デコヒーレンスフリーな部分空間

デコヒーレンスフリー部分空間( DFS ) は、非ユニタリダイナミクスに対して不変な量子システムのヒルベルト空間の部分空間です。言い換えると、これらはシステムヒルベルト空間の小さなセクションで、システムは環境から切り離されており、したがってその発展は完全にユニタリです。DFS は、量子エラー訂正コードの特別なクラスとして特徴付けることもできます。この表現では、これらの部分空間は (おそらく)アクティブな安定化方法を必要としない情報でエンコードされているため、これらは受動的なエラー防止コードです。これらの部分空間は、量子情報を分離することにより、破壊的な環境相互作用を防ぎます。そのため、これらは量子コンピューティングの重要な主題であり、量子システムの (コヒーレントな) 制御が望ましい目標です。デコヒーレンスは、システムの量子状態間のコヒーレンスの損失を引き起こし、その結果干渉項が減衰し、(オープン) 量子システムから周囲の環境への情報の損失につながるため、この点で問題を引き起こします。量子コンピュータは環境から分離することができず（つまり、現実世界では真に分離された量子システムを持つことはできない）、情報が失われる可能性があるため、DFS の研究は量子コンピュータを現実世界に実装する上で重要です。

DFS の研究は、量子情報処理(QIP)の分野でデコヒーレンスを回避するための構造化された方法の探索から始まりました。この方法には、特定のデコヒーレンス プロセス (つまり、環境との特定の相互作用) によって変化しない可能性のある特定の状態を識別する試みが含まれていました。これらの研究は、GM Palma、KA Suominen、AK Ekertによる観察から始まりました。彼らは、環境と同じ相互作用を持つ 2 つの量子ビットに対する純粋なデフェージングの影響を研究しました。彼らは、そのような 2 つの量子ビットはデコヒーレンスしないことを発見しました。^[1]もともと、この状況を説明するために Palma が「サブデコヒーレンス」という用語を使用しました。Martin Plenio、Vlatko Vedral、Peter Knightによる独立した研究も注目に値します。彼らは、自発放出の特定のユニタリー時間発展の下で不変であるコードワードを使用してエラー訂正コードを構築しました。^[2]

その後まもなく、LM Duan と GC Guo もこの現象を研究し、Palma、Suominen、Ekert と同じ結論に達しました。しかし、Duan と Guo は独自の用語を適用し、位相のずれによってデコヒーレンスが失われない状態を「コヒーレンス保存状態」と表現しました。Duan と Guo は、位相のずれに対してコヒーレンスを保存するために 2 つの量子ビットを組み合わせるというこのアイデアを、集団位相のずれと散逸の両方に適用し、このような状況ではデコヒーレンスが防止されることを示しました。これは、システムと環境の結合強度に関する知識を前提とすることで示されました。しかし、このようなモデルは、位相のずれと散逸のデコヒーレンス プロセスのみを扱っていたため、限界がありました。他の種類のデコヒーレンスを扱うために、Palma、Suominen、Ekert と Duan と Guo によって以前に提示されたモデルは、P. Zanardi と M. Rasetti によってより一般的な設定に置き換えられました。彼らは既存の数学的枠組みを拡張し、より一般的なシステムと環境の相互作用、例えば集団的デコヒーレンス（量子システムのすべての状態に作用する同じデコヒーレンス過程）や一般的なハミルトニアンなどを組み込んだ。彼らの分析は、システムと環境の結合強度を知ることに依存しないデコヒーレンスフリー（DF）状態の存在に関する最初の形式的かつ一般的な状況を示した。ザナルディとラセッティはこれらのDF状態を「エラー回避コード」と呼んだ。その後、ダニエル A. ライダーはこれらのDF状態が存在する空間を「デコヒーレンスフリーサブスペース」と名付けた。ライダーは摂動に対するDF状態の強さを研究し、DF状態において優勢なコヒーレンスはシステムハミルトニアンの進化によって覆される可能性があることを発見した。この観察から、量子計算にDF状態を使用する可能性に対する別の前提条件が明らかになった。DF状態の存在に関する完全に一般的な要件は、ライダー、D. ベーコン、KB ホエリーによってクラウス演算子和表現（OSR）で表現された。その後、A.シャバニとライダーは、初期状態がDF状態である必要があるという要件を緩和し、DFSの既知の条件をいくつか修正してDFSフレームワークを一般化した。^[3]

その後、E. Knill、R. Laflamme、L. Viola が「ノイズのないサブシステム」という概念を導入し、DFS 像の一般化が進展しました。^[1] Knill は、システムと環境の相互作用における動的対称性を生成する代数の高次元の既約表現にまで拡張しました。DFS に関する以前の研究では、DF 状態をシングレットとして記述しましたが、これは 1 次元の既約表現です。この研究は成功し、この分析の結果、集団的デコヒーレンス下で DFS を構築するために必要な量子ビットの数が 4 から 3 に削減されました。^[1]サブスペースからサブシステムへの一般化は、ほとんどの既知のデコヒーレンス防止およびヌル化戦略を組み合わせるための基礎を形成しました。

浴Bに結合され、次のようにシステムと浴の結合ハミルトニアンで記述される N次元の量子システムSについて考えます。 ここで、相互作用ハミルトニアンは通常の方法で として与えられ 、はシステム (浴) のみに作用し、はシステム (浴) ハミルトニアン、 はシステム (浴) に作用する恒等演算子です。これらの条件下では、 （ここではシステム ヒルベルト空間）内の動的発展は、次の場合のみ 完全にユニタリ（すべての可能な浴状態）です。$${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{S}\otimes {\hat {I}}_{B}+{\hat {I}}_{S}\otimes {\hat {H}}_{B}+{\hat {H}}_{I},}$$${\displaystyle {\hat {H}}_{I}}$$${\displaystyle {\hat {H}}_{I}=\sum _{i}{\hat {S}}_{i}\otimes {\hat {B}}_{i},}$$${\displaystyle {\hat {S}}_{i}{\big (}{\hat {B}}_{i}{\big )}}$${\displaystyle {\hat {H}}_{S}{\big (}{\hat {H}}_{B}{\big )}}$${\displaystyle {\hat {I}}_{S}{\big (}{\hat {I}}_{B}{\big )}}$${\displaystyle {\tilde {\mathcal {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle \forall |\phi \rangle }$

言い換えれば、システムが で始まり（つまり、システムと浴が最初は分離されている）、システムのハミルトニアンが不変である場合、(i) を満たす場合のみ は DFS です。 ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\hat {H}}_{S}}$${\textstyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}=\operatorname {span} \left[\left\left\{|\phi _{k}\rangle \right\}_{k=1}^{N}\right]}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

これらの状態は の退化した 固有値であるため、区別可能であり、したがって、特定のデコヒーレンス プロセスで情報が保持されます。上記の条件を満たすシステム ヒルベルト空間のサブスペースは、デコヒーレンスのないサブスペースです。ただし、条件 (iii) が満たされない場合、このサブスペースから情報が「漏れる」可能性があります。したがって、ハミルトン条件下で DFS が存在する場合でも、これらのサブスペースに作用して、システム ヒルベルト空間の DFS であるかどうかに関係なく、別のサブスペースに状態を取り出す非ユニタリ アクションがまだ存在します。 ${\displaystyle {\hat {S}}_{i}\in {\mathcal {O}}_{SB}({\mathcal {H}}_{SB})}$

を N 次元 DFS とし、 をシステム(量子システムのみ) のヒルベルト空間とします。が張るN基底状態に関して記述されるクラウス演算子は、次のように与えられます: ^{[説明が必要]} ここで、(はシステムとバスを組み合わせたハミルトニアン)は に作用し、 は(の直交補数)に作用する任意の行列です。は に作用するため、 ではデコヒーレンスが生じません。ただし、 ではデコヒーレンス効果が生じる可能性があります (可能性として) 。 およびを張る基底ケットを考えます。これらはさらに次を満たします: ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$ $${\displaystyle \mathbf {A} _{l}={\begin{pmatrix}g_{l}\mathbf {\チルダ {U}} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\ bar {A}} _{l}\end{pmatrix}},\quad g_{l}={\sqrt {a_{j}}}\langle k|\mathbf {U} _{C}|j\rangle }$$${\textstyle \mathbf {U} _{C}=\exp \left({-i\mathbf {H} _{C}t}/{\hbar }\right)}$${\displaystyle \mathbf {H} _{C}}$${\displaystyle \mathbf {\チルダ {U}} }$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {{\tilde {H}}^{\bot }}}_{S}}$${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$$${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}|j\rangle =g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |j\rangle ,\quad \forall {l}.}$$

${\displaystyle \mathbf {\チルダ {U}} }$は任意のユニタリ演算子であり、時間に依存する場合とそうでない場合がありますが、インデックス変数 とは独立しています。は複素定数です。は にまたがるため、任意の純粋状態はこれらの基底ケットの 線形結合として表すことができます。${\displaystyle l}$${\displaystyle g_{l}}$${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$$${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{j=1}^{N}b_{j}|j\rangle ,\quad b_{j}\in \mathbb {C} .}$$

この状態はデコヒーレンスフリーになります。これはの作用を考えるとわかります。 ${\displaystyle \mathbf {\bar {A}} _{l}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(\mathbf {\ bar {A}} _{l}|j\rangle )\\&=\sum _{j=1}^{N}b_{j}(g_{l}\mathbf {\チルダ{U}} |j\rangle )\\\mathbf {\bar {A}} _{l}|\psi \rangle &=g_{l}\mathbf {\チルダ {U}} |\psi \rangle 。 \end{整列}}}$$

したがって、の密度演算子表現では、 この状態の進化は次のようになります。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \rho _{\text{initial}}=|\psi \rangle \langle \psi |}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{final}}&=\sum _{l}\mathbf {A} _{l}\rho _{\text{initial}}\mathbf {A} _{l}^{\dagger }\\&=\sum _{l}g_{l}\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |h_{l}\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }\\&=\mathbf {\tilde {U}} |\psi \rangle \langle \psi |\mathbf {\tilde {U}} ^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

上記の式は、 が純粋状態であり、 がユニタリであるため、その発展はユニタリであることを示しています。したがって、 のどの状態もデコヒーレンスしません。なぜなら、その発展はユニタリ演算子によって制御され、その動的発展は完全にユニタリになるからです。したがって、はデコヒーレンスのない部分空間です。上記の議論は、任意の初期混合状態にも一般化できます。^[1]${\displaystyle \rho _{\text{final}}}$${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} }$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

この定式化では、半群アプローチが使用されています。リンドブラッドのデコヒーリング項は、量子システムのダイナミクスがユニタリになるタイミングを決定します。特に、 （ここで、 はシステムの状態の密度演算子表現）のとき、ダイナミクスはデコヒーレンスフリーになります。 （ここで、 はシステムのヒルベルト空間）の範囲とします。次の仮定の下では、 ${\displaystyle L_{D}[\rho ]=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \left\{|j\rangle \right\}_{j=1}^{N}}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}\subset {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$

DFS であるための必要十分条件は次のとおり です。 ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle \forall {|j\rangle }}$$${\displaystyle \mathbf {F} _{\alpha }|j\rangle =\lambda _{\alpha }|j\rangle ,\quad \forall \alpha .}$$

上記の式は、すべての基底状態がエラー ジェネレータの退化した固有状態であることを示しています。そのため、それぞれのコヒーレンス項はデコヒーレンスしません。したがって、それぞれの固有値が退化しており、エラー ジェネレータの下での動作後に識別可能であるため、内部の状態はデコヒーレンス プロセス後も相互に区別可能なままになります。 ${\displaystyle |j\rangle }$ ${\displaystyle \left\{\mathbf {F} _{\alpha }\right\}_{\alpha =1}^{M=N\times {N}}.}$${\displaystyle {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$

DFS は、その状態セットを通じて情報を「エンコード」するものと考えることができます。これを理解するために、状態 に準備されているd次元のオープン量子システムを考えてみましょう。状態 は、システムのヒルベルト・シュミット空間、つまり( )上の有界演算子の空間に属する、非負 (つまり、固有値が正)でトレース正規化された ( ) 密度演算子です。この密度演算子 (状態) が状態セット、 (システムのヒルベルト空間)の DFS 、および から選択されるものとします。この状態セットは、このセット内の状態が特定の種類の情報をエンコードするため、コードと呼ばれます。 ^[4]つまり、セットS はその状態を通じて情報をエンコードします。 内に含まれるこの情報はアクセス可能でなければなりません。情報は 内の状態にエンコードされているため、これらの状態は、たとえば、情報を取得しようとする何らかのプロセスにとって区別可能でなければなりません。したがって、2つの状態 に対して、プロセスがこれらの状態に対して情報保存的であるとは、プロセスの実行後もプロセスの実行前と同様に状態が区別可能である場合をいう。より一般的な言い方をすると、コード（またはDFS）がプロセスによって保存されるのは、 が適用された後も各状態のペアが が適用される前と同様に区別可能である場合のみである。 ^[4]より実際的な説明は、がプロセスによって保存されるのは、 が適用された後も適用される前と同様に状態が区別可能である場合のみである。${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} [\rho ]=1}$${\displaystyle d\times d}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {B({\mathcal {H}})}}}$${\displaystyle S=\left\{\rho _{i}\right\}_{i=1}^{n}\in {\mathcal {\tilde {H}}}_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{S}}$${\displaystyle n<d}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S,\;(i\neq j)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}_{i},{\boldsymbol {\rho }}_{j}\in S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle \forall {\boldsymbol {\rho }},{\boldsymbol {\rho }}'\in S}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$ $${\displaystyle {\big \|}{\boldsymbol {\zeta }}{\big (}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big )}{\big \|}_{1}={\big \|}{\boldsymbol {\rho }}-x{\boldsymbol {\rho }}'{\big \|}_{1}.}$$

これは、が 上の 1:1 トレース距離保存マップであることを意味します。^{[4]この図では、DFS は、}相互の区別がプロセスによって影響を受けない状態 (コード) の集合です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}}$

DFS は状態セットを通じて情報をエンコードできるため、エラー (デコヒーリング プロセス) に対して安全です。このように、DFS は、環境との相互作用によって乱される可能性があるが、何らかの逆プロセスによって取り戻せる状態に情報がエンコードされる、QECC の特別なクラスとして考えることができます。^[1]

システムヒルベルト空間の部分空間であるコード を考えてみましょう。コードには、エンコードされた情報が （つまり「コードワード」）で与えられます。このコードは、デコヒーレンスから保護し、システムのヒルベルト空間の小さな部分で情報の損失を防ぐために実装できます。エラーは、システムと環境（浴）との相互作用によって発生し、クラウス演算子によって表されます。^[1]システムが浴と相互作用した後、その中に含まれる情報は「デコード」できなければなりません。したがって、この情報を取得するには、回復演算子が導入されます。したがって、QECC は、回復演算子のセットを伴う部分空間です。${\displaystyle C=\operatorname {span} \left[\left\{|j_{k}\rangle \right\}\right]}$${\displaystyle \left\{|j_{k}\rangle \right\}}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$

を、回復演算子 を伴う、クラウス演算子 によって表される誤差演算子に対する QECC とします。このとき、に制限すると となる場合のみ、 は DFS です。^[1]ここで、 はシステム進化演算子の逆です。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \left\{\mathbf {A} _{l}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {R} _{r}\right\}.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {R} _{r}\propto \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger },\forall {r}}$${\displaystyle \mathbf {\tilde {U}} _{S}^{\dagger }}$

この量子演算の反転の図では、DFS はより一般的な QECC の特別なインスタンスであり、特定のコードに制限すると、回復演算子はシステム進化演算子の逆数に比例し、システムのユニタリー進化が可能になります。

これら 2 つの表現の微妙な違いは、「保存」と「訂正」という 2 つの単語にあることに注意してください。前者の場合、エラー防止が使用される方法であるのに対し、後者の場合、エラー訂正が使用されます。したがって、2 つの表現は、一方が受動的な方法であり、もう一方が能動的な方法であるという点で異なります。

集団的位相ずれを受ける基底量子ビットによって張られる 2 量子ビットのヒルベルト空間を考えます。これらの基底量子ビット間にはランダムな位相が生成されるため、量子ビットは次のように変換されます。 ${\displaystyle \left\{|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\right\}}$${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow |0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}&\longrightarrow e^{i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}\\|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}&\longrightarrow e^{2i\phi }|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

この変換により、基底状態は同じ位相係数を取得します。したがって、これを考慮して、次のエンコードされた量子ビットを定義することにより、状態はこの情報 (つまり位相係数) でエンコードされ、この位相ずれプロセスの下でユニタリに進化することができます。 ${\displaystyle |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}}$${\displaystyle e^{i\phi }}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|0_{E}\rangle &=|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}\\|1_{E}\rangle &=|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.\end{aligned}}}$$

これらは基底量子ビットなので、任意の状態はこれらの状態の線形結合として表すことができます。したがって、 $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle =l|0_{E}\rangle +m|1_{E}\rangle ,\quad l,m\in \mathbb {C} .}$$

この状態は、位相のずれのプロセスによって次のように変化します。 $${\displaystyle |\psi _{E}\rangle \longrightarrow l|0\rangle _{1}\otimes e^{i\phi }|1\rangle _{2}+e^{i\phi }m|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}=e^{i\phi }|\psi _{E}\rangle .}$$

しかし、量子状態の全体的な位相は観測不可能であり、したがって状態の説明には無関係です。したがって、この位相ずれプロセスでは不変のままであり、したがって基底セットは 4 次元ヒルベルト空間のデコヒーレンスのないサブスペースです。同様に、サブスペースも DFS です。 ${\displaystyle |\psi _{E}\rangle }$${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2},|1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}}}$${\displaystyle {\big \{}|0\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}{\big \}},{\big \{}|1\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}{\big \}}}$

一般的なサブシステム分解を持つN 次元システムヒルベルト空間を持つ量子システムを考えてみましょう。サブシステムは、システムと環境の結合に関してデコヒーレンスのないサブシステムであるとは、 内のすべての純粋状態が OSR 発展の下でこのサブシステムに関して変化しない場合を指します。これは、環境のあらゆる初期条件に対して当てはまります。^[5]デコヒーレンスのないサブスペースとデコヒーレンスのないサブシステムの違いを理解するために、単一の量子ビットの情報を 2 量子ビット システムにエンコードすることを考えてみましょう。この 2 量子ビット システムには 4 次元ヒルベルト空間があります。この空間に単一の量子ビットをエンコードする 1 つの方法は、4 次元ヒルベルト空間の 2 つの直交量子ビットにまたがるサブスペースに情報をエンコードすることです。次のように、 直交状態で情報がエンコードされていると仮定します。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}}$${\textstyle {\mathcal {H}}_{C}=\bigoplus _{j=1}^{N}(\bigotimes _{i=1}^{l_{N}}{\mathcal {H}}_{ji}).}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{ji}}$${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow \alpha |0\rangle _{1}\otimes |1\rangle _{2}+\beta |1\rangle _{1}\otimes |0\rangle _{2}.}$$

これは、情報が2 量子ビットのヒルベルト空間のサブスペースにエンコードされていることを示しています。同じ情報をエンコードする別の方法は、2 つの量子ビットのうちの 1 つの量子ビットのみをエンコードすることです。最初の量子ビットがエンコードされていると仮定すると、2 番目の量子ビットの状態は完全に任意になります。

$${\displaystyle \alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}\longrightarrow {\bigl (}\alpha |0\rangle _{1}+\beta |1\rangle _{2}{\bigr )}\otimes |\psi \rangle .}$$

このマッピングは、情報を符号化する1つの量子ビットから2量子ビットのヒルベルト空間への1対多のマッピングです。 ^[5]代わりに、マッピングが への場合は、量子ビットから2量子ビットのヒルベルト空間のサブスペースへのマッピングと同一です。 ${\displaystyle |\psi \rangle }$

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