時間を止める

確率論、特に確率過程の研究において、停止時間（マルコフ時間、マルコフモーメント、任意停止時間、任意時間^[1]とも呼ばれる）は、特定の種類の「ランダム時間」、つまり、与えられた確率過程が特定の興味のある動作を示す時間として値が解釈されるランダム変数である。停止時間は、停止規則によって定義されることが多く、停止規則は、現在の位置と過去のイベントに基づいてプロセスを続行するか停止するかを決定するメカニズムであり、ほとんどの場合、ある有限の時間に停止するという決定につながります。

停止時間は意思決定理論に登場し、オプション停止定理はこの文脈で重要な結果です。停止時間は、Chung が著書 (1982) で述べたように、「時間の連続性を制御する」ための数学的証明でも頻繁に適用されます。

を、の値を持つフィルタリングされた確率空間上で定義されるランダム変数とします。次の条件が満たされる場合、 は停止時間 (フィルタリングに関して) と呼ばれます。 ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} },P)}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{+\infty \}}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =(({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \{\tau =n\}\in {\mathcal {F}}_{n}}$全ての${\displaystyle n}$

直感的には、この条件は、時刻 に停止するかどうかの「決定」は、将来の情報ではなく、 時刻 に存在する情報のみに基づいて行われる必要があることを意味します。${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

を、 の値を持つフィルタリングされた確率空間上で定義されるランダム変数とします。ほとんどの場合、です。次の条件が満たされる場合、 は停止時間 (フィルタリングに関して) と呼ばれます。 ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T=[0,+\infty )}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$全ての${\displaystyle t\in T}$

を、の値を持つフィルタリングされた確率空間上で定義されるランダム変数とします。によって定義される確率過程が停止時間と呼ばれるとき、 ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$

${\displaystyle X_{t}:={\begin{cases}1&{\text{ if }}t<\tau \\0&{\text{ if }}t\geq \tau \end{cases}}}$

濾過に適応している${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$

著者によっては、が となる場合を明示的に除外している一方で、の閉包において が任意の値を取ることを許可している著者もいます。 ${\displaystyle \tau}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle T}$

停止規則となるランダムな時間の例とそうでないランダムな時間の例を示すために、典型的なハウスエッジでルーレットをプレイし、100 ドルから始めて各ゲームで赤に 1 ドルを賭けるギャンブラーを考えてみましょう。

• ちょうど 5 回のゲームをプレイすることは停止時間τ  = 5 に対応し、停止ルールとなります。
• お金がなくなるか、500 ゲームプレイするまでプレイするのが停止ルールです。
• 最大額を獲得するまでプレイすることは停止ルールではなく、停止時間も提供しません。これは、現在と過去だけでなく、将来に関する情報も必要となるためです。
• 資金が 2 倍になるまでプレイする (必要な場合は借りる)ことは、資金が 2 倍にならない可能性が高いため、停止ルールではありません。 ^{[説明が必要(トーク参照] ]}
• 有限時間内に停止する確率は 1 であるため、プレイするゲーム数に制限はないものの、資金が 2 倍になるか資金がなくなるまでプレイすることが停止ルールとなります。

より一般的な時間停止の定義を説明するために、確率過程 であるブラウン運動を考えてみましょう。ここで、各 は確率空間 上で定義されたランダム変数です。 を、 およびがボレル集合である形式のすべての集合によって生成されるσ代数とすることで、この確率空間でのフィルタリングを定義します。直感的には、事象Eが存在するのは、時刻 0 から時刻tまでのブラウン運動を観察するだけでEが真か偽かを判断できる場合のみです。 ${\displaystyle (B_{t})_{t\geq 0}}$${\displaystyle B_{t}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle (B_{s})^{-1}(A)}$${\displaystyle 0\leq s\leq t}$${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

• すべての定数は（当然のことながら）停止時間であり、「時間 で停止する」という停止規則に対応します。${\displaystyle \tau :=t_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$
• とすると、 はブラウン運動の停止時間となり、「ブラウン運動が値aに達するとすぐに停止する」という停止規則に対応します。${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$${\displaystyle \tau :=\inf\{t\geq 0\mid B_{t}=a\}}$
• 別の停止時間は で与えられます。これは、「ブラウン運動が長さ 1 時間単位の連続した範囲で正になるとすぐに停止する」という停止規則に対応します。${\displaystyle \tau :=\inf\{t\geq 1\mid B_{s}>0{\text{ for all }}s\in [t-1,t]\}}$
• 一般に、τ ₁と τ _{2 が}での停止時間である場合、それらの最小値、最大値、およびそれらの合計τ ₁  +  τ ₂も停止時間です。(これは差と積には当てはまりません。なぜなら、これらでは停止するタイミングを決定するために「未来を見る」必要がある場合があるからです。)${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\left\{{\mathcal {F}}_{t}\right\}_{t\geq 0},\mathbb {P} \right)}$${\displaystyle \tau _{1}\wedge \tau _{2}}$${\displaystyle \tau _{1}\vee \tau _{2}}$

上記の2番目の例のようなヒット時間は、停止時間の重要な例となり得る。基本的にすべての停止時間はヒット時間であることを示すのは比較的簡単であるが、 ^{[2]特定のヒット時間が停止時間であることを示すのははるかに難しい場合がある。後者のタイプの結果は、}デビュット定理として知られている。

停止時間は、確率過程の特定の特性を、必要な特性が局所的な意味でのみ満たされる状況に一般化するために頻繁に使用されます。まず、Xがプロセスで τ が停止時間である場合、X ^{τ は}、プロセスXが時間τで停止したことを表すために使用されます。

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$

そして、Xが局所的に何らかの性質Pを満たすとするには、停止時間τ _nの列が存在し、それが無限大まで増加し、その過程が

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

特性Pを満たす。時間インデックスがI = [0,∞)に設定されている一般的な例は次のとおりです。

局所マルチンゲール過程。過程Xが局所マルチンゲールであるとは、それがcàdlàg ^{[明確化が必要]}であり、かつ、無限大まで増加する 停止時間_τn のシーケンスが存在する場合である。

${\displaystyle \mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$

は各nに対するマルチンゲール です。

局所的に積分可能な過程。非負かつ増加する過程Xは、無限大まで増加する _停止時間τnの列が存在し、

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\mathbf {1} _{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}\right]<\infty }$

各nについて。

時間インデックスがI = [0,∞) に設定された停止時間は、いつ発生するかを予測できるかどうかに応じて、いくつかのタイプに分類されることが多いです。

停止時間τ は、τ > 0のときは常にτ _n < τ を満たす停止時間の増加シーケンスτ _nの極限に等しい場合、予測可能です。シーケンスτ _{n は}τ をアナウンスすると言われ、予測可能な停止時間はアナウンス可能と呼ばれることもあります。予測可能な停止時間の例としては、連続プロセスと適応プロセスのヒット時間があります。連続した実数値プロセスXが何らかの値aに等しい最初の時間がτである場合、それはシーケンスτ _nによってアナウンスされます。ここで、τ _{n は}、 Xがaの1/ nの距離内にある最初の時間です。

アクセス可能な停止時間は、予測可能な時間のシーケンスでカバーできる時間です。つまり、停止時間τは、P( τ = τ _n for some n ) = 1 の場合にアクセス可能であり、ここでτ _{n は}予測可能な時間です。

停止時間τ は、停止時間の増加シーケンスによって決して通知できない場合は完全にアクセス不可能です。同様に、予測可能なすべての時間σに対して P( τ = σ < ∞) = 0 です。完全にアクセス不可能な停止時間の例としては、ポアソン過程のジャンプ時間などがあります。

すべての停止時間τ は、アクセス可能な時間と完全にアクセス不可能な時間に一意に分解できます。つまり、σ < ∞の場合はτ = σ、υ < ∞の場合はτ = υ 、 σ = υ = ∞ の場合はτ = ∞ となるような、一意のアクセス可能な停止時間 σと完全にアクセス不可能な時間 υ が存在します。この分解結果の記述では、停止時間はほぼ確実に有限である必要はなく、∞ に等しい場合があることに注意してください。

医学の臨床試験では、試験がすでにエンドポイントを達成したかどうかを判断するために、中間解析が行われることがよくあります。ただし、中間解析では偽陽性の結果が出るリスクがあるため、中間解析の回数とタイミングを決定するために停止境界が使用されます (偽陽性率を示すアルファ支出とも呼ばれます)。R 回の中間テストのそれぞれで、尤度がしきい値 p を下回ると試験は停止されます。しきい値 p は使用される方法によって異なります。「逐次解析」を参照してください。

• 最適な停止
• オッズアルゴリズム
• 秘書問題
• 打撃時間
• プロセスを停止しました
• 障害の問題
• デビュット定理
• 逐次分析

• Thomas S. Ferguson、「秘書問題を解決したのは誰か?」Stat. Sci. vol. 4、282-296、(1989)。
• 時間を止めることの紹介。
• F. トーマス・ブラス、「オッズを 1 に合計して停止する」、確率年報、第 4 巻、1384–139​​1 ページ、(2000 年)
• チョン、カイライ (1982)。マルコフ過程からブラウン運動まで講義。 Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249。ニューヨーク州ニューヨーク州: Springer-Verlag。ISBN 978-0-387-90618-8。
• H. ヴィンセント・プアとオリンピア・ハジリアディス (2008)。『Quicket Detection』（初版）。ケンブリッジ、イギリス：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-62104-5。
• Protter, Philip E. (2005).確率積分と微分方程式. 確率モデルと応用確率第21号 (第2版 (バージョン2.1、第3刷訂正) ed.). ベルリン: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00313-7。
• Shiryaev, Albert N. (2007).最適停止規則. Springer. ISBN 978-3-540-74010-0。