加速度

加速度
真空中（空気抵抗がない）では、地球に引き寄せられる物体は一定の速度で速度を増します。
一般的な記号	1つの
SI単位	m/s 2、m·s −2、m s −2
他の量からの導出	a = d v d t = d 2 x d t 2 {\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt ^{2}}}}
寸法	${\displaystyle {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}^{-2}}$

力学において、加速度とは、物体の速度の時間に対する変化率である。加速度は、運動を研究する運動学のいくつかの要素の1つである。加速度はベクトル量である（大きさと方向を持つ）。^{[1] [2]物体の加速度の方向は、その物体に作用する}正味の力の方向によって決まる。ニュートンの運動の第二法則^[3]で説明されているように、物体の加速度の大きさは、2つの原因の複合効果である。

• その物体に作用するすべての外力の正味のバランス— 大きさはこの結果として生じる正味の力に正比例します。
• 物体の質量は、それが作られている材料によって異なります。大きさは物体の質量に反比例します。

加速度のSI単位はメートル毎秒2乗（m⋅s ⁻²、）です。 ${\displaystyle \mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}} }$

たとえば、車両が停止状態（慣性座標系で速度ゼロ）からスタートし、速度を上げながら直線移動する場合、車両は移動方向に加速しています。車両が方向転換すると、新しい方向に向かって加速が発生し、運動ベクトルが変更されます。車両の現在の移動方向の加速は線形（円運動では接線方向）加速と呼ばれ、乗客は座席に押し戻される力として反応します。方向転換時に発生する加速は半径方向（円運動では求心方向）加速と呼ばれ、乗客は遠心力として反応します。車両の速度が低下すると、速度ベクトルの反対方向の加速となり（運動が一次元で速度が正の場合、数学的には負の）、減速^{[4] [5]}または遅延と呼ばれることもあり、乗客は減速に対する反応を、前方に押される慣性力として感じます。このような負の加速は、宇宙船の逆噴射ロケットによって達成されることが多い。^{[6]加速と減速はどちらも速度の変化であるため、同じように扱われる。これらの加速（接線方向、半径方向、減速）はそれぞれ、速度の変化による加速を}基準として相対（差動）速度が中和されるまで、乗客に感じられる。

ある期間における物体の平均加速度は、その速度の変化 をその期間の長さ で割ったものである。数学的には、 ${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$${\displaystyle \Delta t}$$${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$$

一方、瞬間加速度は、微小な時間間隔における平均加速度の極限です。微積分学の用語では、瞬間加速度は速度ベクトルの時間に対する 導関数です。加速度は速度v の時間tに対する 導関数として定義され、速度は位置x の時間に対する導関数として定義されるため、加速度はxのtに対する2 次導関数と考えることができます。 $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}.}$$$${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}.}$$

(ここでも他の場所でも、運動が直線上にある場合、方程式では ベクトル量をスカラーに置き換えることができます。)

微積分の基本定理により、加速度関数a ( t )の積分は速度関数v ( t )であることがわかります。つまり、加速度対時間 ( a vs. t ) のグラフの曲線の下の面積は、速度の変化に対応します。 Δ v = ∫ a d t 。 {\displaystyle \mathbf {\Delta v} =\int \mathbf {a} \,dt.}

同様に、加速度関数の微分であるジャーク関数j ( t )の積分は、特定の時間における加速度の変化を求めるために使用できます。 $${\displaystyle \mathbf {\Delta a} =\int \mathbf {j} \,dt.}$$

加速度は、速度 (L/T) を時間で割った次元、つまりL T ^{−2 を}持ちます。加速度のSI単位はメートル毎秒の 2 乗(ms ⁻² ) です。または、毎秒の速度が毎秒加速度値によって変化するため、「メートル毎秒 / 秒」となります。

円運動する物体（地球を周回する衛星など）は、速度が一定であっても、運動方向の変化により加速します。この場合、物体は求心方向（中心に向かう方向）の加速を受けていると言われます。

固有加速度、つまり自由落下状態に対する物体の加速度は、加速度計と呼ばれる機器によって測定されます。

古典力学では、質量が一定の物体の場合、物体の質量中心の（ベクトル）加速度は、物体に作用する正味の力のベクトル（つまり、すべての力の合計）に比例します（ニュートンの運動の第2法則）。 F = m a ⟹ a = F m 、 {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},} ここで、Fは物体に作用する正味の力、mは物体の質量、a は質量中心の加速度です。速度が光速に近づくにつれて、相対論的効果はますます大きくなります。

曲線経路上を移動する粒子の速度は、時間の関数として次のように表すことができます。v ( t )は 経路に沿っ た移動速度に等しく、 経路に接する 単位ベクトルは、選択された瞬間の運動方向を指します。速度v ( t )の変化とut_の変化方向の両方を考慮すると、曲線経路上を移動する粒子の加速度は、 2つの時間関数の積に対する微分連鎖律^{[7] を}使用して次のように表すことができます。 $${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t),}$$$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ ,\end{alignedat}}}$$

ここで、u _{n は}粒子の軌道に対する単位（内向き）法線ベクトル（主法線とも呼ばれる）であり、r は時刻tにおける接触円に基づく瞬間曲率半径である。成分

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {t} }={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }\quad {\text{and}}\quad \mathbf {a} _{\mathrm {c} }={\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }}$

はそれぞれ接線加速度と法線加速度または半径加速度（または円運動における求心加速度、円運動と求心力も参照）と呼ばれます。

接線、（主）法線、従法線を説明する3次元空間曲線の幾何学的解析は、フレネ・セレの公式によって記述される。^{[8] [9]}

等加速度または一定加速度は、物体の速度が一定の時間ごとに等量変化する タイプの運動です。

均一な加速度のよく引用される例としては、均一な重力場における自由落下中の物体が挙げられます。運動に対する抵抗がない場合の落下物体の加速度は、重力場の強度g (重力加速度とも呼ばれます) のみに依存します。ニュートンの第 2 法則により、物体に作用する力は次のように表され ます。 ${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$$${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .}$$

一定加速度の場合の解析的性質は単純であるため、変位、初期速度と時間依存速度、加速度と経過時間を関連付ける簡単な式が存在する：^[10] $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} (t)&=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}=\mathbf {s} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)\right)t\\\mathbf {v} (t)&=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} _{0}],\end{aligned}}}$$

どこ

• ${\displaystyle t}$経過時間です。
• ${\displaystyle \mathbf {s} _{0}}$は原点からの初期変位であり、
• ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$は時刻における原点からの変位であり、${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$初速度は
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$は時刻における速度であり、${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$等加速度です。

特に、運動は2つの直交する部分に分解することができ、1つは等速度の部分、もう1つは上記の式に従う部分である。ガリレオが示したように、最終的な結果は放物線運動であり、これは例えば地球の表面近くの真空中の発射体の軌道を記述する。^[11]

等速円運動、つまり円軌道に沿って一定の速度で移動する運動では、粒子は速度ベクトルの方向の変化によって生じる加速度を経験しますが、その大きさは一定のままです。曲線上の点の位置の時間に対する導関数、つまりその速度は、常に曲線に正確に接線方向、つまりこの点の半径に直交することがわかります。等速運動では接線方向の速度は変化しないため、加速度は円の中心を指す半径方向でなければなりません。この加速度は、速度の方向を常に隣接点に接するように変更し、それによって速度ベクトルを円に沿って回転させます。

• 与えられた速度に対して、この幾何学的に生じる加速度（向心加速度）の大きさは円の半径に反比例し、この速度の2乗に比例して増加します。 a c = v 2 r 。 {\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.} ${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$
• 与えられた角速度 に対して、向心加速度は半径に正比例します。これは、速度が半径に依存するためです。${\displaystyle \omega }$${\displaystyle r}$${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle v=\omega r.}$$

求心加速度ベクトルを極座標で表すと、円の中心から粒子までの距離に等しい大きさのベクトルで、中心に向かう加速度の向きを考慮すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle \mathbf {a_{c}} =-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.}$$

回転では通常、粒子の速度は、距離にある点に対する角速度として ω = v r として表すことができます。{\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.} ${\displaystyle v}$${\displaystyle r}$

したがって${\displaystyle \mathbf {a_{c}} =-\omega ^{2}\mathbf {r} \,.}$

この加速度と粒子の質量によって、円の中心に向かう必要な向心力が決まります。これは、粒子をこの均一な円運動に保つために粒子に作用する正味の力です。物体に対して外側に作用するように見えるいわゆる「遠心力」は、物体の直線運動量、つまり運動円に接するベクトルによって、円運動する 物体の基準フレームで発生するいわゆる疑似力です。

非一様な円運動、すなわち曲線経路に沿った速度が変化する運動では、加速度は曲線の接線方向に非ゼロ成分を持ち、向心加速度の半径を決定する接触円の中心に向く主法線に限定されません。接線方向成分は角加速度 、すなわち角速度の変化率と半径 の積で与えられます。つまり、 ${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle r}$$${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$$

加速度の接線成分の符号は角加速度（）の符号によって決まり、接線は常に半径ベクトルに対して直角を向きます。 ${\displaystyle \alpha }$

多次元直交座標系では、加速度は座標系の各次元軸に対応する成分に分解される。x軸とy軸がある2次元システムでは、対応する加速度成分は次のように定義される^[12]。2次元加速度ベクトルは次のように定義される。このベクトルの大きさは、距離の式によって求められる。z軸が追加された3次元システムでは、対応する加速度成分は次のように定義される。3次元加速度ベクトルは次のように定義され、その大きさは次のように決定される。$${\displaystyle a_{x}=dv_{x}/dt=d^{2}x/dt^{2},}$$ $${\displaystyle a_{y}=dv_{y}/dt=d^{2}y/dt^{2}.}$$${\displaystyle {\textbf {a}}=<a_{x},a_{y}>}$$${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}.}$$$${\displaystyle a_{z}=dv_{z}/dt=d^{2}z/dt^{2}.}$$${\displaystyle {\textbf {a}}=<a_{x},a_{y},a_{z}>}$$${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.}$$

特殊相対性理論は、真空中を光速に近い速度で移動する物体の相対的な動きを説明します。ニュートン力学は現実に非常に近いものであることが明らかになっており、低速では高い精度で有効です。関連する速度が光速に近づくにつれて、加速度はもはや古典的な方程式に従わなくなります。

速度が光速に近づくにつれて、与えられた力によって生じる加速度は減少し、光速に近づくにつれて極小になります。質量を持つ物体は漸近的にこの速度に近づくことはできますが、到達することはできません。

物体の運動状態が分からない限り、観測された力が重力によるものか加速度によるものかを見分けることは不可能である。重力と慣性加速度は同一の効果を持つ。アルバート・アインシュタインはこれを等価原理と呼び、重力を含め力を全く感じない観測者だけが加速していないと結論付けることが正当であると述べた。^[13]

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