単調類定理

集合の単調類定理 — を 集合の代数とし、をを含む最小の単調類と定義すると、 はによって生成される𝜎-代数とまったく同じであり、${\displaystyle G}$${\displaystyle M(G)}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle M(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \sigma(G)=M(G).}$

関数の単調類定理 — を π系とし、をからまでの関数の集合とし、次の特性を持つもの とします。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \オメガ \,}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

1. ならば、は指示関数を表す。${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$${\displaystyle A.}$
2. もしそしてそしてそして${\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle cf\in {\mathcal {H}}.}$
3. が有界関数に増加する非負関数の列である場合、${\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}.}$

すると、によって生成される 𝜎-代数である、に関して測定可能なすべての有界関数が含まれます。${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}}),}$${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$