加速度

物体の平均加速度${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$一定期間における速度の変化は、${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$期間の長さで割った値、${\displaystyle \Delta t}$数学的には、 $${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$$平均加速度は、速度の変化と時間の変化を知るだけで測定できる、最も単純な加速度測定方法です。厳密に言えば、平均加速度は経験法則に頼ることなく直接測定できる唯一の真の加速度であり、つまり、加速度測定の最も基本的な形態と言えます。

平均加速度は、速度が時間とともに線形に変化すると仮定することで、物体の運動学を近似するためによく使用されます。短い時間間隔では、加速度が一定であると仮定できることが多く、つまり加速度は一定です。${\displaystyle \mathbf {a} }$物体の加速度は平均加速度と完全に等しくなります${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$（詳細は「等加速度運動」の項を参照してください。）

ニュートンの運動第二法則によれば、平均加速度は平均力と関係がある。${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}}$質量の粒子について${\displaystyle m}$による、 $${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}=m{\bar {\mathbf {a} }}$$これは、平均加速度の測定が平均力（インパルスとも呼ばれる）の測定でもあることを意味します。${\displaystyle \mathbf {J} ={\bar {\mathbf {f} }}}$）

瞬間加速度とは、ごく短い時間間隔における平均加速度の極限値である。微積分学の用語で言えば、瞬間加速度は速度ベクトルの時間 微分である。$${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}$$加速度は速度vの時間tに関する 微分として定義され、速度は位置xの時間に関する微分として定義されるため、加速度はxのtに関する2階微分と考えることができる。 $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\ddot {\mathbf {x} }}。$$（ここでも他の箇所でも、運動が直線である場合は、方程式中のベクトル量をスカラー量に置き換えることができる。）

微積分学の基本定理により、加速度関数a ( t )の積分は速度関数v ( t )であることがわかります。つまり、加速度と時間 ( a vs. t ) のグラフの曲線の下の面積は速度の変化に対応します。 $${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \,dt.}$$

同様に、加速度関数の導関数であるジャーク関数j ( t )の積分を用いることで、ある時点における加速度の変化を求めることができる。 $${\displaystyle \Delta \mathbf {a} =\int \mathbf {j} \,dt.}$$

加速度の次元は、速度（L/T）を時間で割った値、すなわちL T ⁻²です。加速度のSI単位はメートル毎秒の二乗（ms ⁻²）です。これは、メートル毎秒の速度が毎秒加速度の値だけ変化するため、「メートル毎秒毎秒」とも呼ばれます。

地球を周回する人工衛星のように、円運動をしている物体は、速度が一定であっても、運動方向の変化によって加速している。この場合、物体は向心加速度（中心方向への加速度）を受けていると言われる。

固有加速度、すなわち自由落下状態に対する物体の加速度は、加速度計と呼ばれる装置で測定されます。ニュートンの第二法則は通常、慣性系で適用されます。加速度で加速する基準系では${\displaystyle a}$（一次元の場合）慣性力（仮想力）を導入することで、ニュートンの法則は依然として適用できる。${\displaystyle F=-ma}$大衆に対して${\displaystyle m}$フレームの加速度とは逆方向。これは、フレームが加速している間、質量が慣性運動を維持しようとする傾向、つまり「現状維持」、静止状態または一定速度で運動しようとする傾向を説明するものです。一例として、エレベーターに乗っている人が、エレベーターが加速または減速すると、重く感じたり軽く感じたりすることが挙げられます。${\displaystyle m}$質量にかかる支持力の測定が既知であれば、加速度を推測するためにこれを利用できます。これが機械式加速度計の原理です。^{[ 4 ] [ 5 ]}一般相対性理論では、重力と慣性加速度は局所的に区別できない場合があります（一般相対性理論を参照）。

古典力学では、質量が一定の物体の場合、物体の重心の（ベクトル）加速度は、物体に作用する正味の力ベクトル（つまり、すべての力の合計）に比例する（ニュートンの第二法則）。 $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$$ ここで、Fは物体に作用する正味の力、mは物体の質量、aは重心の加速度です。速度が光速に近づくにつれて、相対論的効果はますます大きくなります。

等加速度運動、または一定加速度運動とは、物体の速度が一定の時間間隔ごとに一定の量だけ変化する運動のことである。

等加速度運動のよく引用される例として、一様な重力場における自由落下する物体が挙げられます。運動に対する抵抗がない場合、落下する物体の加速度は重力場の強さg (重力加速度とも呼ばれる)のみに依存します。ニュートンの第二法則によれば、力は${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$物体に作用する力は次のように表される。 $${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .}$$

一定加速度の場合の解析的性質が単純なため、変位、初期速度、時間依存速度、加速度を経過時間に関連付ける単純な式があります。^{[ 12 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} (t)&=\mathbf {x} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&=\mathbf {x} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)\right)t\\\mathbf {v} (t)&=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} _{0}],\end{aligned}}}$$どこ

• ${\displaystyle t}$経過時間です。
• $\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$は原点からの初期変位であり、
• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$は時刻における原点からの変位である。${\displaystyle t}$、
• $\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$は初速度です。
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$時刻における速度は${\displaystyle t}$、 そして
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$は一定の加速度である。

特に、運動は2つの直交する部分に分解でき、1つは一定速度の部分、もう1つは上記の式に従う部分である。ガリレオが示したように、最終的な結果は放物線運動であり、これは例えば地球表面近くの真空中での投射物の軌道を表す。^{[ 13 ]}

位置ベクトルrは、常に原点から放射状に伸びる方向を指す。

速度ベクトルvは、常に運動経路に接線方向である。

加速度ベクトルa は、半径方向の運動と平行ではなく、角加速度とコリオリ加速度によってオフセットされ、また、経路に接線方向ではなく、向心加速度と半径方向の加速度によってオフセットされる。

平面極座標における運動学的ベクトル。この設定は2次元空間に限定されず、任意の高次元における任意の曲線上の点における接触平面を表すことができることに注意してください。

等速円運動、すなわち円軌道に沿って一定の速度で移動する運動では、粒子は速度ベクトルの方向の変化によって生じる加速度を受けますが、その大きさは一定のままです。曲線上の点の位置の時間微分、すなわち速度は、常に曲線に正確に接線方向、つまりその点における半径に直交することがわかります。等速運動では接線方向の速度は変化しないため、加速度は半径方向、つまり円の中心に向かう方向に生じます。この加速度によって速度の方向は常に隣接する点に接線方向に変化し、それによって速度ベクトルは円に沿って回転します。

• 特定の速度の場合${\displaystyle v}$この幾何学的に生じる加速度（向心加速度）の大きさは半径に反比例する。${\displaystyle r}$円の半径であり、この速度の二乗に比例して増加する。$${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.}$$
• 特定の角速度の場合${\displaystyle \omega }$向心加速度は半径に正比例する${\displaystyle r}$これは速度の依存性によるものです${\displaystyle v}$半径上で${\displaystyle r}$。$${\displaystyle v=\omega r.}$$

求心加速度ベクトルを極座標成分で表すと、${\displaystyle \mathbf {r} }$は円の中心から粒子までのベクトルで、大きさはこの距離に等しく、加速度の向きが中心に向かっていることを考慮すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.}$$回転ではいつものように速度が${\displaystyle v}$粒子の速度は、距離にある点に対する角速度として表すことができる。${\displaystyle r}$として $${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}$$したがって${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-\omega ^{2}\mathbf {r} \,.}$

この加速度と粒子の質量によって、円の中心に向かう向心力、つまり粒子を等速円運動に保つために粒子に作用する正味の力が決定されます。物体に外向きに作用するように見えるいわゆる「遠心力」は、円運動する物体の基準系において、物体の線運動量（運動円に接するベクトル）によって生じる、いわゆる擬似力です。

非一様な円運動、すなわち曲線経路に沿った速度が変化する運動では、加速度は曲線に接する非ゼロの成分を持ち、接触円の中心に向かう主法線に限定されず、半径が決定されます。${\displaystyle r}$向心加速度の場合。接線成分は角加速度によって与えられる。${\displaystyle \alpha }$つまり、変化率${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$角速度の${\displaystyle \omega }$半径の倍数${\displaystyle r}$つまり、 $${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$$

加速度の接線成分の符号は角加速度の符号によって決定される（${\displaystyle \alpha }$）、そして接線は常に半径ベクトルに対して直角を向いています。

特殊相対性理論は、真空中で光速に近い速度で他の物体に対して相対的に移動する物体の挙動を記述する。ニュートン力学は、低速域では非常に高い精度で有効であるものの、現実の近似に過ぎないことが明らかになる。関連する速度が光速に近づくにつれて、加速度はもはや古典的な方程式に従わなくなる。

速度が光速に近づくにつれて、一定の力によって生じる加速度は減少し、光速に近づくにつれて極めて小さくなる。質量を持つ物体は漸近的にこの速度に近づくことはできるが、決して到達することはない。

物体の運動状態がわからなければ、観測された力が重力によるものか加速度によるものか区別することは不可能である。重力と慣性加速度は同一の効果を持つからである。アルバート・アインシュタインはこれを等価原理と呼び、重力を含むいかなる力も感じない観測者だけが、自分が加速していないと結論づける正当性があると述べた。^{[ 15 ]}