^{[4] [5]}

対称性への訴えは、不変性の議論として形式化されなければ誤解を招く可能性があります。

— ポラード^[6]

別の例。3次元空間の ランダムな回転は、ランダムな軸の周りのランダムな角度による回転です。幾何学的な直感では、角度は軸とは独立しており、均一に分布していると考えられます。しかし、後者は誤りです。角度の値が小さい可能性は低くなります。

確率がゼロのイベントB がある場合、この式は役に立ちません。ただし、B _n ↓ B (つまり、および)となる、確率がゼロでないイベントの適切なシーケンスB _nを試すことができます。1 つの例が上記に示されています。さらに 2 つの例として、ブラウン橋とブラウン逸脱があります。 ${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} (A|B)=\mathbb {P} (A\cap B)/\mathbb {P} (B)}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {P} (A|B)=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (A\cap B_{n})/\mathbb {P} (B_{n})}$${\displaystyle \textstyle B_{1}\supset B_{2}\supset \dots }$${\displaystyle \textstyle B_{1}\cap B_{2}\cap \dots =B}$

後者の 2 つの例では、単一のイベント (条件) のみが与えられているため、全確率の法則は無関係です。対照的に、上記の例では、イベントX = 0.5 がイベント ファミリX = x ( xは(-1,1) を超える) に含まれており、これらのイベントは確率空間の分割であるため、全確率の法則が適用されます。

パラドックス（ボレルのパラドックスなど）を避けるためには、次の重要な区別を考慮する必要があります。与えられたイベントの確率がゼロでない場合、そのイベントの条件付けは、上で述べたように（他のイベントに関係なく）明確に定義されます。対照的に、与えられたイベントの確率がゼロの場合、追加の入力が提供されない限り、そのイベントの条件付けは不明確です。この追加入力の選択が間違っていると、条件付き確率（期待値、分布）が間違ってしまいます。この意味で、「確率が 0 に等しい孤立した仮説に関する条件付き確率の概念は受け入れられません。」（コルモゴロフ^[6]）

追加の入力は、(a)対称性（不変群）、(b)B n ↓ B、P(B n)>0となるイベントのシーケンスB _n、( c )_特定のイベント_を含むパーティションのいずれかです。測度理論的条件付け（下記）はケース（c）を調査し、一般的には（b）との関係、該当する場合は（a）との関係を明らかにします。

確率がゼロのイベントの中には、条件付けの範囲を超えているものもあります。例: X _{n を}(0,1) 上に一様に分布する独立したランダム変数とし、B に「n → ∞のときにX _n → 0 」というイベントがあるとします。P ( X _n < 0.5 | B )はどうでしょうか。1 に近づくでしょうか、それとも近づかないでしょうか。別の例: X を(0,1) 上に一様に分布するランダム変数とし、B に「 Xは有理数である」というイベントがあるとします。P ( X = 1/ n | B ) はどうでしょうか。唯一の答えは、もう一度言います。

確率が 0 に等しい孤立した仮説に関する条件付き確率の概念は受け入れられない。

— コルモゴロフ^[6]

例Y を(0,1) に一様に分布するランダム変数とし、X = f ( Y )とする。ここでfは与えられた関数である。以下では、 f = f ₁とf = f _{2 の}2つのケースを扱う。ここでf _{1 は}連続した区分線形関数である。

${\displaystyle f_{1}(y)={\begin{cases}3y&{\text{for }}0\leq y\leq 1/3,\\1.5(1-y)&{\text{for }}1/3\leq y\leq 2/3,\\0.5&{\text{for }}2/3\leq y\leq 1,\end{cases}}}$

f _{2 は}ワイエルシュトラス関数です。

X = 0.75の場合、Yの値は0.25 と 0.5 の 2 つが考えられます。1 つの点が別の点と一致するため、両方の値が条件付き確率 0.5 であることは明らかであるように思われるかもしれません。ただし、これは錯覚です。以下を参照してください。

条件付き確率P ( Y ≤ 1/3 | X )は、指標の最良の予測子として定義される。

${\displaystyle I={\begin{cases}1&{\text{if }}Y\leq 1/3,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$

Xが与えられた場合、つまり、g ( X )の形式を持つすべてのランダム変数のクラス上の平均二乗誤差E( I - g ( X )) ²を最小化します。

f = f ₁の場合、対応する関数g = g ₁は明示的に計算できる。^{[詳細 1]}

${\displaystyle g_{1}(x)={\begin{cases}1&{\text{for }}0<x<0.5,\\0&{\text{for }}x=0.5,\\1/3&{\text{for }}0.5<x<1.\end{cases}}}$

あるいは、制限手順を使用することもできる。

${\displaystyle g_{1}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\mathbb {P} (Y\leq 1/3|x-\varepsilon \leq X\leq x+\varepsilon )\,,}$

同じ結果が得られます。

したがって、P ( Y ≤ 1/3 | X ) = g ₁ ( X )となる。このランダム変数の期待値は、（無条件）確率E ( P ( Y ≤ 1/3 | X ) ) = P ( Y ≤ 1/3 ) に等しい。つまり、

${\displaystyle 1\cdot \mathbb {P} (X<0.5)+0\cdot \mathbb {P} (X=0.5)+{\frac {1}{3}}\cdot \mathbb {P} (X>0.5)=1\cdot {\frac {1}{6}}+0\cdot {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{3}},}$

これは全確率の法則 E(P( A | X ))=P( A )の一例です。

f = f ₂の場合、対応する関数g = g ₂はおそらく明示的に計算できません。それでも、関数は存在し、数値的に計算できます。実際、すべての平方積分可能なランダム変数の空間L _{2 (Ω) は}ヒルベルト空間です。指標Iはこの空間のベクトルであり、形式g ( X ) のランダム変数は (閉じた線形) 部分空間です。このベクトルのこの部分空間への直交射影は明確に定義されています。これは、無限次元ヒルベルト空間の 有限次元近似を使用して数値的に計算できます。

もう一度言いますが、確率変数P ( Y ≤ 1/3 | X ) = g ₂ ( X )の期待値は、（無条件）確率E ( P ( Y ≤ 1/3 | X ) ) = P ( Y ≤ 1/3 ) に等しくなります。つまり、

${\displaystyle \int _{0}^{1}g_{2}(f_{2}(y))\,\mathrm {d} y={\tfrac {1}{3}}.}$

しかし、ヒルベルト空間アプローチでは、 g 2 を個々の関数ではなく、関数の同値類として扱う。 g ₂の測定可能性は保証_されるが、連続性（あるいはリーマン積分可能性）は保証されない。 値g _{2 (0.5) は、点 0.5 が}Xの分布の原子であるため、一意に決定される。 他の値x は原子ではないため、対応する値g ₂ ( x ) は一意に決定されない。 もう一度言うが、「確率が 0 に等しい孤立した仮説に関する条件付き確率の概念は受け入れられない」 (コルモゴロフ。^[6]

あるいは、同じ関数g（g ₁またはg _{2 ）を}ラドン・ニコディム微分として定義することもできる。

${\displaystyle g={\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }},}$

ここで、測度μ、νは次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (B)&=\mathbb {P} (X\in B),\\\nu (B)&=\mathbb {P} (X\in B,\,Y\leq {\tfrac {1}{3}})\end{aligned}}}$

すべてのボレル集合に対して、μはXの（無条件）分布であり、νはその条件付き分布の3分の1である。 ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \nu (B)=\mathbb {P} (X\in B|Y\leq {\tfrac {1}{3}})\mathbb {P} (Y\leq {\tfrac {1}{3}})={\tfrac {1}{3}}\mathbb {P} (X\in B|Y\leq {\tfrac {1}{3}}).}$

どちらのアプローチ（ヒルベルト空間経由およびラドン・ニコディム導関数経由）も、g を関数の同値類として扱います。つまり、2 つの関数g と g′ は、g ( X ) = g′ ( X ) がほぼ確実に成立する場合、同値として扱われます。したがって、条件付き確率P ( Y ≤ 1/3 | X )は、ランダム変数の同値類として扱われます。通常どおり、2 つのランダム変数は、ほぼ確実に等しい場合、同値として扱われます。

条件付き期待値は、Xが与えられたときのYの最良の予測値として定義できます。つまり、h ( X )の形式を持つすべてのランダム変数のクラスにおける平均二乗誤差を最小化します。 ${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y-h(X))^{2}}$

f = f ₁の場合、対応する関数h = h ₁を明示的に計算することができます。^{[詳細 2]}

${\displaystyle h_{1}(x)={\begin{cases}{\frac {x}{3}}&0<x<{\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {5}{6}}&x={\frac {1}{2}}\\[4pt]{\frac {1}{3}}(2-x)&{\frac {1}{2}}<x<1\end{cases}}}$

あるいは、制限手順を使用することもできる。

${\displaystyle h_{1}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\mathbb {E} (Y|x-\varepsilon \leqslant X\leqslant x+\varepsilon ),}$

同じ結果が得られます。

したがって、この確率変数の期待値は（無条件の）期待値に等しい。つまり、 ${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=h_{1}(X).}$${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (Y|X))=\mathbb {E} (Y),}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}h_{1}(f_{1}(y))\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\frac {1}{6}}{\frac {3y}{3}}\,\mathrm {d} y+\int _{\frac {1}{6}}^{\frac {1}{3}}{\frac {2-3y}{3}}\,\mathrm {d} y+\int _{\frac {1}{3}}^{\frac {2}{3}}{\frac {2-{\frac {3}{2}}(1-y)}{3}}\,\mathrm {d} y+\int _{\frac {2}{3}}^{1}{\frac {5}{6}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}},}$

これは総期待の法則の一例である ${\displaystyle \mathbb {E} (\mathbb {E} (Y|X))=\mathbb {E} (Y).}$

f = f ₂の場合、対応する関数h = h _{2 は}おそらく明示的に計算できません。それでも、この関数は存在し、上記のg ₂と同じ方法、つまりヒルベルト空間への直交射影として数値的に計算できます。射影は部分空間に属する定数 1 によってスカラー積を変更できないため、全期待値の法則が成り立ちます。

あるいは、同じ関数h（h ₁またはh _{2 ）を}ラドン・ニコディム微分として定義することもできる。

${\displaystyle h={\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }},}$

ここで、測度μ、νは次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (B)&=\mathbb {P} (X\in B)\\\nu (B)&=\mathbb {E} (Y,X\in B)\end{aligned}}}$

全てのボレル集合に対して、これは制限された期待値であり、条件付き期待値と混同しないように注意する。${\displaystyle B\subset \mathbb {R} .}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y;A)}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|A)=\mathbb {E} (Y;A)/\mathbb {P} (A).}$

f = f ₁の場合、条件付き累積分布関数はg ₁と同様に明示的に計算できます。制限手順は次のようになります。

${\displaystyle F_{Y|X={\frac {3}{4}}}(y)=\mathbb {P} \left(Y\leqslant y\left|X={\tfrac {3}{4}}\right.\right)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\mathbb {P} \left(Y\leqslant y\left|{\tfrac {3}{4}}-\varepsilon \leqslant X\leqslant {\tfrac {3}{4}}+\varepsilon \right.\right)={\begin{cases}0&-\infty <y<{\tfrac {1}{4}}\\[4pt]{\tfrac {1}{6}}&y={\tfrac {1}{4}}\\[4pt]{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}<y<{\tfrac {1}{2}}\\[4pt]{\tfrac {2}{3}}&y={\tfrac {1}{2}}\\[4pt]1&{\tfrac {1}{2}}<y<\infty \end{cases}}}$

累積分布関数は右連続でなければならないため、これは正しくありません。

この逆説的な結果は、測度論によって次のように説明されます。与えられたyに対して、対応するものは (ヒルベルト空間またはラドン・ニコディム導関数を介して) ( xの) 関数の同値類として明確に定義されます。与えられたxに対するyの関数として扱われる場合、追加の入力が提供されない限り、それは明確に定義されません。つまり、( xの) 関数は、すべての (または少なくともほぼすべての) 同値類内で選択する必要があります。誤った選択は、誤った条件付き累積分布関数につながります。 ${\displaystyle F_{Y|X=x}(y)=\mathbb {P} (Y\leqslant y|X=x)}$

正しい選択は次のように行うことができます。まず、有理数yについてのみ考慮されます。(他の稠密な可算集合も同様に使用できます。) したがって、同値類の可算集合のみが使用されます。これらのクラス内の関数のすべての選択は相互に同等であり、有理数yの対応する関数は明確に定義されます (ほぼすべてのxについて)。次に、関数は右連続性によって有理数から実数に拡張されます。 ${\displaystyle F_{Y|X=x}(y)=\mathbb {P} (Y\leqslant y|X=x)}$

一般的に、条件付き分布はほぼすべてのxに対して定義されます（ Xの分布に従って）が、結果がxで連続している場合もあります。その場合は、個々の値が許容されます。検討した例ではこれが当てはまり、x = 0.75 の正しい結果は、

${\displaystyle F_{Y|X={\frac {3}{4}}}(y)=\mathbb {P} \left(Y\leqslant y\left|X={\tfrac {3}{4}}\right.\right)={\begin{cases}0&-\infty <y<{\tfrac {1}{4}}\\[4pt]{\tfrac {1}{3}}&{\tfrac {1}{4}}\leqslant y<{\tfrac {1}{2}}\\[4pt]1&{\tfrac {1}{2}}\leqslant y<\infty \end{cases}}}$

X = 0.75の場合のYの条件付き分布は、確率がそれぞれ 1/3 と 2/3 の 0.25 と 0.5 の 2 つの原子で構成されることを示しています。

同様に、条件付き分布は、(0, 0.5) または (0.5, 1) 内のすべてのxに対して計算できます。

x = 0.5 の値はXの分布の原子であるため、対応する条件付き分布は明確に定義されており、基本的な方法で計算できます（分母はゼロではありません）。X = 0.5 が与えられた場合の Y の条件付き分布は、( 2/3 , 1) 上で均一です。測度論でも同じ結果になります。

すべての条件付き分布の混合は、 Yの（無条件）分布です。

条件付き期待値とは、条件付き分布に関する期待値に他なりません。 ${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X=x)}$

f = f ₂の場合、対応するものはおそらく明示的に計算できません。与えられたyに対して、それは（ヒルベルト空間またはラドン・ニコディム導関数を介して）（xの）関数の同値類として明確に定義されます。これらの同値類内での関数の正しい選択は上記のように行うことができ、正しい条件付き累積分布関数、つまり条件付き分布につながります。一般に、条件付き分布は原子または絶対連続である必要はありません（両方のタイプの混合でもありません）。おそらく、検討した例ではそれらは特異です（カントール分布のように）。 ${\displaystyle F_{Y|X=x}(y)=\mathbb {P} (Y\leqslant y|X=x)}$

もう一度言いますが、すべての条件付き分布の混合は (無条件) 分布であり、条件付き期待値は条件付き分布に関する期待値です。

• デュレット、リチャード(1996)、「確率：理論と例」（第 2 版）
• ポラード、デイビッド（2002）、理論的確率を測定するためのユーザーガイド、ケンブリッジ大学出版局
• ドラハイム、ダーク (2017) 一般化ジェフリー条件付け (部分条件付けの頻度主義的意味論)、シュプリンガー