ディンキンシステム

ディンキン系^[1]は、ユージン・ディンキンにちなんで名付けられ、𝜎代数の公理よりも弱い公理の集合を満たす別の普遍集合の部分集合の集合である。ディンキン系は、 𝜆系（ディンキン自身がこの用語を使用した）またはd系と呼ばれることもある。^{[2]これらの集合族は}測度論や確率論に応用されている。 ${\displaystyle \オメガ}$

𝜆 システムの主な応用はπ -𝜆 定理です (以下を参照)。

を空でない集合とし、をの部分集合の集合とする（つまり、は の冪集合の部分集合である）。このとき、がディンキン系であるとは、 ${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle D}$

1. ${\displaystyle \Omega \in D;}$
2. ${\displaystyle D}$は、上位集合内の部分集合の補集合に関して閉じている。${\displaystyle A,B\in D}$${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle B\setminus A\in D;}$
3. ${\displaystyle D}$は可算増加和集合に関して閉じている。 が集合の増加列^[注1]である場合、${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots }$${\displaystyle D}$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$

任意のディンキンシステムが以下を満たすことは簡単に確認できます^[証明1]。 ${\displaystyle D}$

4. ${\displaystyle \varnothing \in D;}$
5. ${\displaystyle D}$は補集合に関して閉じている：ならば${\displaystyle \オメガ}$${\textstyle A\in D,}$${\displaystyle \Omega \setminus A\in D;}$
   • 撮影すると、${\displaystyle A:=\Omega }$${\displaystyle \varnothing \in D.}$
6. ${\displaystyle D}$は、対をなす互いに素な集合の可算な和集合に関して閉じている。 が（すべての に対してであることを意味する）対をなす互いに素な集合の列である場合、${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},\ldots }$${\displaystyle D}$${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.}$
   • 明確に言えば、この性質は、互いに素なペアの集合の有限列に対しても成り立ちます(すべての に対してとすることにより)。${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$${\displaystyle A_{i}:=\varnothing }$${\displaystyle i>n}$

逆に、条件 4 ～ 6 を満たす集合の族が Dynkin クラスであることは簡単に確認できます。^{[証明 2]} このため、少数の著者が条件 4 ～ 6 を採用して Dynkin システムを定義しています。

重要な事実は、 πシステムでもある(つまり、有限交差の下で閉じている) 任意の Dynkin システムは𝜎 代数であるということです。これは、条件 2 と 3 が有限交差の下での閉包と相まって有限和の下での閉包を意味し、それが今度は可算和の下での閉包を意味することに注目することで確認できます。

の部分集合の任意の集合が与えられたとき、を含む に関して最小である で表される唯一のディンキンシステムが存在する。つまり、を含む任意のディンキンシステムであれば、はによって生成されるディンキンシステムと呼ばれる 。例えば、 とと すると、${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle \オメガ,}$${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$${\displaystyle {\tilde {D}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}},}$${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.}$ ${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}.}$${\displaystyle D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.}$${\displaystyle \オメガ =\{1,2,3,4\}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}=\{1\}}$${\displaystyle D\{{\mathcal {J}}\}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}.}$

シェルピンスキー・ディンキンのπ -𝜆定理: ^[3] π系でディンキン系の 場合、${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P\subseteq D,}$${\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D.}$

言い換えれば、 によって生成される 𝜎-代数はに含まれます。したがって、ディンキン系がπ系を含むのは、そのπ系によって生成される 𝜎-代数が含まれる場合のみです。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle D.}$

シェルピンスキー＝ディンキンのπ -𝜆定理の応用例の1つは、区間の長さを評価する測度（ルベーグ測度として知られる）の一意性である。

をボレル集合上のルベーグ測度を持つ単位区間 [0,1] とします。を上の別の測度とし、 を満たす集合の族とします。 とし 、が有限交差で閉じていること、 であること、 がによって生成される 𝜎-代数であること に注目します。 がディンキン系に対して上記の条件を満たすことが示されます。 シェルピンスキー-ディンキンのπ -𝜆 定理から、は のすべてを含むことがわかり、これは 上でルベーグ測度が一意であることを示すことと同等です。 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}},\ell )}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle m[(a,b)]=ba,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S}$${\displaystyle m[S]=\ell [S].}$${\displaystyle I:=\{(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]:0<a\leq b<1\},}$${\displaystyle I}$${\displaystyle I\subseteq D,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle I.}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

π -𝜆定理は、累積分布関数の観点からランダム変数の確率分布の一般的な定義の根拠となります。ランダム変数の累積分布は と定義されます が、変数の一見より一般的な法則は確率測度 であり 、 はボレル 𝜎-代数であることを思い出してください。ランダム変数と(2 つの異なる可能性のある確率空間上)は、同じ累積分布関数を持つ場合、で示される分布(または法則) が等しくなります。つまり、 の場合です。定義の根拠は、 の場合、 となるという観察から来ています。つまり、 と は、を生成するπ -システムで一致するということです。したがって、上記の例により、 ${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ すべての }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y}.}$${\displaystyle F_{X}=F_{Y},}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}}$${\displaystyle \{(-\infty,a]:a\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.}$

ランダムベクトルの結合分布についても同様の結果が得られる。例えば、 と が、それぞれ生成されたπシステムを持つ同じ確率空間で定義された2つのランダム変数であるとする。 の結合累積分布関数は、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Y}.}$${\displaystyle (X,Y)}$$${\displaystyle F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .}$$

ただし、および はランダムなペアによって生成された π システムであるため、 π -𝜆 定理を 使用して、結合累積分布関数が の結合法則を決定するのに十分であることを示します。言い換えると、と が同じ分布を持つのは、それらが同じ結合累積分布関数を持つ場合のみです。 ${\displaystyle A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}}$${\displaystyle B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}}$$${\displaystyle (X,Y),}$${\displaystyle (X,Y).}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle (W,Z)}$

確率過程の理論では、2つの過程が分布において等しいとみなされるのは、すべての有限次元分布で一致する場合のみである。つまり、すべての${\displaystyle (X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}}$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,}$ $${\displaystyle \left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).}$$

この証明はπ -𝜆定理の別の応用である。^[4]

• 集合の代数 – 集合に関する同一性と関係
• δ環 – 可算交差に関して閉じた環
• 集合体 – 測度論における代数的概念。集合代数とも呼ばれる。
• 単調クラス – 定理Pages displaying wikidata descriptions as a fallbackPages displaying short descriptions with no spaces
• π系 – 交差に関して閉じた集合の族
• 集合の環 – 結合と相対的補集合の下で閉じた集合族
• σ-代数 – 集合代数の代数的構造
• 𝜎-イデアル – 部分集合と可算和集合に関して閉じた族
• 𝜎環 – 可算和集合に関して閉じた集合族

証明

• ガット、アラン（2005）。確率：大学院コース。Springer Texts in Statistics。ニューヨーク：Springer。doi ：10.1007/b138932。ISBN 0-387-22833-0。
• ビリングスリー、パトリック（1995年）。確率と測定。ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。ISBN 0-471-00710-2。
• ウィリアムズ、デイビッド（2007年）。マーチンゲール法による確率。ケンブリッジ大学出版局。193ページ。ISBN 978-0-521-40605-5。

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