絶対値

数学において、実数の絶対値または絶対値はと表記され、符号に関係なく の非負の値です。つまり、が正の数であれば であり、が負の数であれば(この場合は負の数を反転すると正の数になります)、 です。たとえば、3 の絶対値は3 であり、-3 の絶対値も 3です。数値の絶対値は、ゼロからの距離と考えることができます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|=-x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle |0|=0}$

実数の絶対値の一般化は、さまざまな数学的設定で発生します。たとえば、複素数、四元数、順序付き環、体、ベクトル空間にも絶対値が定義されています。絶対値は、さまざまな数学的および物理的なコンテキストで、大きさ、距離、ノルムの概念と密接に関連しています。

1806年、ジャン＝ロベール・アルガンは、複素絶対値について、フランス語で測定単位を意味する「モジュール」という用語を導入しました^{[1] [2] 。そして、これは1866年にラテン語の同義語である}modulusとして英語に借用されました。^[1]絶対値という用語は、フランス語では少なくとも1806年から^[3]、英語では1857年からこの意味で使用されています。^[4]両側に縦棒が付いた表記法| x |は、 1841年にカール・ワイエルシュトラスによって導入されました。 ^[5]絶対値は、数値^[1]や大きさ などとも呼ばれます。^[1]プログラミング言語や計算ソフトウェアパッケージでは、 の絶対値は一般に 、または同様の式で表されます。 ${\textstyle x}$abs(x)

縦棒表記は、他の多くの数学的文脈でも使用されます。たとえば、集合に適用された場合、集合の濃度を表します。行列に適用された場合、行列式を表します。縦棒は、絶対値の概念が定義されている代数的オブジェクト、特にノルム除算代数の要素、たとえば実数、複素数、四元数に対してのみ絶対値を表します。密接に関連しているが異なる表記法として、 のベクトルのユークリッドノルム [6] または超ノルム [7] に縦棒を使用する方法がありますが、下^付き文字(^それぞれおよび)の付いた二重の縦棒の方がより一般的で曖昧さの少ない表記法です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

任意の実数 ${\displaystyle x}$に対して、の絶対値または絶対値は で表され、その両側に縦線が付き、次のように定義されます^[8]${\displaystyle x}$${\displaystyle |x|}$ $${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

したがって、の${\displaystyle x}$絶対値は常に正の数かゼロのいずれかであり、負の数になることはありません。自身が負( ) の場合、その絶対値は必ず正( ) になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle |x|=-x>0}$

解析幾何学の観点から見ると、実数の絶対値は、実数直線に沿ったゼロからの距離であり、より一般的には、2つの実数の差の絶対値（それらの絶対差）はそれらの間の距離です。^{[9]数学における抽象的な}距離関数の概念は、差の絶対値の一般化と見ることができます（下記の「距離」を参照）。

平方根記号は唯一の正の 平方根を表すので、正の数に適用すると、 | x | = x 2 となります。{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.} これは上記の定義と同等であり、実数の絶対値の代替定義として使用できます。^[10]

絶対値には次の 4 つの基本的な特性 ( 、は実数) があり、これらはこの概念を他の領域に一般化するために使用されます。 ${\textstyle a}$${\textstyle b}$

非負性、正定値性、乗法性は定義からすぐにわかります。劣加法性が成り立つことを確認するには、まず、その符号が結果が正になるように選択された であることに注目してください。ここで、 および であるため、のどちらがの値であっても、すべての実数に対してが成り立ちます。したがって、が望みどおりとなります。 ${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$ ${\displaystyle s=\pm 1}$${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$

以下に、いくつかの追加の有用なプロパティを示します。これらは、定義から直接得られる結果であるか、または上記の 4 つの基本的なプロパティによって暗示されるものです。

不等式に関する他の 2 つの有用な特性は次のとおりです。

これらの関係は絶対値を含む不等式を解くために使用できます。例:

絶対値は「ゼロからの距離」として、任意の実数間の絶対差、つまり実数の 標準的な測定基準を定義するために使用されます。

複素数はの順序になっていないため、実数の絶対値について上で示した定義を複素数に直接適用することはできません。ただし、実数の絶対値を 0 からの距離として幾何学的に解釈することは、一般化できます。複素数の絶対値は、複素平面上の対応する点の原点からのユークリッド距離によって定義されます。これは、ピタゴラスの定理を使用して計算できます。 およびが実数である任意の複素数に対して 、の絶対値または係数 はと表され、は^[11]およびの ピタゴラス加算によって定義されます。ここで、および はそれぞれの実部と虚部を表します。虚部が 0 のとき、これは実数の絶対値の定義と一致します。$${\displaystyle z=x+iy,}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle |z|}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

複素数をその絶対値が極座標で表すと、${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta },}$${\displaystyle |z|=r.}$

任意の複素数とその複素共役の積は、絶対値が同じであるため、常に非負の実数 となるため、複素数の絶対値はの平方根であり、したがっての 絶対平方または平方係数と呼ばれます。これは、実数に対する 別の定義を一般化したものです。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$$${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$

複素絶対値は、実絶対値に対して上記で示した 4 つの基本特性を共有します。恒等式は乗法性の特殊なケースであり、それ自体で役立つことがよくあります。 ${\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}|}$

実絶対値関数は、どこでも連続です。x = 0を除いて、どこでも微分可能です。(−∞, 0]区間では単調減少し、 [0, +∞)区間では単調増加します。実数とその反数は絶対値が同じなので、これは偶関数であり、したがって逆関数ではありません。実絶対値関数は、区分線形の凸関数です。

実数と複素数の両方において、絶対値関数はべき等です(つまり、任意の絶対値の絶対値はそれ自身であるということです)。

実数の絶対値関数は、その符号に関係なくその値を返しますが、符号 (または signum) 関数は、その値に関係なく数値の符号を返します。次の式は、これら 2 つの関数の関係を示しています。

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

または

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

そしてx ≠0の場合、

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

とすると、 ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |t-s|=-2\min(s,t)+s+t}$

そして

${\displaystyle |t-s|=2\max(s,t)-s-t.}$

実絶対値関数はx ≠ 0に対して導関数を持つが、x = 0では微分不可能である。 x ≠ 0に対する導関数はステップ関数で与えられる: ^{[12] [13]}

${\displaystyle {\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

実絶対値関数は、導関数が存在しない 大域的最小値を達成する連続関数の例です。

x = 0における | x |の サブ微分は区間 [−1, 1]である。^[14]

複素絶対値関数はどこでも連続だが、コーシー・リーマン方程式に違反するためどこでも微分可能ではない。^[12 ]

| x |のxに関する 2 次導関数は 、ゼロ以外のすべての場所で 0 になります (ゼロの場合は存在しません)。一般化された関数として、2 次導関数はディラックのデルタ関数の 2 倍として考えることができます。

実絶対値関数 の不定積分は

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

ここで、C は積分の任意の定数です。これは複素原始積分ではありません。複素原始積分は複素微分可能 (正則) な関数に対してのみ存在でき、複素絶対値関数はそうではないからです。

次の 2 つの式は連鎖律の特殊なケースです。

${\displaystyle {d \over dx}f(|x|)={x \over |x|}(f'(|x|))}$

絶対値が関数内にある場合、そして

${\displaystyle {d \over dx}|f(x)|={f(x) \over |f(x)|}f'(x)}$

別の関数が絶対値の範囲内にある場合。最初のケースでは、導関数は常に で不連続になり、2 番目のケースでは で不連続になります。 ${\textstyle x=0}$${\textstyle f(x)=0}$

絶対値は距離の概念と密接に関係しています。上で述べたように、実数または複素数の絶対値は、実数の場合は実数直線に沿った、複素数の場合は複素平面における、その数から原点までの距離であり、より一般的には、2 つの実数または複素数の差の絶対値は、それらの間の距離です。

2点間の 標準ユークリッド距離

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

そして

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

ユークリッドn空間では次のように定義されます。

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

これは一般化として見ることができる。なぜなら、絶対値の別の定義によれば、1次元空間において、実数 の場合、すなわち、${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

そして複素数、つまり2次元空間では、 ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$

上記は、実数と複素数の「絶対値」距離が、それぞれ 1 次元と 2 次元のユークリッド空間として考えた場合の結果として継承される標準ユークリッド距離と一致することを示しています。

2 つの実数または複素数の差の絶対値の特性、すなわち非負性、識別不能なものの同一性、対称性、および上記の三角不等式は、次のような距離関数のより一般的な概念の根拠となると考えられます。

集合X  ×  X上の実数値関数dは、次の4つの公理を満たすとき、 X上の計量関数（または距離関数） と呼ばれる。^[15]

上で実数に対して与えられた絶対値の定義は、任意の順序付き環に拡張することができる。つまり、  a が順序付き環Rの元である 場合、aの 絶対値| a |は次のように定義される。^[16]

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$

ここで、− aはaの 加法逆数、 0 は加法単位元、 < と ≥ は環内の順序に関して通常の意味を持ちます。

実数の絶対値の 4 つの基本的な特性は、次のように、絶対値の概念を任意のフィールドに一般化するために使用できます。

体F上の実数値関数 vは、次の4つの公理を満たすとき 絶対値（絶対値、絶対値、値、評価とも呼ばれる）^[17]と呼ばれる。 

ここで、0 はFの 加法的恒等式を表します。正定値性と乗法的性質から、v ( 1 ) = 1が成り立ちます。ここで、1 は​​ Fの 乗法的恒等式を表します。上で定義した実数と複素数の絶対値は、任意の体の絶対値の例です。

v がF上の絶対値である 場合、 d ( a ,  b ) = v ( a − b )で定義されるF  ×  F上の関数 d は計量であり、以下は同値です。

• d はF内の すべてのx、y、zに対して超距離不等式を満たします。${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$はRで 制限されます。
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$すべての について。${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$すべてに対して。${\displaystyle a\in F}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$すべてに対して。${\displaystyle a,b\in F}$

上記の条件のいずれか（つまりすべて）を満たす絶対値は非アルキメデス的であるとされ、そうでない場合はアルキメデス的であるとされる。^[18]

ここでも、実数の絶対値の基本的な性質を少し修正するだけで、この概念を任意のベクトル空間に一般化することができます。

体 F上のベクトル空間 V上の実数値関数‖ · ‖は絶対値と呼ばれますが、次の公理を満たす場合は ノルムと呼ばれることが多いです。

Fの すべてのaとV のすべての v、uに対して 、

ベクトルのノルムは、長さまたは大きさとも呼ばれます。

ユークリッド空間 の場合、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

はユークリッドノルムと呼ばれるノルムです。実数を1 次元ベクトル空間 と見なすと、絶対値はノルムとなり、任意のpに対してpノルム ( L ^p空間 を参照) となります。実際、絶対値は 上の「唯一の」ノルムであり、 上のすべてのノルム‖ · ‖に対して、‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x |という意味です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

複素絶対値は内積空間におけるノルムの特殊なケースであり、複素平面をユークリッド平面 と同一視した場合のユークリッドノルムと同一である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

すべての合成代数A には、共役と呼ばれる反転 x → x *があります。Aにおける元xとその共役元x * の積はN ( x ) = xx *と表され、 x のノルムと呼ばれます。

実数、複素数、四元数はすべて、定積二次形式によって与えられるノルムを持つ合成代数です。これらの除算代数の絶対値は、合成代数ノルムの平方根によって与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

一般に、合成代数のノルムは、定まらずヌルベクトルを持つ二次形式になることがあります。ただし、除算代数の場合と同様に、要素x がゼロ以外のノルムを持つ場合、x にはx */ N ( x )で与えられる乗法逆元があります。

• 最小絶対値

• Bartle、Sherbert著『実解析入門（第4版）』John Wiley & Sons、2011年ISBN 978-0-471-43331-6。 
• ナヒン、ポール・J.; An Imaginary Tale ;プリンストン大学出版局; (ハードカバー、1998年)。ISBN 0-691-02795-1。 
• Mac Lane、Saunders、Garrett Birkhoff、『代数学』、アメリカ数学会、1999年。ISBN 978-0-8218-1646-2。 
• メンデルソン、エリオット、『シャウムの初級微積分学アウトライン』、 McGraw-Hill Professional、2008年。ISBN 978-0-07-148754-2。 
• JJ オコナーとEF ロバートソン。 「ジャン・ロベール・アルガン」。
• Schechter, Eric; Handbook of Analysis and Its Foundations、pp. 259–263、「Absolute Values」、Academic Press (1997) ISBN 0-12-622760-8。 

• 「絶対値」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
• PlanetMathの絶対値。
• ワイスタイン、エリック・W.「絶対値」。マスワールド。