縮退したエネルギー準位

量子力学では、エネルギー準位が量子系の 2 つ以上の異なる測定可能な状態に対応する場合、その準位は縮退していると言われます。逆に、量子力学系の 2 つ以上の異なる状態が測定時に同じエネルギー値を与える場合、それらは縮退していると言われます。特定のエネルギー準位に対応する異なる状態の数は、その準位の縮退度(または単に縮退) として知られています。これは、同じエネルギー固有値を持つ複数の線形独立な固有状態を持つ系のハミルトニアンによって数学的に表されます。^[¹^]^:⁴⁸ この場合、エネルギーだけでは系がどのような状態にあるかを特徴付けるには不十分であり、区別が必要な場合には正確な状態を特徴付けるために他の量子数が必要になります。古典力学では、これは同じエネルギーに対応する異なる可能な軌道という観点から理解できます。

縮退は量子統計力学において基本的な役割を果たす。3次元空間における $N$ 粒子系では、1つのエネルギー準位が複数の異なる波動関数またはエネルギー状態に対応することがある。同じ準位にあるこれらの縮退状態はすべて、等しい確率で占有される。このような状態の数が、特定のエネルギー準位の縮退度を表す。

数学

量子力学系の可能な状態は、分離可能な複素ヒルベルト空間における抽象ベクトルとして数学的に扱うことができ、観測量はそれらに作用する線形エルミート演算子によって表すことができる。適切な基底を選択することにより、これらのベクトルの成分と、その基底における演算子の行列要素を決定することができる。A $が$ $N \times N$ 行列、 $X が$ 非ゼロベクトル、 $λ$ がスカラーである場合、 $AX=\lambda X$ の場合、スカラー $λは$ $A$ の固有値であり、ベクトル $Xは$ $λ$ に対応する固有ベクトルであると言われます。ゼロベクトルとともに、与えられた固有値 $λに対応するすべての$ 固有ベクトルの集合は $C$ $n$ の部分空間を形成し、これは $λ$ の固有空間と呼ばれます。2つ以上の異なる線形独立な固有ベクトルに対応する固有値 $λは$ 退化していると言われます。 $\displaystyle AX_{1}=\lambda X_{1}}$ そして $AX_{2}=\lambda X_{2}$ 、どこ $X_{1}$ そして $X_{2}$ これらは線形独立な固有ベクトルです。その固有値に対応する固有空間の次元は縮退度と呼ばれ、有限または無限になります。固有空間が一次元である場合、その固有値は非縮退であると言われます。

量子力学における物理的観測量を表す行列の固有値は、これらの観測量の測定可能な値を与え、これらの固有値に対応する固有状態は、測定時にシステムが見出される可能性のある状態を与えます。量子システムのエネルギーの測定可能な値は、ハミルトニアン演算子の固有値によって与えられ、その固有状態はシステムの可能なエネルギー状態を与えます。エネルギーの値は、少なくとも 2 つの線形独立なエネルギー状態が関連付けられている場合、縮退していると言われます。さらに、 2 つ以上の縮退した固有状態の任意の線形結合も、同じエネルギー固有値に対応するハミルトニアン演算子の固有状態です。これは、エネルギー値の固有値 $λ$ の固有空間が部分空間 (ハミルトニアンの核から $λ$ と単位行列を引いたもの) であり、したがって線形結合に関して閉じているという事実から明らかです。

上記の定理の証明。^{[ 2 ]}^{： 52ページ}

もし ${\hat {H}}$ ハミルトニアン演算子を表し、 $|\psi _{1}\rangle$ そして $|\psi _{2}\rangle$ 2 つの固有状態が同じ固有値 $E$ に対応する場合、 ${\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle &=E|\psi _{1}\rangle \\{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle &=E|\psi _{2}\rangle \end{aligned}}$

させて $|\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$ 、どこ $c_{1}$ そして $c_{2}$ は（一般に）複素定数であり、の任意の線形結合である。 $|\psi _{1}\rangle$ そして $|\psi _{2}\rangle$ 。それから、 ${\begin{aligned}{\hat {H}}|\psi \rangle &={\hat {H}}(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=c_{1}{\hat {H}}|\psi _{1}\rangle +c_{2}{\hat {H}}|\psi _{2}\rangle \\&=E(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )\\&=E|\psi \rangle \end{aligned}}$ これは、 $|\psi \rangle$ は、 ${\hat {H}}$ 同じ固有値 $E$ を持つ。

縮退がエネルギー測定に及ぼす影響

縮退がない場合、量子系のエネルギーの測定値が決定されれば、各エネルギー固有値に対応する固有状態は1つだけなので、対応する系の状態は既知であると仮定されます。しかし、ハミルトニアンが ${\hat {H}}$ 退化した固有値を持つ $E_{n}$ 次数がg _nの場合、それに関連付けられた固有状態は、次元g _nのベクトル部分空間を形成します。このような場合、複数の最終状態が同じ結果に関連付けられる可能性があります。 $E_{n}$ これらはすべて、g _{n の}正規直交固有ベクトルの線形結合である。 $|E_{n,i}\rangle$ 。

この場合、状態にあるシステムのエネルギー値が測定される確率は $|\psi \rangle$ 値が得られます $E_{n}$ これは、この基底の各状態においてシステムが見つかる確率の合計によって与えられる。 $P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}$

異なる次元における縮退

この節では、異なる次元で研究された量子系における縮退エネルギー準位の存在を説明することを目的とする。一次元および二次元系の研究は、より複雑な系の概念的理解に役立つ。

一次元における縮退

いくつかのケースでは、一次元系の研究において解析結果がより容易に得られる。波動関数を持つ量子粒子の場合 $|\psi \rangle$ 1次元ポテンシャル内を移動する $V(x)$ 、時間独立シュレーディンガー方程式は次のように書ける。 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi$ これは常微分方程式であるため、与えられたエネルギーに対して2つの独立した固有関数が存在する。 $E$ 最大でも、縮退度が2を超えることはない。1次元では、正規化可能な波動関数に対して縮退束縛状態は存在しないことが証明できる。区分的に連続なポテンシャルに関する十分条件 $V$ そしてエネルギー $E$ 2つの実数の存在 $M,x_{0}$ と $M\neq 0$ そのため $\forall x>x_{0}$ 我々は持っています $V(x)-E\geq M^{2}$ [ ³^]特に^、 $V$ この基準では、下限が定められている。

二次元量子系における縮退

二次元量子系は物質の3つの状態すべてに存在し、三次元物質に見られる多様性の多くは二次元でも再現可能です。実際の二次元物質は、固体表面上の単原子層から構成されています。実験的に実現された二次元電子系の例としては、MOSFET 、ヘリウム、ネオン、アルゴン、キセノンなどの二次元超格子、液体ヘリウムの表面などが挙げられます。縮退したエネルギー準位の存在は、箱の中の粒子や二次元調和振動子の場合に研究されており、これらは現実世界のいくつかのシステムの有用な数学モデルとして機能します。

長方形平面内の粒子

次元の平面内の自由粒子を考える $L_{x}$ そして $L_{y}$ 不透過性の壁の平面内。波動関数を持つこのシステムに対する時間独立シュレーディンガー方程式 $|\psi \rangle$ 次のように書くことができます $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{{\partial y}^{2}}}\right)=E\psi$ 許容されるエネルギー値は $E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {n_{x}^{2}}{L_{x}^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{L_{y}^{2}}}\right)$ 規格化された波動関数は $\psi _{n_{x},n_{y}}(x,y)={\frac {2}{\sqrt {L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)$ どこ $n_{x},n_{y}=1,2,3,\dots$

つまり、量子数は $n_{x}$ そして $n_{y}$ エネルギー固有値を記述する必要があり、システムの最低エネルギーは次のように与えられる。 $E_{1,1}=\pi ^{2}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {1}{L_{x}^{2}}}+{\frac {1}{L_{y}^{2}}}\right)$

2つの長さの比率が適切である場合 $L_{x}$ そして $L_{y}$ 特定の状態のペアは縮退している。 $L_{x}/L_{y}=p/q$ ここで、pとqは整数であり、状態は $(n_{x},n_{y})$ そして $(pn_{y}/q,qn_{x}/p)$ それらは同じエネルギーを持つため、互いに縮退している。

正方形の箱の中の粒子

この場合、箱の寸法は $L_{x}=L_{y}=L$ エネルギー固有値は次式で与えられる。 $E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})$

以来 $n_{x}$ そして $n_{y}$ エネルギーを変えずに交換できる場合、各エネルギー準位は少なくとも 2 の縮退度を持ちます。 $n_{x}$ そして $n_{y}$ は異なります。異なるエネルギー準位に対応する量子数の二乗和が同じ場合にも縮退状態が得られます。たとえば、3 つの状態 (n _x = 7, n _y = 1)、(n _x = 1, n _y = 7)、(n _x = n _y = 5) はすべて、 $E=50{\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}$ そして、退化集合を構成する。

正方形の箱の中の粒子における、異なるエネルギー準位の縮退度：

立方体の箱の中の粒子

この場合、箱の寸法は $L_{x}=L_{y}=L_{z}=L$ そして、エネルギーの固有値は3つの量子数に依存する。 $E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})$

以来 $n_{x}$ 、 $n_{y}$ そして $n_{z}$ エネルギーを変えることなく交換することができ、3つの量子数がすべて等しくない場合、各エネルギー準位には少なくとも3つの縮退があります。

縮退の場合に一意の固有基底を見つける

2 つの演算子 ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ 通勤、つまり、 $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=0$ すると、各固有ベクトルに対して $|\psi \rangle$ の ${\hat {A}}$ 、 ${\hat {B}}|\psi \rangle$ は、の固有ベクトルでもある。 ${\hat {A}}$ 同じ固有値を持つ。ただし、この固有値が、例えば $\lambda$ は退化しており、 ${\hat {B}}|\psi \rangle$ 固有空間に属する $E_{\lambda }$ の ${\hat {A}}$ これは、の作用の下で大域的に不変であると言われている。 ${\hat {B}}$ 。

$2 つの可換な観測量A$ と $B$ に対して、 2 つの演算子に共通する固有ベクトルを持つ状態空間の正規直交基底を構築することができる。しかし、 $\lambda$ は、 ${\hat {A}}$ すると、それはの固有部分空間である ${\hat {A}}$ それは、 ${\hat {B}}$ なので、表現は ${\hat {B}}$ の固有基底において ${\hat {A}}$ は対角行列ではなくブロック対角行列です。つまり、の縮退した固有ベクトルは ${\hat {A}}$ 一般に、はの固有ベクトルではない ${\hat {B}}$ しかし、常に、すべての退化固有部分空間において選択することが可能です。 ${\hat {A}}$ に共通する固有ベクトルの基底 ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ 。

可換な観測量の完全なセットを選択する

与えられた観測量Aが非退化である場合、その固有ベクトルによって形成される一意の基底が存在する。一方、1 つまたは複数の固有値が ${\hat {A}}$ 縮退している場合、固有値を指定するだけでは基底ベクトルを特徴付けるには不十分です。観測量を選択することによって ${\hat {B}}$ 通勤する ${\hat {A}}$ 共通固有ベクトルの正規直交基底を構築することが可能です。 ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ これは一意であり、可能な固有値のペア{a,b}のそれぞれについて、 ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ これらは完全な可換観測量セットを形成すると言われている。しかし、一意の固有ベクトルセットがまだ指定できない場合、少なくとも1つの固有値のペアに対して、3番目の観測量 ${\hat {C}}$ 両方と通勤できる ${\hat {A}}$ そして ${\hat {B}}$ これら3つが完全な可換観測量の集合を形成するように見つけることができる。

したがって、共通のエネルギー値を持つ量子系のハミルトニアンの固有関数には、ハミルトニアンと可換な演算子を選択することで、何らかの追加情報を与えるラベルを付ける必要がある。これらの追加ラベルには、一意のエネルギー固有関数の命名が必要であり、通常は系の運動の定数に関連している。

縮退したエネルギー固有状態とパリティ演算子

パリティ演算子は、 $|r\rangle$ r を −r に変更する表現、つまり $\langle r|P|\psi \rangle =\psi (-r)$ Pの固有値は以下のように制限されることが示される。 $\pm 1$ これらはどちらも無限次元状態空間における縮退した固有値である。固有値が+1であるPの固有ベクトルは偶数、固有値が-1である固有ベクトルは奇数と呼ばれる。

さて、公平なオペレーター ${\hat {A}}$ 満足するもの、 ${\tilde {A}}=P{\hat {A}}P$ $[P,{\hat {A}}]=0$ 奇妙なオペレーター ${\hat {B}}$ 満足するもの $P{\hat {B}}+{\hat {B}}P=0$ 運動量演算子の二乗は ${\hat {p}}^{2}$ ポテンシャル V(r) が偶数の場合、ハミルトニアンは ${\hat {H}}$ は偶数演算子であると言われます。その場合、各固有値が非退化であれば、各固有ベクトルは必ず P の固有状態となり、したがっての固有状態を探すことができます。 ${\hat {H}}$ 偶数状態と奇数状態の間。ただし、エネルギー固有状態の 1 つに明確なパリティがない場合、対応する固有値は縮退していると主張でき、 $P|\psi \rangle$ はの固有ベクトルである ${\hat {H}}$ 同じ固有値を持つ $|\psi \rangle$ 。

縮退と対称性

量子力学系における縮退の物理的起源は、多くの場合、系に存在する何らかの対称性にある。量子系の対称性を研究することで、場合によってはシュレーディンガー方程式を解くことなくエネルギー準位と縮退を見つけることができ、労力を軽減できる。

数学的には、縮退と対称性の関係は次のように明確にすることができます。ユニタリ演算子 $S$ に関連付けられた対称操作を考えます。このような操作の下では、新しいハミルトニアンは、演算子 $Sによって生成される$ 相似変換によって元のハミルトニアンと関連付けられます。 $H'=SHS^{-1}=SHS^{\dagger }$ $S$ はユニタリであるため、ハミルトニアンが変換操作 $S$ の下で変化しない場合、次のようになります。 ${\begin{aligned}SHS^{\dagger }&=H\\[1ex]SHS^{-1}&=H\\[1ex]SH&=HS\\[1ex][S,H]&=0\end{aligned}}$ さて、もし $|\alpha \rangle$ はエネルギー固有状態であり、 $H|\alpha \rangle =E|\alpha \rangle$ ここで、 $E$ は対応するエネルギー固有値である。 $HS|\alpha \rangle =SH|\alpha \rangle =SE|\alpha \rangle =ES|\alpha \rangle$ つまり $S|\alpha \rangle$ も同じ固有値 $E$ を持つエネルギー固有状態です。 $|\alpha \rangle$ そして $S|\alpha \rangle$ これらは線形独立（つまり物理的に異なる）であるため、縮退している。

$S$ が連続パラメータによって特徴付けられる場合 $\epsilon$ 、すべての状態 $S(\epsilon )|\alpha \rangle$ 同じエネルギー固有値を持つ。

ハミルトニアンの対称群

量子系のハミルトニアンと可換な演算子の集合は、ハミルトニアンの対称群を形成すると言われる。この群の生成子の交換子によって、群の代数が決定される。対称群の n 次元表現は、対称演算子の乗算表を保持する。特定の対称群を持つハミルトニアンの可能な縮退度は、その群の既約表現の次元によって決まる。n 重縮退した固有値に対応する固有関数は、ハミルトニアンの対称群の n 次元既約表現の基底を形成する。

退廃の種類

量子系における縮退は、系統的なものもあれば、偶発的なものである場合もある。

体系的または本質的な退化

これは幾何学的縮退または正規縮退とも呼ばれ、対象となる系に何らかの対称性が存在すること、すなわち、上述のようにハミルトニアンが特定の操作に対して不変であることに起因します。正規縮退から得られる表現は既約であり、対応する固有関数はこの表現の基底を形成します。

偶発的退廃

これは、システムの特別な特徴や検討対象のポテンシャルの関数形式に起因する縮退の一種であり、システムの隠れた動的対称性に関連している可能性があります。^{[ 4 ]}また、保存量も生じますが、これらは特定するのが容易ではない場合が多いです。偶発的な対称性は、離散エネルギースペクトルにおけるこれらの追加の縮退につながります。偶発的な縮退は、ハミルトニアンの群が完全ではないという事実に起因する可能性があります。これらの縮退は、古典物理学における束縛軌道の存在に関連しています。

例：クーロンポテンシャルと調和振動子ポテンシャル

中心 $1/ r$ ポテンシャル内の粒子の場合、ラプラス・ルンゲ・レンツベクトルは、回転不変性による角運動量の保存に加えて、偶然の縮退から生じる保存量である。

$円錐の先端を中心とする1/ r$ および $r 2$ ポテンシャルの影響下で円錐上を運動する粒子の場合、偶発的対称性に対応する保存量は、角運動量ベクトルの 1 つの成分に加えて、ルンゲ・レンツベクトルに相当するものの 2 つの成分になります。これらの量は、両方のポテンシャルに対してSU(2)対称性を生成します。

例：一定の磁場中の粒子

一定の磁場の影響下で円軌道上をサイクロトロン運動する粒子は、偶発的対称性のもう一つの重要な例である。この場合の対称多重項は、無限に縮退したランダウ準位である。

例

水素原子

原子物理学において、水素原子中の電子の束縛状態は、縮退の有用な例を示している。この場合、ハミルトニアンは全軌道角運動量と可換である。 ${\hat {L}}^{2}$ z方向の成分、 ${\hat {L}}_{z}$ 、全スピン角運動量 ${\hat {S}}^{2}$ およびそのz成分 ${\hat {S}}_{z}$ これらの演算子に対応する量子数は次のとおりです。 $\ell$ 、 $m_{\ell }$ 、 $s$ （電子の場合は常に1/2） $m_{s}$ それぞれ。

水素原子のエネルギー準位は主量子数 $n$ のみに依存します。与えられた $n$ に対して、対応するすべての状態は $\ell =0,\ldots ,n-1$ エネルギーが同じで縮退している。同様に、 $n$ と $ℓ$ の与えられた値に対して、 $(2\ell +1)$ 州は $m_{\ell }=-\ell ,\ldots ,\ell$ は縮退している。したがって、エネルギー準位E _nの縮退度は $\sum _{\ell \mathop {=} 0}^{n-1}(2\ell +1)=n^{2},$ スピン縮退を含めると、これは2倍になる。^{[ 1 ]}^{： 267f}

退化に関して $m_{\ell }$ は、あらゆる中心ポテンシャルに存在する本質的な縮退であり、優先的な空間方向の欠如から生じる。に関する縮退は、 $\ell$ これはしばしば偶発的な縮退として説明されるが、クーロンの法則によってポテンシャルエネルギーが与えられる水素原子にのみ有効なシュレーディンガー方程式の特別な対称性によって説明することができる。^{[ 1 ]}^{： 267f}

等方性三次元調和振動子

これは、質量mのスピンを持たない粒子が三次元空間を運動しており、粒子と力の中心との距離に比例する絶対値を持つ中心力の影響を受ける。 $F=-kr$ ポテンシャルが等方的であると言われている $V(r)$ それに対して作用するものは回転不変である、すなわち、 $V(r)={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}$ どこ $\omega$ 角周波数は次式で与えられる。 ${\textstyle {\sqrt {k/m}}}$ 。

このような粒子の状態空間は、個々の一次元波動関数に関連付けられた状態空間のテンソル積であるため、このような系に対する時間独立シュレーディンガー方程式は次のように与えられる。 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2}}{m\omega ^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\psi }=E\psi$

したがって、エネルギー固有値は $E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=\left(n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega$ または、 $E_{n}=\left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\hbar \omega$ ここでnは非負の整数である。したがって、エネルギー準位は縮退しており、縮退度は異なるセットの数に等しい。 $\{n_{x},n_{y},n_{z}\}$ 満足 $n_{x}+n_{y}+n_{z}=n$ 退廃 $n$ 番目の状態は、分布を考慮することで見つけることができます。 $n$ 量子を横断して $n_{x}$ 、 $n_{y}$ そして $n_{z}$ 0 を持っている $n_{x}$ 与える $n+1$ 流通の可能性 $n_{y}$ そして $n_{z}$ 1つの量子を持つ $n_{x}$ 与える $n$ 可能性 $n_{y}$ そして $n_{z}$ などなど。これは、一般的に次のような結果につながります。 $n-n_{x}+1$ そしてすべてを合計すると $n$ 退化につながる $n$ 第 1 州、 $\sum _{n_{x}=0}^{n}(n-n_{x}+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}$ 基底状態の場合 $n=0$ 縮退は $1$ したがって、この状態は非縮退状態です。より高次のすべての状態では、縮退度が1より大きいため、この状態は縮退状態です。

退化を取り除く

量子力学系における縮退は、外部摂動によって基礎となる対称性が破れると解消される可能性がある。これにより、縮退したエネルギー準位に分裂が生じる。これは本質的に、元の既約表現が、摂動を受けた系のより低次元の表現に分裂することである。

数学的には、小さな摂動ポテンシャルの適用による分裂は、時間独立縮退摂動理論を用いて計算できます。これは、摂動のない系のハミルトニアン H ₀の解が与えられた場合に、摂動が加えられた量子系のハミルトニアン H の固有値方程式の解を求めるために適用できる近似手法です。この手法では、ハミルトニアン H の固有値と固有ケットを摂動級数に展開します。与えられたエネルギー固有値を持つ縮退固有状態はベクトル部分空間を形成しますが、この空間の固有状態のすべての基底が摂動理論の良い出発点になるわけではありません。なぜなら、通常、摂動された系の固有状態はそれらの近くに存在しないからです。選択すべき正しい基底は、縮退部分空間内で摂動ハミルトニアンを対角化する基底です。

摂動による縮退除去の物理的例

量子系の縮退したエネルギー準位が外部摂動の適用によって分裂する物理的な状況の重要な例を以下に示します。

2準位系における対称性の破れ

2準位系とは、本質的に、エネルギーが互いに近く、かつ他の状態のエネルギーとは大きく異なる2つの状態を持つ物理系を指します。このような系に関するすべての計算は、状態空間の2次元部分空間上で行われます。

物理系の基底状態が二重縮退している場合、対応する2つの状態間の結合は、系の基底状態のエネルギーを低下させ、より安定させる。

もし $E_{1}$ そして $E_{2}$ はシステムのエネルギー準位であり、 $E_{1}=E_{2}=E$ 摂動 $W$ は、2次元部分空間において、以下の2×2行列として表される。 $\mathbf {W} ={\begin{bmatrix}0&W_{12}\\[1ex]W_{12}^{*}&0\end{bmatrix}}.$ すると、摂動エネルギーは ${\begin{aligned}E_{+}&=E+|W_{12}|\\E_{-}&=E-|W_{12}|\end{aligned}}$

エネルギー状態の縮退が、システムの固有の性質による内部相互作用に起因するハミルトニアンの非対角項の存在によって解消される2状態システムの例としては、以下のようなものがある。

ベンゼンでは、隣接する炭素原子間の3つの二重結合の配置には2つの可能なパターンが存在する。
アンモニア分子では、窒素原子は3つの水素原子によって形成される平面の上または下のいずれかに位置する。
H ⁺₂分子では、電子は2つの原子核のいずれかの周りに局在する可能性がある。

微細構造の分裂

水素原子内の電子と陽子の間のクーロン相互作用に対する相対論的運動とスピン軌道結合による補正は、単一の主量子数nに対応する異なるlの値に対するエネルギー準位の縮退を解消する結果となる。

相対論的補正による摂動ハミルトニアンは次のように与えられる。 $H_{r}=-p^{4}/8m^{3}c^{2}$ どこ $p$ は運動量演算子であり、 $m$ は電子の質量です。 $|nlm\rangle$ 基礎は次のように与えられる $E_{r}=\left(-1/8m^{3}c^{2}\right)\left\langle n\ell m\right|p^{4}\left|n\ell m\right\rangle$

今 $p^{4}=4m^{2}(H^{0}+e^{2}/r)^{2}$ ${\begin{aligned}E_{r}&=-{\frac {1}{2mc^{2}}}\left[E_{n}^{2}+2E_{n}e^{2}\left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle +e^{4}\left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle \right]\\&=-{\frac {1}{2}}mc^{2}\alpha ^{4}\left[-3/(4n^{4})+1/{n^{3}(\ell +1/2)}\right]\end{aligned}}$ どこ $\alpha$ は微細構造定数です。

スピン軌道相互作用とは、電子の固有磁気モーメントと、陽子との相対運動によって電子が受ける磁場との間の相互作用を指します。相互作用ハミルトニアンは次のようになります。 $H_{so}=-{\frac {e}{mc}}{\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {L} }{r^{3}}}={\frac {e^{2}}{m^{2}c^{2}r^{3}}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {L}$ これは次のように書くことができます $H_{so}={\frac {e^{2}}{4m^{2}c^{2}r^{3}}}\left[J^{2}-L^{2}-S^{2}\right]$

エネルギー補正の一次 $|j,m,\ell ,1/2\rangle$ 摂動ハミルトニアンが対角である基底は、次のように与えられる。 $E_{so}={\frac {\hbar ^{2}e^{2}}{4m^{2}c^{2}}}{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{a_{0}^{3}n^{3}\ell (\ell +{\frac {1}{2}})(\ell +1)}}$ どこ $a_{0}$ はボーア半径である。全微細構造エネルギーシフトは次式で与えられる。 $E_{fs}=-{\frac {mc^{2}\alpha ^{4}}{2n^{3}}}\left[1/(j+1/2)-3/4n\right]$ のために ${\textstyle j=\ell \pm {\tfrac {1}{2}}}$ 。

ゼーマン効果

外部磁場中に置かれた原子のエネルギー準位が、磁気モーメントの相互作用によって分裂する現象。 ${\vec {m}}$ 印加された電場による原子の挙動は、ゼーマン効果として知られています。

軌道角運動量とスピン角運動量を考慮すると、 $\mathbf {L}$ そして $\mathbf {S}$ 水素原子中の単一電子の摂動ハミルトニアンは、それぞれ次のように与えられる。 ${\hat {V}}=-(\mathbf {m} _{\ell }+\mathbf {m} _{s})\cdot \mathbf {B}$ どこ $\mathbf {m} _{\ell }=-e\mathbf {L} /2m$ そして $\mathbf {m} _{s}=-e\mathbf {S} /m$ 。したがって、 ${\hat {V}}={\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {B}$ さて、弱い磁場ゼーマン効果の場合、印加磁場が内部磁場に比べて弱い場合、スピン軌道結合が支配的になり、 ${\textstyle \mathbf {L} }$ そして ${\textstyle \mathbf {S} }$ これらは個別に保存されない。良い量子数はn、ℓ、jおよびm _jであり、この基底では、一次エネルギー補正は次のように与えられることが示される。 $E_{z}=-\mu _{B}g_{j}Bm_{j},$ どこ $\mu _{B}={e\hbar }/2m$ はボーア磁子と呼ばれます。したがって、の値に応じて $m_{j}$ 縮退したエネルギー準位はそれぞれ複数の準位に分裂する。

強磁場ゼーマン効果の場合、印加磁場が十分に強く、軌道角運動量とスピン角運動量が分離すると、良い量子数はn、l、ml、ms_となります。ここで、LzとSz_は保存されるため、摂動ハミルトニアンは次のように与えられ _ます_。 ${\hat {V}}=eB(L_{z}+2S_{z})/2m$ 磁場がz方向に沿っていると仮定すると、 ${\hat {V}}=eB(m_{\ell }+2m_{s})/2m$ m _ℓ の各値に対して、 m _sには 2 つの可能な値があります。 $\pm 1/2$ 。

スターク効果

原子や分子が外部電場にさらされた際にエネルギー準位が分裂する現象は、シュタルク効果として知られている。

水素原子の場合、摂動ハミルトニアンは次のようになる。 ${\hat {H}}_{s}=-|e|Ez$ 電場がz方向に沿って選択される場合。

印加された電場によるエネルギー補正は、期待値によって与えられる。 ${\hat {H}}_{s}$ で $|n\ell m\rangle$ 基礎。選択規則により、 $\langle n\ell m_{\ell }|z|n_{1}\ell _{1}m_{\ell 1}\rangle \neq 0$ いつ $\ell =\ell _{1}\pm 1$ そして $m_{\ell }=m_{\ell 1}$ 。

縮退は、選択規則に従う特定の状態に対してのみ、一次的に解消される。縮退状態のエネルギー準位における一次分裂 $|2,0,0\rangle$ そして $|2,1,0\rangle$ n = 2に対応するは、次式で与えられる。 $\Delta E_{2,1,m_{\ell }}=\pm |e|\hbar ^{2}/(m_{e}e^{2})E$ 。

参考文献

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↑レヴィン、アイラ・N. (1991).量子化学（第4版）. プレンティス・ホール. p. 52. ISBN 0-205-12770-3。
1 2メサイア、アルバート（1967）。量子力学（第3版）。アムステルダム、オランダ：ノースホランド。98–106頁。ISBN 0-471-88702-1。
↑ McIntosh, Harold V. (1959). "On Accidental Degeneracy in Classical and Quantum Mechanics" (PDF) . American Journal of Physics . 27 (9). American Association of Physics Teachers (AAPT): 620– 625. Bibcode : 1959AmJPh..27..620M . doi : 10.1119/1.1934944 . ISSN 0002-9505 .

さらに読む

コーエン・タンヌージ、クロード。ディウ、バーナード。ラロエ、フランク。量子力学。 Vol. 1. ヘルマン。ISBN 978-2-7056-8392-4。
シャンカール、ラマムルティ（2013）。量子力学の原理。シュプリンガー。ISBN 978-1-4615-7675-4。
Larson, Ron ; Falvo, David C. (2009年3月30日).初等線形代数、拡張版. Cengage Learning. pp. 8–. ISBN 978-1-305-17240-1。
ホブソン、ライリー（2004年8月27日）。物理学および工学のための数学的手法（CLPE）第2版。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-61296-8。
ヘマー(2005)。クバンテメカニック: PC ヘマー。バク・アカデミスク・フォラグ。 Tillegg 3: セクション 3.1、3.3、および 3.5 の補足。ISBN 978-82-519-2028-5。
二次元系における量子縮退、デブナラヤン・ジャナ、理工大学物理学科
アル＝ハシミ、ムニール（2008）。量子物理学における偶然の対称性。

[Merzbacher98-1] 1 2 3メルツバッハー、オイゲン（1998）。量子力学（第3 版）。ニューヨーク：ジョン・ワイリー。ISBN 0-471-88702-1。

[Levine-2] レヴィン、アイラ・N. (1991).量子化学（第4版）. プレンティス・ホール. p. 52. ISBN 0-205-12770-3。

[messiah1967-3] 1 2メサイア、アルバート（1967）。量子力学（第3版）。アムステルダム、オランダ：ノースホランド。98–106頁。ISBN 0-471-88702-1。

[4] McIntosh, Harold V. (1959). "On Accidental Degeneracy in Classical and Quantum Mechanics" (PDF) . American Journal of Physics . 27 (9). American Association of Physics Teachers (AAPT): 620– 625. Bibcode : 1959AmJPh..27..620M . doi : 10.1119/1.1934944 . ISSN 0002-9505 .

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