量子物理学のモデル
量子力学 では 、 1次元格子内の粒子は、周期的な 結晶格子 のモデルで発生する問題です 。ポテンシャルは 結晶の周期構造内の イオンによって 電磁場が生成されることで発生し、電子は格子内で規則的なポテンシャルの影響を受けます。これは、格子内のポテンシャルがゼロであると仮定する 自由電子モデル の一般化です 。
問題の定義 固体材料について話すとき、議論は主に結晶、つまり周期的な格子についてです。ここでは、陽イオンの 1D 格子について説明します。2 つのイオン間の間隔を a と仮定すると、格子内のポテンシャルは次のようになります。
ポテンシャルの数学的表現は周期a の周期関数である。 ブロッホの定理 [1] によれば 、ポテンシャルが周期的である場合の シュレーディンガー方程式 の波動関数解は 次のように表される。
ψ （ x ） =
e
私 け x
あなた （ x ） 、
{\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x),}
ここで u ( x )は u ( x + a ) = u ( x ) を満たす 周期関数 です 。これは、クロニッヒ・ペニーポテンシャルのような周期ポテンシャル、または1928年にストラット [2] によって示されたコサイン関数を持つシュレーディンガー方程式のエネルギースペクトルのバンド構造を生み出すフロケ指数を持つブロッホ因子です。解は マシュー関数 の助けを借りて与えることができます 。
け
{\displaystyle k}
格子の端に近づくと、境界条件に問題が生じます。したがって、イオン格子は、 ボルン・フォン・カルマン境界条件 に従うリングとして表すことができます。L が格子の長さで、L ≫ a の場合 、 格子 内 の イオン の数が非常に多いため、1 つのイオンを考えると、その周囲はほぼ線形になり、電子の波動関数は変化しません。したがって、2 つの境界条件の代わりに、1 つの円形境界条件が得られます。
ψ （ 0 ） = ψ （ ら ） 。
{\displaystyle \psi (0)=\psi (L)。}
N が 格子内のイオンの数である場合 、関係式は aN = L です。境界条件を置き換えてブロッホの定理を適用すると、 k の量子化が得られます。
ψ （ 0 ） =
e
私 け ⋅ 0
あなた （ 0 ） =
e
私 け ら
あなた （ ら ） = ψ （ ら ）
{\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)}
あなた （ 0 ） =
e
私 け ら
あなた （ ら ） =
e
私 け ら
あなた （ いいえ 1つの ） →
e
私 け ら
= 1
{\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1}
⇒ け ら = 2 π ん → け =
2 π
ら
ん
（
ん = 0 、 ± 1 、 … 、 ±
いいえ 2
）
。
{\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).}
クローニグ・ペニーモデル クローニグ・ペニーモデル（ ラルフ・クローニグ と ウィリアム・ペニー [3]にちなんで名付けられた）は、 長方形のポテンシャル障壁 の無限周期配列からなる単純で理想化された量子力学システムです 。
ポテンシャル関数は長方形ポテンシャルで近似されます。
ブロッホの定理 を使用すると、単一の周期の解を見つけ、それが連続かつ滑らかであることを確認し、関数 u ( x ) も連続かつ滑らかであること
を確認するだけで済みます。
ポテンシャルの単一周期を考えると、
ここには2つの領域があります。それぞれについて独立に解いてみましょう。E を 井戸の上のエネルギー値とします（E>0）
のために ：
0 < x < （ 1つの − b ）
{\displaystyle 0<x<(ab)}
−
ℏ
2
2 メートル
ψ
x x
= え ψ
⇒ ψ
= あ
e
私 α x
+
あ ′
e
− 私 α x
（
α
2
=
2 メートル え
ℏ
2
）
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}}
のために ：
− b < x < 0
{\displaystyle -b<x<0}
−
ℏ
2
2 メートル
ψ
x x
= （ え +
五
0
） ψ
⇒ ψ
= B
e
私 β x
+
B ′
e
− 私 β x
（
β
2
=
2 メートル （ え +
五
0
）
ℏ
2
）
。
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}}
各領域のu ( x )を求めるには 、電子の波動関数を操作する必要があります。
ψ
(
0
<
x
<
a
−
b
)
=
A
e
i
α
x
+
A
′
e
−
i
α
x
=
e
i
k
x
(
A
e
i
(
α
−
k
)
x
+
A
′
e
−
i
(
α
+
k
)
x
)
⇒
u
(
0
<
x
<
a
−
b
)
=
A
e
i
(
α
−
k
)
x
+
A
′
e
−
i
(
α
+
k
)
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}}
同様に:
u
(
−
b
<
x
<
0
)
=
B
e
i
(
β
−
k
)
x
+
B
′
e
−
i
(
β
+
k
)
x
.
{\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}
解決を完了するには、確率関数が連続かつ滑らかであることを確認する必要があります。つまり、
ψ
(
0
−
)
=
ψ
(
0
+
)
ψ
′
(
0
−
)
=
ψ
′
(
0
+
)
.
{\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).}
そして u ( x ) と u′ ( x ) は周期的である：
u
(
−
b
)
=
u
(
a
−
b
)
u
′
(
−
b
)
=
u
′
(
a
−
b
)
.
{\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).}
これらの条件により、次のマトリックスが生成されます。
(
1
1
−
1
−
1
α
−
α
−
β
β
e
i
(
α
−
k
)
(
a
−
b
)
e
−
i
(
α
+
k
)
(
a
−
b
)
−
e
−
i
(
β
−
k
)
b
−
e
i
(
β
+
k
)
b
(
α
−
k
)
e
i
(
α
−
k
)
(
a
−
b
)
−
(
α
+
k
)
e
−
i
(
α
+
k
)
(
a
−
b
)
−
(
β
−
k
)
e
−
i
(
β
−
k
)
b
(
β
+
k
)
e
i
(
β
+
k
)
b
)
(
A
A
′
B
B
′
)
=
(
0
0
0
0
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}
非自明な解を得るには、行列の行列式が 0 でなければなりません。これにより、次の式が導かれます。
cos
(
k
a
)
=
cos
(
β
b
)
cos
[
α
(
a
−
b
)
]
−
α
2
+
β
2
2
α
β
sin
(
β
b
)
sin
[
α
(
a
−
b
)
]
.
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].}
式をさらに簡略化するために、次の近似を実行します。
b
→
0
;
V
0
→
∞
;
V
0
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant} }
⇒
β
2
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
;
α
2
b
→
0
{\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0}
⇒
β
b
→
0
;
sin
(
β
b
)
→
β
b
;
cos
(
β
b
)
→
1.
{\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.}
式は次のようになります。
cos
(
k
a
)
=
cos
(
α
a
)
+
P
sin
(
α
a
)
α
a
,
P
=
m
V
0
b
a
ℏ
2
.
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.}
井戸内部のエネルギー値（ E < 0）については、
次の
式が得られます 。
cos
(
k
a
)
=
cos
(
β
b
)
cosh
[
α
(
a
−
b
)
]
−
β
2
−
α
2
2
α
β
sin
(
β
b
)
sinh
[
α
(
a
−
b
)
]
,
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],}
α
2
=
2
m
|
E
|
ℏ
2
{\displaystyle \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}}
β
2
=
2
m
(
V
0
−
|
E
|
)
ℏ
2
{\displaystyle \beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}
上記( )と同じ近似に従うと、 前の場合と
同じ P の式が得られます
。
b
→
0
;
V
0
→
∞
;
V
0
b
=
c
o
n
s
t
a
n
t
{\displaystyle b\to 0;\,V_{0}\to \infty ;\,V_{0}b=\mathrm {constant} }
cos
(
k
a
)
=
cosh
(
α
a
)
+
P
sinh
(
α
a
)
α
a
{\displaystyle \cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}}
(
P
=
m
V
0
b
a
ℏ
2
)
{\displaystyle \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}
クローニグ・ペニーモデルにおけるバンドギャップ P = 1.5 のときの分散関係で cos(ka) が等しくなる式の値。黒いバーは k を計算できる領域を示します。
α
a
{\displaystyle \alpha a}
P = 1.5 の Kronig-Penney モデルの分散関係。 前の段落では、物理システムのパラメータによって決定されない変数は、エネルギー E と結晶運動量 kのみです。 E の値を選ぶことで 右辺を計算し、両辺の を 取って k を 計算できます。したがって、この式から 分散関係 が得られます。
arccos
{\displaystyle \arccos }
上記の最後の式の右辺は、1 より大きくなったり –1 より小さくなったりすることがあります。その場合、 方程式が成り立つ k の値は存在しません。 であるため、シュレーディンガー方程式の固有関数が存在しない特定の E の値が存在することを意味します。これらの値は バンドギャップ を構成します。
α
a
∝
E
{\displaystyle \alpha a\propto {\sqrt {E}}}
したがって、クローニッヒ・ペニーモデルは、バンドギャップを示す最も単純な周期ポテンシャルの 1 つです。
クローニグ・ペニーモデル: 代替ソリューション 同様の問題に対する 別の処理法 [4]が示されています。ここでは デルタ 周期ポテンシャルがあります。
V
(
x
)
=
A
⋅
∑
n
=
−
∞
∞
δ
(
x
−
n
a
)
.
{\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).}
A は定数であり、 aは 格子定数（各サイト間の間隔）である。このポテンシャルは周期的であるため、フーリエ級数として展開することができる。
ここで
V
(
x
)
=
∑
K
V
~
(
K
)
⋅
e
i
K
x
,
{\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},}
V
~
(
K
)
=
1
a
∫
−
a
/
2
a
/
2
d
x
V
(
x
)
e
−
i
K
x
=
1
a
∫
−
a
/
2
a
/
2
d
x
∑
n
=
−
∞
∞
A
⋅
δ
(
x
−
n
a
)
e
−
i
K
x
=
A
a
.
{\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.}
波動関数は、ブロッホの定理を使用すると、 に等しくなります。 ここで は 格子内で周期的な関数であり、これはフーリエ級数としても展開できることを意味します。
ψ
k
(
x
)
=
e
i
k
x
u
k
(
x
)
{\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}
u
k
(
x
)
{\displaystyle u_{k}(x)}
u
k
(
x
)
=
∑
K
u
~
k
(
K
)
e
i
K
x
.
{\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}
したがって波動関数は次のようになります。
ψ
k
(
x
)
=
∑
K
u
~
k
(
K
)
e
i
(
k
+
K
)
x
.
{\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}
これをシュレーディンガー方程式に当てはめると、
次のようになります。
[
ℏ
2
(
k
+
K
)
2
2
m
−
E
k
]
u
~
k
(
K
)
+
∑
K
′
V
~
(
K
−
K
′
)
u
~
k
(
K
′
)
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}
[
ℏ
2
(
k
+
K
)
2
2
m
−
E
k
]
u
~
k
(
K
)
+
A
a
∑
K
′
u
~
k
(
K
′
)
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}
今、私たちは次のことを認識しています。
u
k
(
0
)
=
∑
K
′
u
~
k
(
K
′
)
{\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}
これをシュレーディンガー方程式に代入します。
[
ℏ
2
(
k
+
K
)
2
2
m
−
E
k
]
u
~
k
(
K
)
+
A
a
u
k
(
0
)
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}
これを解くと 次のようになります:
u
~
k
(
K
)
{\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}
u
~
k
(
K
)
=
2
m
ℏ
2
A
a
f
(
k
)
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
=
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
u
k
(
0
)
{\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}
この最後の式をK のすべての値にわたって合計すると 、次のようになります。
∑
K
u
~
k
(
K
)
=
∑
K
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
u
k
(
0
)
{\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}
または：
u
k
(
0
)
=
∑
K
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
u
k
(
0
)
{\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}
都合よく、 キャンセルされて次のようになります。
u
k
(
0
)
{\displaystyle u_{k}(0)}
1
=
∑
K
2
m
ℏ
2
A
a
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
{\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}
または：
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
K
1
2
m
E
k
ℏ
2
−
(
k
+
K
)
2
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}
不必要な表記の手間を省くために、新しい変数を定義します。
最終的な式は次のようになります。
α
2
:=
2
m
E
k
ℏ
2
{\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
K
1
α
2
−
(
k
+
K
)
2
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}
ここで、 K は 逆格子ベクトルです。つまり、 K 上の和は実際には の整数倍の和になります 。
2
π
a
{\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
n
=
−
∞
∞
1
α
2
−
(
k
+
2
π
n
a
)
2
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}
この表現を少し変更して、より示唆に富んだものにすることができます ( 部分分数分解 を使用)。
ℏ
2
2
m
a
A
=
∑
n
=
−
∞
∞
1
α
2
−
(
k
+
2
π
n
a
)
2
=
−
1
2
α
∑
n
=
−
∞
∞
[
1
(
k
+
2
π
n
a
)
−
α
−
1
(
k
+
2
π
n
a
)
+
α
]
=
−
a
4
α
∑
n
=
−
∞
∞
[
1
π
n
+
k
a
2
−
α
a
2
−
1
π
n
+
k
a
2
+
α
a
2
]
=
−
a
4
α
[
∑
n
=
−
∞
∞
1
π
n
+
k
a
2
−
α
a
2
−
∑
n
=
−
∞
∞
1
π
n
+
k
a
2
+
α
a
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}
次式で表されるコタンジェント関数の和の恒等式（式18）を使用し
、これを式に代入すると次のようになります。
cot
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
1
2
π
n
+
2
x
−
1
2
π
n
−
2
x
{\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}}
ℏ
2
2
m
a
A
=
−
a
4
α
[
cot
(
k
a
2
−
α
a
2
)
−
cot
(
k
a
2
+
α
a
2
)
]
{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}
cot の合計と sinの積 ( cot の合計の式の一部) を使用する と、次 のようになります。
cos
(
k
a
)
=
cos
(
α
a
)
+
m
A
ℏ
2
α
sin
(
α
a
)
{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}
この方程式は、エネルギー（ α 経由）と波数ベクトル k の関係を示しています 。方程式の左辺は -1から 1 までしか取れないため、 α （つまりエネルギー）が取れる値には制限があります 。つまり、エネルギーの値のある範囲では、この方程式による解は存在せず、したがって、システムにはそれらのエネルギー、つまりエネルギーギャップがありません。これらはいわゆるバンドギャップであり、周期的ポテンシャルの あらゆる 形状（デルタまたは正方形の障壁だけでなく）に存在することが示されています。
ギャップ公式（バンド間のギャップ）の異なる詳細な計算と1次元シュレーディンガー方程式の固有値の準位分割については、ミュラー・キルステンを参照してください。 [5] コサインポテンシャル（マシュー方程式）の対応する結果もこの参考文献で詳細に示されています。
有限格子 場合によっては、シュレーディンガー方程式は、周期微分方程式の理論を用いて 有限長の1次元格子上で解析的に解くことができます [6] [7] 。 [8] 格子の長さは と仮定され 、ここで は 潜在的な周期であり、周期数は 正の整数です。格子の2つの端は と であり 、 ここで は 終了点を決定します。波動関数は区間 の外側で消えます 。
L
=
N
a
{\displaystyle L=Na}
a
{\displaystyle a}
N
{\displaystyle N}
τ
{\displaystyle \tau }
L
+
τ
{\displaystyle L+\tau }
τ
{\displaystyle \tau }
[
τ
,
L
+
τ
]
{\displaystyle [\tau ,L+\tau ]}
有限系の固有状態は、同じ周期ポテンシャルを持つ無限系のブロッホ状態として見出すことができる。無限系の連続する2つのエネルギーバンド間にバンドギャップがある場合、有限格子内の2種類の状態は明確に区別される。無限系の各エネルギーバンドには、 長さには依存する が終端には依存しないエネルギーを持つバルク状態が存在する 。これらの状態は、 運動量 および を持つ2つのブロッホ状態の重ね合わせとして構成される 定在波 であり、境界で波動関数が消失するように が 選択される。これらの状態のエネルギーは、無限系のエネルギーバンドと一致する。 [6]
N
−
1
{\displaystyle N-1}
N
{\displaystyle N}
τ
{\displaystyle \tau }
k
{\displaystyle k}
−
k
{\displaystyle -k}
k
{\displaystyle k}
各バンドギャップには、1つの追加状態があります。これらの状態のエネルギーは、終端点に依存します が、長さには依存しません 。 [6] このような状態のエネルギーは、バンドエッジまたはバンドギャップ内のいずれかにあります。エネルギーがバンドギャップ内にある場合、状態は格子の一端に局在する 表面状態 ですが、エネルギーがバンドエッジにある場合、状態は格子全体に非局在化されます。
τ
{\displaystyle \tau }
N
{\displaystyle N}
参照
参考文献
^ ブロッホ、フェリックス (1929)。 「クリスタルギテルンの電気機械の超能力」。 Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。 52 （7-8）。シュプリンガー サイエンス アンド ビジネス メディア LLC: 555–600。 Bibcode :1929ZPhy...52..555B。 土井 ：10.1007/bf01339455。 ISSN 1434-6001。 S2CID 120668259。 ^ ストラット、MJO (1928)。 「Zur Wellenmechanik des Atommgitters」。 アン。 d.物理学 。 86 : 319. 土井 :10.1002/andp.19283911006. ^ de L. Kronig, R.; Penney, WG (1931 年 2 月 3 日). 「結晶格子内の電子の量子力学」. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences . 130 (814). The Royal Society: 499–513. Bibcode :1931RSPSA.130..499D. doi : 10.1098/rspa.1931.0019 . ISSN 1364-5021. ^ Surjit Singh (1983). 「逆格子空間におけるKronig–Penneyモデル」. American Journal of Physics . 51 (2): 179. Bibcode :1983AmJPh..51..179S. doi :10.1119/1.13321. ^ Harald JW Müller-Kirsten、「量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分」、第2版、World Scientific（シンガポール、2012年）、325–329、458–477。 ^ abc Ren, Shang Yuan (2002). 「有限長の1次元結晶における2種類の電子状態」 Annals of Physics . 301 (1): 22–30. arXiv : cond-mat/0204211 . Bibcode :2002AnPhy.301...22R. doi :10.1006/aphy.2002.6298. S2CID 14490431.
^ Ren, Shang Yuan (2017). 有限サイズの結晶における電子状態：ブロッホ波の量子閉じ込め （第2版）。シンガポール、Springer。
^ イーストハム、MSP (1973)。 周期微分方程式のスペクトル理論 。エディンバラ、スコットランド学術出版。
外部リンク 
![{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (ab)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (ab)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a8b0edda1c93ea56f8115118f44cce119f6d46)
![{\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (ab)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (ab)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8681005213939d2b1c51fbe32f46f5694915d18)
![{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(KK')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4f33b6febe283e9b65645db5de95635fe6b3a1)
![{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078d42c383c7869a198076af85e2367223058fcc)
![{\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c9feaabaf61a84c71b3395049f24e790e02472)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pin+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ba6686b2b4340398c82c27c2b16cd7906a8b10)
![{\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f10a349eb587ba574a1a75c0d3b22d3bd803ab2)
![{\displaystyle [\tau ,L+\tau ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6425ac1216378b35e39c7c64640ca736ad930d63)
