独立電子近似

凝縮系物理学において、独立電子近似は、多数の電子からなる複雑なシステムで使用される簡略化であり、結晶内の電子間相互作用をゼロとして近似します。これは、自由電子モデルとほぼ自由電子モデルの両方の要件であり、ブロッホの定理と併せて使用されます。^[1]量子力学では、この近似は量子多体問題を単一粒子近似に簡略化するためによく使用されます。^[1]

この単純化は多くのシステムに当てはまりますが、電子間相互作用は物質の特定の特性にとって非常に重要な場合があります。たとえば、超伝導の大部分をカバーする理論はBCS 理論であり、この理論では「クーパー対」と呼ばれる電子対の相互引力が超伝導の背後にあるメカニズムです。電子間相互作用の主な効果の 1 つは、電子がイオンの周囲に分布し、格子内のイオンを他の電子から遮蔽することです。 ^{[引用が必要]}

量子力学における独立電子近似の有用性の例として、原子ごとに1つの自由電子（それぞれ原子番号Z ）を持つN原子結晶を考える。スピンを無視すると、システムのハミルトニアンは次の形になる： ^[1]

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {-\hbar ^{2}\nabla _{i}^{2}}{2m_{e}}}-\sum _{I=0}^{N}{\frac {e^{2}Z}{\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} _{I}\right|}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}^{N}{\frac {e^{2}}{\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|}}\right),}$

ここで、は換算プランク定数、eは素電荷、m _eは電子の静止質量、 は電子iの勾配演算子です。大文字はi番目の格子位置（ i番目の原子核の平衡位置）であり、小文字はi番目の電子の位置です。 ${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle \nabla_{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{I}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

括弧内の最初の項は運動エネルギー演算子と呼ばれ、最後の 2 つはそれぞれ電子-原子核相互作用と電子-電子相互作用のクーロン相互作用項です。電子-電子項が無視できるほど小さい場合、ハミルトニアンはN 個の分離ハミルトニアンのセット (各電子に 1 つ) に分解することができ、分析が大幅に簡素化されます。ただし、電子-電子相互作用項は、各電子のハミルトニアンにシステム内の他のすべての電子の位置の項が含まれるようにすることで、この分解を防止します。^[1]ただし、電子-電子相互作用項が十分に小さい場合、クーロン相互作用項は、電子-電子相互作用を無視する有効ポテンシャル項で近似できます。^[1]これは独立電子近似として知られています。^[1]ブロッホの定理は、有効ポテンシャル項をを満たす形式の周期ポテンシャルに設定することでこの近似に依存しています。ここで は任意の逆格子ベクトルです（ブロッホの定理を参照）。 [ ^{1]この近似は}、ハートリー・フォック近似または密度汎関数理論の手法を使用して形式化できます。^[1]${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$${\displaystyle V(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{j})=V(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} _{j}}$

• 強く相関する物質

• Omar, M. Ali (1994). 初等固体物理学、第4版。Addison Wesley。ISBN 978-0-201-60733-8。