バーンスタインの問題

微分幾何学において、ベルンシュタインの問題は次のようになります。R ^{n −1}上の関数のグラフが R n の極小面である場合、関数が線型であることを意味しますか? これは、n が^最大8 の場合は真ですが、 nが少なくとも 9 の場合は偽です。この問題は、 1914 年に n = 3 の場合を解決した セルゲイ・ナタノビッチ・ベルンシュタインにちなんで名付けられました。

f がn − 1 個の実変数の関数であるとする 。f のグラフはR n^の曲面であり、これが極小曲面であるための条件は、f が極小曲面方程式を満たすこと である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}}=0}$

バーンスタインの問題は、この方程式を解く関数全体（ R ^{n −1}全体で定義された関数）が必ず1次多項式であるかどうかを問うものです。

バーンスタイン (1915–1917) は、 R ²上の実関数のグラフがR ³上の極小曲面でもある場合、そのグラフは必ず平面になるというバーンスタインの定理を証明した。

フレミング（1962）は、 R ³には非平面の面積最小円錐が存在しないという事実から演繹して、ベルンシュタインの定理の新しい証明を与えた。

De Giorgi (1965) は、 R ^{n −1}に非平面の面積最小化錐が存在しない場合には、 Bernstein の定理の類似がR ^{n の}グラフに対して成り立ち、特にR ⁴においてもそれが成り立つことを示した。

アルムグレン（1966）は、 R ⁴には非平面最小化錐が存在しないことを示して、ベルンシュタインの定理をR ⁵に拡張した。

シモンズ（1968）は、 R ⁷には非平面の最小化錐が存在しないことを示して、バーンスタインの定理をR ⁸に拡張した。彼はまた、

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{8}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\}}$

はR ⁸内の局所的に安定な円錐であり、それが大域的に面積を最小化するかどうかを尋ねられます。

Bombieri、De Giorgi、Giusti (1969) は、シモンズの円錐が実際に大域的に最小化していること、およびn ≥9のR ⁿでは極小のグラフが存在するが超平面ではないことを示した。シモンズの結果と組み合わせると、バーンスタインの定理の類似はn ≤8のR ⁿでは真であり、高次元では偽であることが示される。

• アルムグレン、FJ (1966)、「極小曲面の内部正則性定理とベルンシュタインの定理の拡張」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、84 (2): 277–292、doi :10.2307/1970520、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970520、MR  0200816
• バーンスタイン、SN (1915–1917)、「幾何学的配置と楕円形の部分のアプリケーションを決定する」、Comm.社会数学。ハリコフ、15 : 38–45バーンスタインによるドイツ語翻訳、Serge (1927)、「Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die Partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus」、Mathematische Zeitschrift (ドイツ語)、26、Springer Berlin / Heidelberg: 551–558、doi :10.1007/BF01475472、ISSN  0025-5874
• ボンビエリ, エンリコ;エンニオ・デ・ジョルジ; Giusti, E. (1969)、「最小錐体とバーンスタイン問題」、Inventiones Mathematicae、7 (3): 243–268、Bibcode :1969InMat...7..243B、doi :10.1007/BF01404309、ISSN  0020-9910 、氏 0250205、S2CID  59816096
• デ・ジョルジ、エンニオ(1965)、「バーンスタインの美しさ」、アン。スクオーラノルム。すする。ピサ (3)、19 : 79–85、MR  0178385
• フレミング、ウェンデル H. (1962)、「指向性プラトー問題について」、パレルモのレンディコンティ デル チルコロ マテマティコ。シリーズ II、11 : 69–90、土井:10.1007/BF02849427、ISSN  0009-725X、MR  0157263
• Sabitov, I. Kh. (2001) [1994]、「バーンスタインの定理」、数学百科事典、EMS Press
• シモンズ、ジェームズ(1968)、「リーマン多様体の極小多様体」、数学年報、第 2 シリーズ、88 (1): 62–105、doi :10.2307/1970556、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970556、MR  0233295
• Straume, E. (2001) [1994]、「微分幾何学におけるバーンスタイン問題」、数学百科事典、EMS プレス

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