ウンドイトゥング紙

物理学の歴史において、「運動学的および機械的関係の量子理論的再解釈について」(ドイツ語: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen )、 Umdeutung (再解釈)論文としても知られる^{[1] [2]}は画期的な成果でした。ヴェルナー・ハイゼンベルクによって書かれた量子力学の記事、 1925 年 9 月に『物理学時代』に掲載されました。

この論文でハイゼンベルクは、量子ジャンプの遷移確率などの観測可能なパラメータを用いて電子軌道の具体的だが観測不可能な表現を避け、一次元の非調和振動子のエネルギー準位を説明しようとした。そのためには、初期状態と最終状態に対応する2つのインデックスを使う必要があった。^[3]

数学的には、ハイゼンベルクは非可換演算子の必要性を示しました。この洞察は後にハイゼンベルクの不確定性原理の基礎となりました。

この論文に続いて、同年にパスクアル・ジョーダンとマックス・ボルンが論文を発表し^[4] 、 1926年にはボルン、ハイゼンベルク、ジョーダンが「三人論文」（ドイツ語：drei Männer Arbeit ）を発表しました^{[5] 。 [1] [6]}これらの論文は、古い量子論に代わる行列力学の基礎を築き、現代の量子力学につながりました。ハイゼンベルクは量子力学の発展に関する研究により、1932年にノーベル物理学賞を受賞しました。^[7]

ハイゼンベルクは23歳で、ヘルゴラント島で花粉症から回復しながらこの論文に取り組み、ヴォルフガング・パウリとこの件についてやり取りしていた。原稿に対する意見を求められ、パウリは好意的に答えたが、ハイゼンベルクは「まだ非常に確信が持てない」と述べた。1925年7月、彼は原稿をマックス・ボルンに送り、出版するかどうかを検討してもらって決定した。^[8]

ボーンはこの論文を読んで、この定式化が行列の体系的な言語に転写して拡張できるものであると認識した。ボーンは、助手でかつての教え子であるパスクアル・ジョーダンの助けを借りて、すぐに転写と拡張を開始し、その結果を出版のために提出した。彼らの原稿はハイゼンベルクの論文のわずか60日後に出版のために受理された。^[4] 3人の著者全員が理論を多次元に拡張した続編の論文は、年末までに出版のために提出された。^[5]

ハイゼンベルクは、量子力学を「原理的に観測可能な量の間の関係のみ」に基づかせることを決意した。^[9]彼は、その場合、「電子の位置と回転周期」などに関するいかなる記述も使用できないことに気づいた。^[10]むしろ、最も単純なケースである励起水素原子の放射を理解する上で真の進歩を遂げるには、水素の輝線スペクトルの周波数と強度の測定のみで十分であった。

古典物理学では、放射システムで生成される各周波数の光の強度は、その周波数での放射の振幅の二乗に等しいため、次に注目されたのは振幅でした。ハイゼンベルクが量子論方程式を作成するために使用しようとした古典的な方程式は、まず振幅を生成し、古典物理学では振幅を二乗するだけで強度を計算できました。しかしハイゼンベルクは、「最も単純で自然な仮定は」^[11]ハンス・クラマースによる光分散の計算に関する最近の研究によって提供された手掛かりに従うことであると考えました。^[12]前年にクラマースを支援して行った研究^[13]により、励起された水素ガスが光を放射したときに何が起こるか、また、ある周波数の入射放射が分散媒体内の原子を励起し、入射光によってもたらされたエネルギーが再放射されるときに何が起こるかをモデル化する方法について重要な手がかりが得られました。再放射は元の周波数で行われることもありますが、多くの場合、2 つのより低い周波数の合計が元の周波数に等しくなります。彼らのモデルによれば、入射光子のエネルギーを受けてより高いエネルギー状態に駆動された電子は、同じ周波数の光子を再放射しながら 1 ステップで平衡位置に戻るか、平衡状態に戻る各ステップで 1 つの光子を放射しながら、複数のステップで戻る可能性がある。これらの考慮に基づいて新しい方程式を導き出す際に要因が打ち消されるため、結果は比較的単純であることが判明した。

また、原稿にはハイゼンベルクの交換子も含まれていた。これは、2つの物理量の積が交換できないという、原子の特定の性質を記述するために必要な乗法則である。したがって、たとえばPが電子の運動量でQが位置である場合、 PQはQPとは異なる。1925年8月に校正刷りを受け取ったポール・ディラックは、交換法則が十分に展開されていないことに気づき、同じ結果をより論理的な形で表現する代数的定式化を作成した。^[14]

ハイゼンベルクは、物理学者の中には「魔法」と呼ぶような一連の強力な数学的類推によって、古典的な強度計算の量子力学的類似物となる方程式を書き上げた。以下の方程式が論文に記載されている。^{[15] [16]}その一般的な形式は以下のとおりである。 $${\displaystyle C(n,nb)=\sum _{a}A(n,na)B(na,nb)}$$

この一般的な形式は、ある項C が、ある項のグループAと、それに関連するある項のグループBの積をすべて合計することによって計算されることを示します。潜在的には、項Aとそれに対応する項Bの無限の系列が存在することになります。これらの乗算のそれぞれには、電子のエネルギー状態間の連続的な下方遷移に関連する 2 つの測定値が係数として含まれています。このタイプの規則は、マトリックス力学を日常生活でよく知られている種類の物理学と区別するものです。重要な値は、電子がどのエネルギー状態または「軌道」で始まり、どのエネルギー状態で終わるかであり、電子がいずれかの状態にあるときに何をしているかではないためです。

たとえば、 AとBの両方が頻度のリストを参照する場合、計算は次のように進行します。

状態nから状態n − aへのエネルギー変化の頻度に、状態n − aから状態n − bへのエネルギー変化の頻度を掛け合わせ、それに、状態 n − a から状態 n − b へのエネルギー変化の頻度に、状態 n − b から状態 n − c へのエネルギー変化の頻度を掛け合わせた積を加えます。これを記号的に表すと、次のようになります。

${\displaystyle f(n,na)f(na,nb)+f(na,nb)f(nb,nc)+\cdots }$

(慣例によれば、n − a はnよりも高いエネルギー状態を表すため、nからn − aへの遷移は、電子が入射光子からエネルギーを受け取ってより高い軌道に上昇したことを示し、 n − aからnへの遷移は、電子がより低い軌道に下降して光子を放出したことを表します。)

このプロセスの各ステップを、測定された量に対して実行するのは簡単です。たとえば、この記事の冒頭にある四角で囲まれた式は、必要な波長を順番に示しています。計算された値は、以下に示すように、簡単にグリッドに入力できます。ただし、この数列は無限であるため、計算セット全体を実行することは誰にもできません。

ハイゼンベルクはもともとこの方程式を、同じ種類 (振幅) の 2 つの測定値を掛け合わせるために考案したため、掛け合わせる順序は問題ではありませんでした。しかしハイゼンベルクは、同じ図式を使って運動量pと変位qなどの 2 つの変数を掛け合わせようとすると、「重大な困難が生じる」ことに気付きました。^[17] pの行列をqの行列で掛け合わせると、 qの行列をpの行列で掛け合わせる場合とは異なる結果が得られることがわかりました。わずかな違いしかありませんでしたが、その違いはある限度以下には減らすことができませんでした。その限度にはプランク定数hが関係していました。これについては後で詳しく説明します。以下は、計算のごく短いサンプルで、マトリックスと呼ばれるグリッドに配置されています。ハイゼンベルクの師匠は、数学者がマトリックスを含む計算を効率的に行う方法をすでに知っていたため、彼の研究はマトリックス形式で表現する必要があることにすぐに気付きました。 （ハイゼンベルクは光子放射に興味があったため、図では電子が低レベルから高レベルへ移動する（例：n → n − 1）のではなく、高エネルギーレベルから低レベルへ移動する（例： n ← n − 1）という形で説明される。） （共役変数である運動量と位置の式） $${\displaystyle Y(n,nb)=\sum _{a}p(n,na)q(na,nb)}$$

pの行列

qの行列

Umdeutung論文 の関連方程式で指定されている上記2つの行列の積の行列は、

どこ

などなど。

行列を逆にすると、次の値が得られる。

などなど。

ヴェルナー ハイゼンベルクは、古典物理学は原子や分子よりも大きな世界の現象に当てはまるので、より包括的な量子理論モデルの特別なケースとして成り立つはずだという考えを採用しました。そこで彼は、パラメータが日常の物体のスケールにあるときは古典物理学とまったく同じように見えるが、パラメータが原子スケールに引き下げられたときには、可視水素輝線スペクトルの広く間隔を置いた周波数などに見られる不連続性が再び見えるように量子物理学を修正できるのではないかと考えました。

当時の人々が水素放射線について最も理解したかったことは、そのスペクトルの線の強度を予測または説明する方法でした。ハイゼンベルクは当時それを知りませんでしたが、量子論計算の新しい方法を表現するために彼が考え出した一般的な形式は、2つの行列とそれらを掛け合わせる方法のレシピとして役立ちます。^[18]

Umdeutungの論文では行列については触れられていない。ハイゼンベルクの大きな進歩は、水素放射の「関連する物理的性質（遷移周波数と振幅）を原理的に一意に決定できるスキーム」^[19]であった。

ハイゼンベルクはUmdeutung論文を書き終えると、必要な修正をするためにそれを上級の同僚の一人に引き渡し、休暇を取った。マックス・ボルンはハイゼンベルクが厄介で不安に感じていた方程式と非可換方程式に頭を悩ませた。数日後、彼はこれらの方程式が行列を書き出すための指示に相当することに気づいた。^[20]

... 例を検討することによって... [ハイゼンベルク] はこの規則を発見しました... これは 1925 年の夏のことでした。ハイゼンベルクは... 休暇を取り... 論文を出版のために私に渡しました... ハイゼンベルクの乗法則は私を落ち着かせてくれず、1 週間の集中的な思考と試行の後、私は突然代数理論を思い出しました... このような二次配列は数学者には非常によく知られており、明確な乗法規則に関連して行列と呼ばれています。私はこの規則をハイゼンベルクの量子条件に適用し、対角要素については一致することを発見しました。残りの要素が何であるか、つまりゼロである必要があることは簡単に推測できました。そしてすぐに、私の目の前に奇妙な式が浮かびました。$${\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}}$$

記号Qは変位行列、Pは運動量行列、iは負の1の平方根、hはプランク定数である。 ^[21]ボルンと数人の同僚は、ハイゼンベルクが休暇から戻る前にすべてを行列形式で解決する作業を引き受け、数か月以内に行列形式の新しい量子力学が別の論文の基礎となった。この関係は現在、ハイゼンベルクの不確定性原理として知られている。

ハイゼンベルクの行列力学の文脈で位置や運動量などの量について言及する場合、pq ≠ qpなどの記述は単一のp値と単一のq値を指すのではなく、位置の値の行列 (定義された方法で配置された値のグリッド) と運動量の値の行列を指します。したがって、pをqで乗算するか、qをpで乗算することは、実際には 2 つの行列の行列乗算について話していることになります。2 つの行列を乗算すると、答えは 3 番目の行列になります。

ポール・ディラックは、ハイゼンベルクの研究の本質は、ハイゼンベルクが当初問題視していた特徴、つまり運動量行列と変位行列の積と変位行列と運動量行列の積のような非可換性にあると判断した。この洞察がディラックを新たな生産的な方向に導いた。^[22]

• 量子力学の歴史
• 量子力学の数学的定式化

• ヴェルナー・ハイゼンベルク (1925)。 「超量理論理論と運動機械の基礎」(PDF)。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。33 (1): 879–893。Bibcode :1925ZPhy...33..879H。土井：10.1007/BF01328377。S2CID  186238950。
• BL van der Waerden による「運動学と力学関係の量子理論的再解釈」の英訳は、BL van der Waerden 編 (1968) 「量子力学の源泉」ニューヨーク: ドーバー、pp. 261–276に掲載されています。ISBN 0-486-61881-1。