平均

数値リストの算術平均（または単に平均）は、すべての数値の合計をその個数で割ったものです。同様に、標本の平均は${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$通常は、${\displaystyle {\bar {x}}}$は、サンプリングされた値の合計をサンプル内の項目の数で割ったものです。

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

例えば、4、36、45、50、75という5つの値の算術平均は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

幾何平均は、積に基づいて解釈される（成長率の場合など）正の数の集合に対して有用な平均であり、和に基づいて解釈される（算術平均の場合など）ものではありません。^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$

例えば、4、36、45、50、75という5つの値の幾何平均は次のようになります。

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

調和平均は、速度（つまり、単位時間あたりの距離）のように、何らかの単位に関連して定義された数値の集合に対して有用な平均です。

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

例えば、5つの値4、36、45、50、75の調和平均は

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

あるサイズのタンクをそれぞれ 4、36、45、50、75 分で空にできるポンプが 5 台ある場合、その調和平均は${\displaystyle 15}$ これら5つの異なるポンプが連携して作動すると、それぞれがタンクを空にできる5つのポンプと同じ速度でポンプを作動させることがわかります。${\displaystyle 15}$分。

非負の実数の AM、GM、および HM は、次の不等式を満たします: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

等号は、与えられた標本のすべての要素が等しい場合に成立する。

確率分布の平均とは、その分布を持つ確率変数の長期的な算術平均値のことです。確率変数を次のように表すとします。${\displaystyle X}$すると、平均は期待値とも呼ばれる。${\displaystyle X}$（表記）${\displaystyle E(X)}$)離散確率分布の場合、平均は次のように与えられる。${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$ここで、和は確率変数のすべての可能な値について取られ、${\displaystyle P(x)}$は確率質量関数です。連続分布の場合、平均は${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$、 どこ${\displaystyle f(x)}$は確率密度関数です。^{[ 7 ]}分布が離散的でも連続的でもない場合を含め、すべての場合において、平均は確率変数の確率測度に関するルベーグ積分です。平均は存在したり有限である必要はありません。一部の確率分布では平均は無限大（+ ∞または−∞ ）ですが、他の分布では平均は定義されていません。

一般化平均（べき平均またはヘルダー平均とも呼ばれる）は、他のいくつかの平均を抽象化したものである。正の数に対して定義される。${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$[ ^{1 ]​}

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}$.$

これは、${\displaystyle p}$は、$\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$だが、連続的に拡張できる${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$[ ^{8 ]} 異なる値を選択すること^で${\displaystyle p}$その他、よく知られた手段も取得される。

パワー平均と同様のアプローチは${\displaystyle f}$-平均、または準算術平均とも呼ばれる。単射関数の場合${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$間隔を置いて${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$実数${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$私たちは彼らの${\displaystyle f}$-意味する

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).}$

異なる機能を選択することで${\displaystyle f}$その他、よく知られた手段も取得される。