巨視的な量子現象

超伝導体の場合、関与するボソンは、 2つの電子によって形成される準粒子であるいわゆるクーパー対である。 ^{[ 10 ]}したがって、m = 2 m _eおよびq = −2 eとなり、ここでm _eとeはそれぞれ電子の質量と素電荷である。式( 8 ) から、 

式 （15）を閉ループで積分すると、

ヘリウムの場合と同様に、渦の強さを定義します。

そして一般的な関係式を使用する

ここで、Φはループによって囲まれた磁束である。いわゆるフラックスイドは次のように定義される。

一般に、 κとΦの値はループの選択に依存する。波動関数の単価性と式 （16）により、フラクソイドは量子化される。

量子化の単位はフラックス量子と呼ばれる。

磁束量子は超伝導において非常に重要な役割を果たします。地球の磁場は非常に小さい（約50μT）ですが、6μm ×6μm の領域に1つの磁束量子を生成します。したがって、磁束量子は非常に小さいです。しかし、式（21 ）に示すように、9桁の精度で測定されました。現在では、式（21 ）で与えられる値は定義により正確です。    

図 3には、外部磁場中の超伝導リングの2つの状況が示されています。1つは厚壁リングの場合で、もう1つはリングが厚壁であるものの、弱いリンクで途切れている場合です。後者の場合、有名なジョセフソン関係式が現れます。どちらの場合も、材料内部のループを考慮します。一般に、材料内部には超伝導循環電流が流れます。ループ内の全磁束は、印加された磁束_Φaと、循環電流によって誘起される自己誘導磁束Φs_の合計です。

最初のケースは、外部磁場中の厚いリングです（図 3a）。超伝導体内の電流は、表面の薄い層のみを流れます。この層の厚さは、いわゆるロンドン侵入深さによって決まります。その厚さはμm以下です。表面から十分に離れたループを考えると、v _s  =  0 がどこでも成り立つため、 κ  =  0 となります。この場合、磁束は磁束に等しくなります（Φ _v  =  Φ）。v s = 0 の場合、式（₁₅）は次のように簡略化されます。   

回転を取ると

よく知られている関係式を用いて${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi =0}$そして${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$これは、超伝導体のバルク内の磁場もゼロであることを示しています。したがって、厚いリングの場合、ループ内の全磁束は次のように量子化されます。

弱リンクは現代の超伝導において非常に重要な役割を果たします。ほとんどの場合、弱リンクは2つの超伝導薄膜間の酸化物バリアですが、結晶境界である場合もあります（高温超伝導体の場合）。図4に模式図を示します。 次に、リングが弱リンクを介して閉じられている小さなセクションを除いて、リング全体が厚いリングを考えます（図 3b）。速度は弱リンクの近くを除いてゼロです。これらの領域では、ループ全体の位相変化に対する速度の寄与は、（式 （15）を用いて）次のように与えられます。

線積分は、接触面の一方から他方まで、線の端点が超伝導体のバルク内部（v _s = 0 ）に十分入るように行われます。したがって、線積分の値は明確に定義されます（例えば、端点の選択に依存しません）。式 （19）、（22）、（26）を用いると、

証明なしで、弱いリンクを流れる超伝導電流は、いわゆる直流ジョセフソン関係式^{[ 11 ]によって与えられると述べる。}

接点にかかる電圧は交流ジョセフソン関係式で与えられる。

これらの関係（DC関係とAC関係）の名前は、DCとACの両方の状況で成り立つため、誤解を招く可能性があります。定常状態（一定）では${\displaystyle \Delta \varphi ^{*}}$式 （29）は、接合部にゼロでない電流が流れている間はV =0であることを示している。一定の印加電圧（電圧バイアス）の場合、式 （29）は容易に積分でき、

式 （28）に代入すると、

これは交流電流です。周波数

ジョセフソン周波数と呼ばれる。1 μV は約 500 MHz の周波数を与える 。式 ( 32  ) を使用すると、式( 21 )で示されるように、磁束量子が高精度で決定される。

接触面の一方から他方へ移動するクーパー対のエネルギー差はΔ E = 2eVである。この式を用いると、式 ( 32 ) はΔ E = hνと書くことができ、これは周波数νの光子のエネルギーの関係である。

ACジョセフソン関係式（式 （29））は、ニュートンの法則（またはロンドン方程式^{[ 12 ]}のいずれか）を用いて容易に理解できる。まずニュートンの法則から始めよう。$${\displaystyle {\vec {F}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{s}}{\mathrm {d} t}}.}$$

ローレンツ力の式を代入すると$${\displaystyle {\vec {F}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}_{s}\times {\vec {B}}\right)}$$そして、共動時間微分の一般式を用いる$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{s}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}-{\vec {v}}_{s}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}\right)}$$与える$${\displaystyle {\frac {q}{m}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}_{s}\times {\vec {B}}\right)={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}-{\vec {v}}_{s}\times \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}\right).}$$

式 （8）は$${\displaystyle 0={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}+{\frac {q}{m}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}_{s}+{\frac {q}{m}}{\vec {B}}}$$それで$${\displaystyle {\frac {q}{m}}{\vec {E}}={\frac {\partial {\vec {v}}_{s}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}v_{s}^{2}.}$$

この式の線積分を取ります。端点では速度がゼロなので、∇v2 の項^は寄与しません。$${\displaystyle \int {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}=-V}$$また、式 （26）において、q = −2 e、m = 2 m _eとすると、式 （29）が得られる。

図 5は、いわゆるDC SQUIDを示しています。これは、2つの弱いリンクで接続された2つの超伝導体で構成されています。2つのバルク超伝導体と2つの弱いリンクを通るループの磁束量子化には、

ループの自己インダクタンスを無視できる場合、ループ内の磁束Φは印加された磁束に等しくなります。

Bは表面に垂直に印加される磁場、Aはループの表面積である。全超伝導電流は次式で与えられる。

式( 33 )を式( 35 )に代入すると、

よく知られた幾何学的公式を用いると、

sin関数は-1から+1の間でしか変化しないため、定常解は印加電流が次の臨界電流より小さい場合にのみ可能です。

臨界電流は印加磁束に対して周期Φ₀_で周期的であることに注意してください。臨界電流の印加磁束への依存性は図 6に示されています。これは、二重スリットの後ろにあるレーザービームによって生成される干渉パターンと非常によく似ています。実際には、臨界電流は印加磁束の磁束量子が半整数値の場合にゼロになりません。これは、ループの自己インダクタンスを無視できないためです。^{[ 13 ]}

タイプII超伝導は、 B _c1とB _c2と呼ばれる2つの臨界磁場によって特徴づけられます。磁場B _c1では、印加磁場が試料に浸透し始めますが、試料はまだ超伝導状態です。試料が完全に常伝導状態になるのは、磁場B c2の場合のみです。B _c1と_B c2の間_の磁場では、磁束は図2に示すパターンと同様の、いわゆるアブリコソフ渦格子と呼ばれる整然としたパターンで超伝導体に浸透します。^{[ 14 ]}超伝導板の断面図を図7に示します。板から遠く離れた場所では磁場は均一ですが、材料内部では超伝導電流が流れ、磁場をちょうど1つの磁束量子の束に圧縮します。コアにおける典型的な磁場は1テスラにも達します。渦コア周辺の電流は、約50 nmの層を流れ、電流密度は15 × 10⁻⁶オーダーです。   ¹² A/m ^{2。これは、1 mm 2}の電線に 1500 万アンペアが流れることに相当します。