σ-algebra

措置​​${\displaystyle X}$は、 の部分集合に非負の実数を割り当てる関数です。${\displaystyle X;}$これは、集合の「大きさ」や「体積」という概念を厳密に定義するものと考えることができます。互いに素な集合の和集合の大きさが、それらの個々の大きさの合計と等しくなるようにしたいのです。これは、互いに素な集合が無限に続く場合でも同様です。

あらゆる部分集合にサイズを割り当てたい${\displaystyle X,}$しかし、多くの自然な状況では、これは不可能です。たとえば、選択公理によれば、考慮するサイズが実数直線の部分集合の長さの通常の概念である場合、サイズが存在しない集合、たとえばヴィタリ集合が存在します。このため、代わりに、の特権部分集合のより小さな集合を考えます。${\displaystyle X.}$これらの部分集合を可測集合と呼ぶ。可測集合に期待される演算に関して、可測集合は閉じている。すなわち、可測集合の補集合は可測集合であり、可測集合の可算和集合も可測集合である。このような性質を持つ空でない集合の集合群をσ代数と呼ぶ。

確率概念における概収束など、測度の多くの用途では、集合列の極限が関係します。そのためには、可算和集合と共通部分に関する閉包性が極めて重要です。σ-代数上の集合極限は次のように定義されます。

• 数列の上限または外側の限界${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$サブセットの${\displaystyle X}$は$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\cup A_{n+1}\cup \cdots .}$$それはすべての点から構成されます${\displaystyle x}$これらの集合の無限個に含まれるもの（または同等に、それらの集合の共終数個に含まれるもの）。つまり、${\displaystyle x\in \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$無限部分列が存在する場合に限る${\displaystyle A_{n_{1}},A_{n_{2}},\ldots }$（どこ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<\cdots }$すべてを含むセットの）${\displaystyle x;}$つまり、${\displaystyle x\in A_{n_{1}}\cap A_{n_{2}}\cap \cdots .}$
• 数列の下限または内限界${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$サブセットの${\displaystyle X}$は$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\cap A_{n+1}\cap \cdots .}$$これは、これらの集合のうち有限個を除くすべての集合に含まれる点（または同等に、最終的にすべての集合に含まれる点）から構成されます。つまり、${\displaystyle x\in \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$インデックスが存在する場合に限り${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$そのため${\displaystyle A_{N},A_{N+1},\ldots }$すべてに含まれる${\displaystyle x;}$つまり、${\displaystyle x\in A_{N}\cap A_{N+1}\cap \cdots .}$

内側の限界は常に外側の限界の部分集合である。$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}~\subseteq ~\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$ これら2つの集合が等しい場合、その極限値は$\lim_{n\to\infty}A_{n}}$存在し、この共通集合と等しい。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}:=\liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$

確率論の多く、特に条件付き期待値が関係する場合、観測可能なすべての情報のうち、一部のみを表す集合が問題となります。この部分的な情報は、主σ代数の部分集合であるより小さなσ代数で特徴づけることができます。これは、部分的な情報にのみ関連し、部分的な情報によってのみ決定される部分集合の集合から構成されます。形式的には、${\displaystyle \Sigma ,\Sigma '}$σ-代数は${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle \Sigma '}$は のサブ σ 代数である${\displaystyle \Sigma }$もし${\displaystyle \Sigma '\subseteq \Sigma }$。

ベルヌーイ過程は簡単な例を示しています。これは、ランダムなコイン投げのシーケンスで構成され、表が出ます（${\displaystyle H}$）またはテイルズ（${\displaystyle T}$）は無限長である。標本空間Ωは、すべての可能な無限シーケンスから構成される。${\displaystyle H}$または${\displaystyle T:}$$${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$$

完全なシグマ代数は、最初の部分代数の一部または全部を観測した後に得られる情報を考慮することにより、部分代数の昇順列から生成できます。${\displaystyle n}$コイン投げ。この部分代数の列は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \Omega :A\subseteq \{H,T\}^{n}\}}$$ これらはそれぞれ前のものより細かいので、フィルターとして注文できます。

$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}\subseteq {\mathcal {G}}_{1}\subseteq {\mathcal {G}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathcal {G}}_{\infty }}$$

最初の部分代数${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\{\varnothing ,\Omega \}}$は自明な代数です。これには空集合と全空間という2つの要素しかありません。第2の部分代数${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}}$4つの要素があります: 2つは${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}}$さらに２つ：${\displaystyle H}$そして、${\displaystyle T}$各部分代数は前のものよりも細かい。${\displaystyle n}$th 部分代数には$2^n+1$要素: 全体の空間を分割します${\displaystyle \Omega }$観測された可能性のあるすべてのシーケンスに${\displaystyle n}$フリップ、および一部のフリップが観測されない可能性を含む。

極限代数${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$これは、他のすべてのσ代数を含む最小のσ代数です。これは、積空間上の積位相または弱位相によって生成される代数です。${\displaystyle \{H,T\}^{\infty }.}$

させて${\displaystyle X}$ある集合とし、${\displaystyle P(X)}$その冪集合、すなわちすべての部分集合の集合を表す。${\displaystyle X}$.次に部分集合${\displaystyle \Sigma \subseteq P(X)}$次の３つの性質を満たす場合、σ代数と呼ばれる。 ^{[ 2 ]}

1. ${\displaystyle X}$は${\displaystyle \Sigma }$。
2. ${\displaystyle \Sigma }$補集合に関して閉じている: ある集合が${\displaystyle A}$は${\displaystyle \Sigma ,}$ならばその補数も、${\displaystyle X\setminus A.}$
3. ${\displaystyle \Sigma }$可算和集合の下で閉じている: もし${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$は${\displaystyle \Sigma ,}$ならば${\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots .}$

これらの性質から、σ代数は可算個の交差に関しても閉じていることがわかる（ド・モルガンの法則を適用することによって）。

空集合もまた${\displaystyle \varnothing }$は${\displaystyle \Sigma ,}$（１）により${\displaystyle X}$は${\displaystyle \Sigma }$（２）その補集合である空集合もまた含まれると主張する${\displaystyle \Sigma .}$ さらに、${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$3つの条件すべてを満たすので、${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$は、 上の最小の σ 代数です${\displaystyle X.}$最大のσ代数は${\displaystyle X}$は${\displaystyle P(X).}$

σ代数の要素は可測集合と呼ばれる。順序対${\displaystyle (X,\Sigma ),}$どこ${\displaystyle X}$セットであり、${\displaystyle \Sigma }$は 上の σ 代数である${\displaystyle X,}$は可測空間と呼ばれます。2 つの可測空間間の関数は、すべての可測集合の逆像が可測である場合、可測関数と呼ばれます。可測空間の集合は、可測関数を射とする圏を形成します。測度は、 σ 代数から への特定の種類の関数として定義されます。${\displaystyle [0,\infty ].}$

σ代数はπ系であると同時にディンキン系（λ系）でもある。ディンキンの定理（下記参照）によれば、その逆もまた真である。

この定理（または関連する単調クラス定理）は、特定のσ代数の性質に関する多くの結果を証明するための重要なツールです。これは、以下の2つのより単純な集合クラスの性質を利用しています。

• π系${\displaystyle P}$は、サブセットの集合です。${\displaystyle X}$それは有限個の交点に関して閉じており、
• ディンキンシステム（またはλシステム）${\displaystyle D}$は、サブセットの集合です。${\displaystyle X}$含まれる${\displaystyle X}$また、補集合および互いに素な部分集合の可算個の和集合に関して閉じている。

ディンキンのπ-λ定理によれば、${\displaystyle P}$π系であり、${\displaystyle D}$Dynkin システムには、${\displaystyle P,}$するとσ代数${\displaystyle \sigma (P)}$によって生成されました${\displaystyle P}$に含まれる${\displaystyle D.}$ 特定のπシステムは比較的単純なクラスであるため、すべての集合が${\displaystyle P}$検討対象の物件を楽しむ一方で、コレクションが${\displaystyle D}$この性質を持つすべての部分集合は、ディンキンシステムであることも簡単に証明できます。ディンキンのπ-λ定理は、すべての集合が${\displaystyle \sigma (P)}$物件を楽しむことで、任意のセットをチェックする作業を避けることができます。$\displaystyle \sigma (P).$

π-λ定理の最も基本的な用途の一つは、別々に定義された尺度や積分の等価性を示すことである。例えば、確率変数の確率を等しくするために用いられる。${\displaystyle X}$ルベーグ・スティルチェス積分は、通常、確率の計算に関連付けられています。 $${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$$すべての人々のために${\displaystyle A}$ボレルσ代数において${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ どこ${\displaystyle F(x)}$は、​${\displaystyle X,}$定義済み${\displaystyle \mathbb {R} ,}$その間${\displaystyle \mathbb {P} }$は、σ代数上で定義される確率測度である。${\displaystyle \Sigma }$ある標本空間の部分集合の${\displaystyle \Omega .}$

仮定する${\displaystyle \textstyle \left\{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\right\}}$は空間上のσ代数の集合である${\displaystyle X.}$

仮定する${\displaystyle Y}$は、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle (X,\Sigma )}$測定可能な空間であること。

• コレクション${\displaystyle \{Y\cap B:B\in \Sigma \}}$は、 の部分集合の σ 代数である。${\displaystyle Y.}$
• 仮定する${\displaystyle (Y,\Lambda )}$測定可能な空間です。コレクション${\displaystyle \{A\subseteq X:A\cap Y\in \Lambda \}}$は、 の部分集合の σ 代数である。${\displaystyle X.}$

σ代数​${\displaystyle \Sigma }$これは普遍集合を含むσ環です${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]} σ必ずしもσである必要はありません。例えば、実数直線のルベーグ測度がゼロの可測部分集合はσ環ですが、σ代数ではありません。実数直線は無限測度を持つため、それらの可算和集合によって得ることができないからです。ゼロ測度の代わりに有限ルベーグ測度の可測部分集合を取ると、それらは環がσ環ではありません。実数直線はそれらの可算和集合によって得ることができますが、その測度は有限ではないからです。

σ代数は、カリグラフィーの大文字、またはフラクトゥール書体を用いて表記されることがある。したがって${\displaystyle (X,\Sigma )}$次のように表記されることがあります${\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}})}$または ${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}}).}$

分離可能な${\displaystyle \sigma }$-代数（または分離可能）${\displaystyle \sigma }$-フィールド)は${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle {\mathcal {F}}}$それは、距離空間として考えると分離可能な空間である。${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$のために${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$そして与えられた有限測度${\displaystyle \mu }$（そして${\displaystyle \triangle }$（対称差演算子である）。^{[ 4 ]} 任意の${\displaystyle \sigma }$可算集合の集合によって生成される代数は分離可能であるが、その逆は必ずしも成り立たない。例えば、ルベーグ代数は${\displaystyle \sigma }$-代数は分離可能（すべてのルベーグ可測集合はボレル集合と等価であるため）であるが、可算生成ではない（その濃度は連続体よりも大きいため）。

分離可能な測度空間には、それを擬距離空間として分離可能にする自然な擬距離が存在する。2つの集合間の距離は、 2つの集合の対称差の測度として定義される。2つの異なる集合の対称差は測度がゼロになる場合があるため、上述の擬距離は真の距離である必要はない。しかし、対称差の測度がゼロである集合を単一の同値類に同一視すると、結果として得られる商集合は誘導された距離によって適切に距離化できる。測度空間が分離可能であれば、対応する距離空間も分離可能であることが示される。

させて${\displaystyle X}$任意の集合とする。

• 空集合と集合のみからなる族${\displaystyle X,}$最小または自明なσ代数と呼ばれる${\displaystyle X.}$
• パワーセット​${\displaystyle X,}$離散σ代数と呼ばれる。
• コレクション${\displaystyle \{\varnothing ,A,X\setminus A,X\}}$は部分集合によって生成される単純なσ代数である${\displaystyle A.}$
• サブセットのコレクション${\displaystyle X}$可算集合または補集合が可算集合であるものはσ代数である（これは、${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle X}$は非可算です)。これは、のシングルトンによって生成されるσ代数です。${\displaystyle X.}$注：「可算」には有限または空集合が含まれます。
• 可算分割内の集合のすべての和集合のコレクション${\displaystyle X}$これはσ代数である。

停止時間${\displaystyle \tau }$定義できる${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau },}$いわゆる停止時間シグマ代数とは、フィルタリングされた確率空間において、ランダムな時間までの情報を記述するものである。${\displaystyle \tau }$つまり、フィルタリングされた確率空間をランダム実験と解釈すると、実験を任意に何度も繰り返すことで得られる最大の情報は、${\displaystyle \tau }$は${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }.}$^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle F}$の任意のサブセットの族である${\displaystyle X.}$すると、すべての集合を含む唯一の最小のσ代数が存在する。${\displaystyle F}$（それでも${\displaystyle F}$それ自体がσ代数である場合もそうでない場合もある）。実際には、それは、を含むすべてのσ代数の共通部分である。${\displaystyle F.}$（上記のσ代数の交差を参照。）このσ代数は次のように表記される。${\displaystyle \sigma (F)}$そして、これはσ代数と呼ばれ、${\displaystyle F.}$

もし${\displaystyle F}$空の場合、${\displaystyle \sigma (\varnothing )=\{\varnothing ,X\}.}$ さもないと${\displaystyle \sigma (F)}$すべてのサブセットから構成される${\displaystyle X}$要素から作ることができる${\displaystyle F}$可算個の補集合演算、和集合演算、積集合演算によって。

簡単な例として、次の集合を考えてみましょう。${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$次に、単一の部分集合によって生成されるσ代数${\displaystyle \{1\}}$は ${\displaystyle \sigma (\{1\})=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.}$表記の濫用 により、部分集合の集合が 1 つの要素のみを含む場合、${\displaystyle A,}$${\displaystyle \sigma (A)}$代わりに次のように書くことができます${\displaystyle \sigma (\{A\});}$前の例では${\displaystyle \sigma (\{1\})}$の代わりに${\displaystyle \sigma (\{\{1\}\}).}$実際、${\displaystyle \sigma \left(A_{1},A_{2},\ldots \right)}$意味する${\displaystyle \sigma \left(\left\{A_{1},A_{2},\ldots \right\}\right)}$これもかなり一般的です。

有用なσ代数を生成する部分集合の族は数多く存在する。ここではそのいくつかを紹介する。

もし${\displaystyle f}$集合からの関数です${\displaystyle X}$セットへ${\displaystyle Y}$そして${\displaystyle B}$は${\displaystyle \sigma }$部分集合の代数${\displaystyle Y,}$それから${\displaystyle \sigma }$関数によって生成される代数${\displaystyle f,}$で示される${\displaystyle \sigma (f),}$は、すべての逆像の集合です。${\displaystyle f^{-1}(S)}$セットの${\displaystyle S}$で${\displaystyle B.}$つまり、 $${\displaystyle \sigma (f)=\left\{f^{-1}(S)\,:\,S\in B\right\}.}$$

関数${\displaystyle f}$セットから${\displaystyle X}$セットへ${\displaystyle Y}$σ代数に関して測定可能である${\displaystyle \Sigma }$サブセットの${\displaystyle X}$かつその場合に限り${\displaystyle \sigma (f)}$は、${\displaystyle \Sigma .}$

よくある状況で、デフォルトで理解されているのは${\displaystyle B}$明示的に指定されていない場合、${\displaystyle Y}$は距離空間または位相空間であり、${\displaystyle B}$ボレル集合のコレクションは${\displaystyle Y.}$

もし${\displaystyle f}$は関数です${\displaystyle X}$に${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$それから${\displaystyle \sigma (f)}$は、区間/長方形の逆像である部分集合のファミリーによって生成されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}:}$$${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\left\{f^{-1}(\left[a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left[a_{n},b_{n}\right]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

有用な性質は次のとおりです。${\displaystyle \left(X,\Sigma _{X}\right)}$、${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$そして${\displaystyle \left(T,\Sigma _{T}\right)}$測定可能な空間にして${\displaystyle f:X\to S}$そして${\displaystyle g:X\to T}$それらの間には測定可能な写像が存在する。もし第三の測定可能な写像が存在するならば${\displaystyle h:T\to S}$そのため${\displaystyle f=h\circ g}$、 それから${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \sigma (g).}$さらに、もし${\displaystyle S}$は可算名詞、またはより一般的には、${\displaystyle \left(S,\Sigma _{S}\right)}$が標準ボレル空間であるならば、逆もまた成り立つ。^{[ 6 ]}標準ボレル空間の例としては、可分完備距離空間などが挙げられる。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$関連するボレル集合とともに。別の例としては、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$以下に説明する円筒σ代数を用いて。

重要な例として、任意の位相空間上のボレル代数、すなわち開集合（または同等に閉集合）によって生成されるσ代数が挙げられる。一般に、このσ代数は冪集合全体ではない。ボレル集合ではない非自明な例については、ヴィタリ集合または非ボレル集合を参照されたい。

ユークリッド空間において${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$もう一つ重要なσ代数がある。それはすべてのルベーグ可測集合からなるσ代数である。このσ代数は、ボレルσ代数よりも多くの集合を含む。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$また、積分理論では完全な測度空間を与えるため、好ましいとされています。

させて${\displaystyle \left(X_{1},\Sigma _{1}\right)}$そして${\displaystyle \left(X_{2},\Sigma _{2}\right)}$2つの可測空間とする。対応する積空間のσ代数は${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$これは積σ代数と呼ばれ、次のように定義される。 $${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma \left(\left\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\right\}\right).}$$

注目してください${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$これはπ系である。

ボレルσ代数${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$は半無限長方形と有限長方形によって生成されます。たとえば、 $${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{\left(a_{1},b_{1}\right]\times \cdots \times \left(a_{n},b_{n}\right]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$$

これら2つの例のそれぞれにおいて、生成族はπ系である。

仮定する $${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f(t)\in \mathbb {R} ,\ t\in \mathbb {T} \}}$$

は実数値関数の集合である。${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$のボレル部分集合を表す${\displaystyle \mathbb {R} .}$円筒のサブセット${\displaystyle X}$は、次のように定義される有限制限集合である。 $${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\left\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\right\}.}$$

それぞれ $${\displaystyle \left\{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\right\}}$$ はσ代数を生成するπシステムである${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}.}$次に部分集合の族 $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$$は、シリンダーσ代数 を生成する代数である。${\displaystyle X.}$このσ代数は、積位相によって決定されるボレルσ代数の部分代数である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$制限される${\displaystyle X.}$

重要な特殊ケースは、${\displaystyle \mathbb {T} }$自然数の集合であり、${\displaystyle X}$は実数値数列の集合である。この場合、円筒集合を考慮すれば十分である。 $${\displaystyle C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right)=\left(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty }\right)\cap X=\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\right\},}$$ そのために $${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma \left(\{C_{n}\left(B_{1},\dots ,B_{n}\right):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}\right)}$$ これは、σ代数の非減少列である。

球σ代数は、すべての開球（および/または閉球）を含む最小のσ代数です。これはボレルσ代数より大きくなることはありません。可分空間の場合、2つのσ代数は等しいことに注意してください。一部の非可分空間では、ボレル可測ではないにもかかわらず球可測な写像が存在するため、球σ代数を利用すると、そのような写像の解析に役立ちます。^{[ 7 ]}

仮定する${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$は確率空間です。${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$は、ボレルσ代数に関して測定可能である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$それから${\displaystyle Y}$は確率変数と呼ばれます（${\displaystyle n=1}$）またはランダムベクトル（${\displaystyle n>1}$) によって生成される σ 代数${\displaystyle Y}$は $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\right\}.}$$

仮定する${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$は確率空間であり、${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$は、上の実数値関数の集合である。${\displaystyle \mathbb {T} .}$もし${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subseteq \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$円筒σ代数に関して測定可能である${\displaystyle \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)}$（上記参照）${\displaystyle X}$それから${\displaystyle Y}$これは確率過程またはランダム過程と呼ばれます。${\displaystyle Y}$は $${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma \left({\mathcal {F}}_{X}\right)\right\}=\sigma \left(\left\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\right\}\right),}$$ 円柱集合の逆像によって生成されるσ代数。