ラウフの比較定理

リーマン幾何学において、 1951 年に証明したハリー ラウフにちなんで名付けられたラウフ比較定理は、リーマン多様体の断面曲率と測地線の広がりの速度を関連付ける基本的な結果です。直感的には、正の曲率の場合、測地線は収束する傾向があり、負の曲率の場合、測地線は広がる傾向があることを示しています。

この定理の記述には 2 つのリーマン多様体が含まれており、曲率を比較できる場合、2 つの多様体で測地線が広がる微小な速度を比較できます。ほとんどの場合、2 つの多様体のうちの 1 つは「比較モデル」、一般には一定の曲率を持つ多様体であり、もう 1 つは研究対象の多様体です。したがって、ラウフ比較定理を適用するには、その断面曲率の境界 (下限または上限)が必要です。

をリーマン多様体とし、その上に単位速度の測地線分とを描きます。 には に沿って共役点がなく、 とに沿って2 つの正規ヤコビ体があり、となるものとします。 ${\displaystyle M,{\widetilde {M}}}$${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$${\displaystyle {\widetilde {\gamma}}:[0,T]\to {\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$${\displaystyle J,{\ワイドティルダ {J}}}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$

• ${\displaystyle J(0)=0}$そして${\displaystyle {\widetilde {J}}(0)=0}$
• ${\displaystyle |D_{t}J(0)|=\left|{\widetilde {D}}_{t}{\widetilde {J}}(0)\right|}$。

を含むすべての 2-平面の断面曲率がを含むすべての 2-平面の断面曲率以下である場合、すべての に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle {\widetilde {\Pi}}\subset T_{{\tilde {\gamma}}(t)}{\widetilde {M}}}$${\displaystyle {\dot {\widetilde {\gamma }}}(t)}$${\displaystyle |J(t)|\geq |{\widetilde {J}}(t)|}$${\displaystyle t\in [0,T]}$

この定理は、測地線の変化を測定するためにヤコビ場を使用して定式化されます。ヤコビ場の接線部分は多様体の幾何学とは独立しているため、この定理は正規ヤコビ場、つまり、すべての時間 に対して測地線の速度ベクトルに直交するヤコビ場に焦点を当てています。再パラメータ化まで、測地線のすべての変化は正規ヤコビ場を誘導します。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$${\displaystyle t}$

ヤコビ場は時間 で消滅することが要求されます。これは、定理が同じ点 から発せられる測地線の族の微小発散 (または収束) を測定し、そのような族は で消滅するヤコビ場を誘導するためです。 ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \gamma (0)}$${\displaystyle t=0}$

非常によく似た条件下で、距離関数のヘッセ行列を与えられた点と比較することも可能です。 ^{[1]また、この関数の}ラプラシアン（ヘッセ行列のトレース）を、2つの多様体のうちの1つに何らかの追加条件を加えて比較することも可能です。その場合、リッチ曲率（曲率テンソルのトレース）に不等式があれば十分です。^[1]

• トポノゴフの定理

• カルモ、MP 『リーマン幾何学』、ビルクハウザー、1992年。
• Lee, JM, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature、Springer、1997年。