ワニエ関数

ワニエ関数は固体物理学で使用される直交関数の完全なセットです。 1937年にグレゴリー・ワニエによって導入されました。^{[1] [2]}ワニエ関数は結晶系の 局在分子軌道です。

結晶内の異なる格子位置のワニエ関数は直交しており、特定の領域における電子状態の展開に便利な基礎となります。ワニエ関数は、たとえば電子に作用する結合力の分析など、幅広く使用されています。

局在分子軌道と同様に、ワニエ関数はさまざまな方法で選択できますが、^[3]固体物理学における元の^{[1]最も単純で最も一般的な定義は次のとおりです。完全な結晶の単一の}バンドを選択し、そのブロッホ状態を次のように 表します。

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$

ここでu _k ( r )は結晶と同じ周期性を持つ。するとワニエ関数は次のように定義される。

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i \mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )}$、

どこ

• Rは任意の格子ベクトルです（つまり、各ブラベー格子ベクトルに対して1つのワニエ関数があります）。
• N は結晶内の原始セルの数です。
• kの合計には、結晶の周期境界条件と一致するブリルアンゾーン（または逆格子のその他の基本セル）内のすべてのkの値が含まれます。これには、ブリルアンゾーン全体に均一に広がるN 個の異なるkの値が含まれます。Nは通常非常に大きいため、合計は置換規則に従って積分として表すことができます。

${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} }\longrightarrow {\frac {N}{\Omega }}\int _{\text{BZ}}d^{3}\mathbf {k} }$

ここで、「BZ」は体積がΩのブリルアンゾーンを表します。

この定義に基づいて、以下の性質が成り立つことが証明できる。^[4]

• 任意の格子ベクトルR'に対して、

${\displaystyle \phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )=\phi _{\mathbf {R} +\mathbf {R} '}(\mathbf {r} +\mathbf {R} ')}$

言い換えれば、ワニエ関数は量（r − R）のみに依存します。その結果、これらの関数は代替表記法で書かれることが多いです。

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} -\mathbf {R} ):=\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$

• ブロッホ関数は、ワニエ関数を使って次のように表すことができます。

${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{\mathbf {R} }e^{i\ mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )}$、

ここで、合計は結晶内の 各格子ベクトルRにわたっています。

• 波動関数の集合は、問題のバンドの正規直交基底です。${\displaystyle \phi _{\mathbf {R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\text{crystal}}\phi _{\mathbf {R} }(\mathbf {r} )^{*}\phi _{\mathbf {R'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} &={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }\int _{\text{crystal}}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )^{*}e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\psi _{\mathbf {k'} }(\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} \\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k,k'} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }e^{-i\mathbf {k'} \cdot \mathbf {R'} }\delta _{\mathbf {k,k'} }\\&={\frac {1}{N}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {(R-R')} }\\&=\delta _{\mathbf {R,R'} }\end{aligned}}}$

ワニエ関数はほぼ周期的なポテンシャルにも拡張されている。^[5]

ブロッホ状態ψ _k ( r ) は、特定のハミルトニアンの固有関数として定義されるため、全体の位相までしか定義されません。位相変換e ^{iθ ( k ) を}関数ψ _k ( r ) に適用すると、任意の (実数) 関数θ ( k ) に対して、同様に有効な選択が得られます。この変更はブロッホ状態の特性には影響しませんが、対応するワニエ関数はこの変換によって大幅に変更されます。

したがって、ブロッホ状態の位相を選択する自由を利用して、最も便利なワニエ関数のセットを作成します。実際には、これは通常、最大限に局在化したセットであり、ワニエ関数ϕ _{R は}点R の周りに局在し、 Rから離れると急速にゼロになります。 1 次元の場合、これらの特性を与える唯一の選択が常に存在することが Kohn ^[6]によって証明されています(特定の対称性に従います)。これは、結果として、高次元の任意の分離可能なポテンシャルに適用されます。一般的な条件は確立されておらず、進行中の研究の対象です。^[7]

ピペック・メゼイ型の局在化スキームも、ワニエ関数を得るために最近提案された。^{[8]最大限に局在化されたワニエ関数（}フォスター・ボーイズスキームを結晶系に適用したもの）とは異なり、ピペック・メゼイのワニエ関数はσ軌道とπ軌道を混合しない。

絶縁体における指数関数的に局在したワニエ関数の存在は2006年に数学的に証明された。 ^[7]

ワニエ関数は最近、強誘電体などの結晶の分極を記述する用途に見出されています。分極の現代理論は、ラファエレ・レスタとデイビッド・ヴァンダービルトによって開拓されました。例えば、ベルグホールド^[9] とナクマンソン^[10] 、およびヴァンダービルトによるパワーポイントの紹介^[11]を参照してください。固体の単位セルあたりの分極は、ワニエ電荷密度の双極子モーメントとして定義できます。

${\displaystyle \mathbf {p_{c}} =-e\sum _{n}\int \ d^{3}r\,\,\mathbf {r} |W_{n}(\mathbf {r} )|^{2}\ ,}$

ここで、合計は占有バンド全体にわたっており、W _{n は}バンドnのセルに局在するワニエ関数である。連続物理プロセス中の分極の変化は分極の時間微分であり、占有ブロッホ状態のベリー位相で定式化することもできる。 ^{[4] [12]}

ワニエ関数は、 k点の粗いグリッド上で第一原理計算されたバンド構造を任意の k 点に補間するためによく使用されます。これは、密なグリッド上のブリルアンゾーン積分の評価やワイル点の探索、k空間での導関数の取得に特に便利です。このアプローチは、精神的にはタイトバインディング近似に似ていますが、対照的に、特定のエネルギー範囲でのバンドの正確な記述が可能です。ワニエ補間スキームは、スペクトル特性、^[13]異常ホール伝導率、^[14]軌道磁化、^[15] 熱電および電子輸送特性、^[16]ジャイロトロピック効果、 [ ^17]シフト電流、^[18]スピンホール伝導率^{[19] [20]} およびその他の効果について導出されています。

• 軌道磁化

• Karin M Rabe、Jean-Marc Triscone、Charles H Ahn (2007)。強誘電体の物理学：現代の視点。Springer。p. 2。ISBN 978-3-540-34590-9。

• Wannier Gregory H (1937). 「絶縁結晶の電子励起準位の構造」. Physical Review . 52 (3): 191–197. Bibcode :1937PhRv...52..191W. doi :10.1103/PhysRev.52.191.
• 最大限に局所化されたワニエ関数を計算する Wannier90 コンピュータ コード
• 量子輸送アプリケーションに適した最大限に局在化されたワニエ関数を計算するワニエ輸送コード
• WannierTools: 新しいトポロジカル材料のためのオープンソースソフトウェアパッケージ
• WannierBerri - Wannier 補間とタイトバインディング計算のための Python コード

• ブロッホの定理
• ハナイ角
• 幾何学的位相