エニオンの融合

エニオン融合とは、複数のエニオンが1つの大きな複合エニオンとして振る舞うプロセスです。エニオン融合は、非可換エニオンの物理と量子情報での使用方法を理解するために不可欠です。^[1]

それぞれが個別の統計を持つ同一のアーベル・エニオン（つまり、2 つの個別のエニオンが反時計回りの断熱交換を受けると、システムは位相を拾う）がすべて融合する場合、それらは一緒に統計を持ちます。これは、2 つの複合エニオンが互いの周りを反時計回りに回転すると、それぞれ位相を寄与する個別のエニオンのペア（最初の複合エニオンに 1 つ、2 番目の複合エニオンに 1 つ）が存在することに注目することでわかります。同様の分析は、同一でないアーベル・エニオンの融合にも適用されます。複合エニオンの統計は、そのコンポーネントの統計によって一意に決定されます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle e^{i\alpha}}$${\displaystyle N^{2}\alpha }$${\displaystyle N^{2}}$${\displaystyle e^{i\alpha}}$

非可換アニオンは、より複雑な融合関係を持っています。原則として、非可換アニオンを含むシステムでは、統計ラベルがそのコンポーネントの統計ラベルによって一意に決定されず、量子重ね合わせとして存在する複合粒子があります (これは、それぞれスピン 1/2 と 3/2 を持つことがわかっている 2 つのフェルミオンが、合計スピン 1 と 2 の量子重ね合わせで一緒になっているのと完全に類似しています)。複数のアニオンすべての融合の全体的な統計がわかっている場合でも、それらのアニオンの一部のサブセットの融合には依然として曖昧さがあり、それぞれの可能性は固有の量子状態です。これらの複数の状態は、量子計算を実行できる ヒルベルト空間を提供します。

具体的には、および というラベルの付いた 2 つの非可換エニオンは、によって与えられる融合規則を持ちます。ここで、 上の形式的な和は、システム内の可能なエニオン タイプのすべてのラベル (および粒子がないことを示す自明なラベル) にわたります。また、それぞれは、およびが融合してとなる異なる量子状態がいくつあるかを示す非負の整数です(これは可換の場合にも当てはまりますが、その場合、各 および に対して、 となり、他のすべての に対して となる1つのタイプのエニオンが存在します)。各エニオン タイプには、 となる可能性のあるエニオン タイプのリストの中に共役反粒子も含まれる必要があります。つまり、反粒子と消滅することができます。エニオン タイプ ラベルは、エニオンに関するすべての情報を指定するわけではありませんが、それが示す情報は、局所摂動の下で位相的に不変です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a\times b=\sum _{c}N_{ab}^{c}c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c=1}$${\displaystyle N_{ab}^{c}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle N_{ab}^{c}=1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle N_{ab}^{c}=0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\bar {a}}}$${\displaystyle N_{a{\bar {a}}}^{1}\neq 0}$

たとえば、最も単純なものの 1 つであるフィボナッチ エニオン システムは、ラベルと(はフィボナッチ エニオンを表す) で構成され、これらは融合規則( に対応) と自明な規則 および(に対応) を満たします。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle \tau \times \tau =1+\tau }$${\displaystyle N_{\tau \tau }^{\tau }=N_{\tau \tau }^{1}=1}$${\displaystyle \tau \times 1=\tau }$${\displaystyle 1\times 1=1}$${\displaystyle N_{\tau 1}^{\tau }=N_{11}^{1}=1}$

イジングエニオンシステムは、融合規則、、および自明な規則を満たすラベル、で構成されます 。${\displaystyle 1}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma \times \sigma =1+\psi }$${\displaystyle \sigma \times \psi =\sigma }$

この演算は、融合エニオンで物理的に意味を成すためには必ずそうであるように、可換かつ結合的です。さらに、係数を、行と列のインデックスが と である行列の行列要素として見ることができます。この 行列の最大固有値は、エニオン型 の量子次元として知られています。 ${\displaystyle \times }$${\displaystyle N_{ab}^{c}}$${\displaystyle (N_{a})_{b}^{c}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d_{a}}$${\displaystyle a}$

融合規則は、コレクションを最終的なエニオン型に融合できる方法がいくつあるかを考慮するように一般化することもできます。 ${\displaystyle N_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}$${\displaystyle c}$

とが に融合する融合過程は、とがに融合するすべての異なる正規直交量子状態からなる 次元複素ベクトル空間に対応します。これはヒルベルト空間を形成します。 のとき、イジングやフィボナッチの例のように、はせいぜい 1 つの状態を持つ 1 次元空間にすぎません。直和は、個々のエニオンのヒルベルト空間と個々のエニオンのヒルベルト空間のテンソル積の分解です。位相量子場理論では、 は、ウエストが で脚が とラベル 付けされたズボンのペアと に関連付けられたベクトル空間です。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle N_{ab}^{c}}$${\displaystyle V_{ab}^{c}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle N_{ab}^{c}\leq 1}$${\displaystyle V_{ab}^{c}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{c}V_{ab}^{c}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{a}\otimes {\mathcal {H}}_{b}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle V_{ab}^{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

3 つ以上の粒子の融合、つまり が 最終的にエニオン型 に融合することが分かっている量子システムに対応する、より複雑なヒルベルト空間を構築することができます。このヒルベルト空間は、たとえば、準粒子から始めて、何らかの局所的な物理的手順を介してその準粒子を準粒子に分割することによって形成される量子システムを記述します(このようなシステムでは、すべてのエニオンは必然的に位相不変性によって に戻って融合する必要があるため)。任意の に対して、 との間には同型性が存在します。前のセクションで述べたように、ラベルの順列も同型です。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{1}}$${\displaystyle V_{a_{j+1},a_{j+2},\ldots a_{m}}^{{\bar {a}}_{1},{\bar {a}}_{2},\ldots {\bar {a}}_{j}}}$${\displaystyle j}$

一度に 1 組のエニオンの融合過程を考えることで、の構造を理解できます。これを行うには多くの任意の方法があり、それぞれを使用して を2 組のパンツに異なる分解を導き出すことができます。1 つの選択肢は、最初にとを に融合し、次にとを に融合し、というようにすることです。このアプローチにより、 であり、それに応じて が前のセクションで定義した行列 であることがわかります。${\displaystyle V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}}$${\displaystyle V_{a_{1},\ldots a_{m}}^{c}}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle a_{3}}$${\displaystyle b_{2}}$${\displaystyle V_{a_{1},a_{2},\ldots a_{m}}^{c}=\bigoplus _{\lbrace b_{j}\rbrace }\left(V_{a_{1},a_{2}}^{b_{1}}\otimes V_{b_{1},a_{3}}^{b_{2}}\otimes V_{b_{2},a_{4}}^{b_{3}}\ldots V_{b_{m-3},a_{m-1}}^{b_{m-2}}\otimes V_{b_{m-2},a_{m}}^{c}\right)}$${\displaystyle N_{a_{1},\ldots a_{m}}^{c}=\left(\prod _{j=2}^{m}N_{a_{j}}\right)_{a_{1}}^{c}}$${\displaystyle N_{a}}$

この分解は明らかにヒルベルト空間の基底の選択を示しています。エニオンを融合する順序の任意の選択が異なれば、基底の選択も異なります。