反転（音楽）

これは、 J.S.バッハの『平均律クラヴィーア曲集』第1巻のニ短調フーガから旋律の転回形をとった例です。 ^[1] 2つのメロディーは異なるピッチ（AとE）で始まりますが、2番目に強調表示されたメロディーは、最初に強調表示されたメロディーの上下逆バージョンです。つまり、最初のメロディーが上がると、 2番目は同じ数の全音階ステップで下がります（多少の半音階の変化あり）。また、最初のメロディーが下がると、2番目も同じ数の全音階ステップで上がります。

音楽理論において、転回形とは、音程、和音、メロディー、または対位法の音楽ラインのグループにおける上から下への要素の並べ替えである。^{[2]これらの各ケースにおいて、「転回形」は異なるが関連した意味を持つ。転回形の概念は、}音楽集合論においても重要な役割を果たしている。

音程を反転するには、どちらかの音を 1オクターブ以上上げたり下げたりして、高い方の音が低い方の音になり、その逆も同様です。たとえば、C とその上の E で構成される音程の反転 (下の 3 小節目) は、E とその上の C になります。これを実現するには、C を上に移動したり、E を下げたり、両方を移動したりします。

右の表は、反転による音程の質と音程数の変化を示しています。つまり、完全音程は完全のまま、長音程は短音程になり、短音程は長音程になり、増音程は減音程になります。(二重減音程は二重増音程になり、その逆も同様です。)

伝統的な音程の数字は合計すると 9 になります。つまり、2 度は 7 度になり、その逆も然り、3 度は 6 度になり、その逆も然り、という具合です。したがって、完全 4 度は完全 5 度になり、増 4 度は減 5 度になり、単純音程(つまり、オクターブより狭い音程) とその反転を足し合わせると、オクターブになります。補数 (音楽)も参照してください。

イギリスの作曲家ヒューバート・パリー（1897年）による賛美歌「ラスティントン」の最後のフレーズ^[3]。Cメジャーコードの3つのポジションすべてを示しています。^[a]数字記号の説明については、下の数字付き低音を参照してください。

コードの転回形は、コード内の最低音と他の音との関係を表します。たとえば、C メジャートライアドには C、E、G の音が含まれます。コードの転回形は、これらの音のうちどれがコード内の 最低音 (またはベース音) であるかによって決まります。

転回形という用語は、多くの場合、さまざまな可能性をカテゴリ的に指しますが、最低音がコードのルートではないコードのみに限定される場合もあります。この制限に従うテキストでは、代わりに位置という用語を使用して、すべての可能性をカテゴリとして参照する場合があります。

コードのルート音が最も低い場合、そのコードはルートポジションにあります。これは、転回形の親コードと呼ばれることもあります。たとえば、C メジャー トライアドのルート音は C なので、C が最も低い音で、3 番目と5 番目の音(それぞれ E と G) がその上にある場合、C メジャー トライアドはルートポジションにあります。または、まったく鳴らない場合もあります。

次の C メジャー トライアドは、最低音がルート音であるため、両方ともルート ポジションにあります。ベース音より上の音を異なるオクターブに再配置し (ここでは E 音)、音を重ねる (ここでは G) ことをボイシングといいます。最初のボイシングはクローズボイシングで、2 番目のボイシングはオープン ボイシングです。

転回したコードでは、ルートは最低音で はありません。転回形は、ルート位置に近いコードで最低音が現れる順序で番号が付けられます (下から上へ)。

上に示したように、C メジャー トライアド (または 3 つの音からなるコード) には 2 つの転回形があります。

1. 最初の転回形では、最低音は E (三和音の3 度) で、その上に 5 度と根音が重ねられ (根音は 1 オクターブ高くなります)、それぞれ E の転回されたベース音の上に短 3 度と短 6 度の音程が形成されます。
2. 第 2 転回形では、最低音は G (三和音の5 度) で、根音と 3 度はその上 (両方とも 1 オクターブ高くシフト) となり、それぞれ G の (転回形の) ベース音の 4 度と 6 度上になります。

4 つの音符を含むコード (セブンス コードなど) も同様に機能しますが、2 つではなく 3 つの転回形がある点が異なります。Gドミナント セブンス コードの 3 つの転回形は次のとおりです。

数字付き低音は、和音の転回をベース音の上または下にアラビア数字（数字）で示し、和声進行を示す記譜法です。各数字は、その上の声部から生じる音程を表します（通常はオクターブ相当と想定されます）。たとえば、ルートポジションの三和音C–E–Gでは、ベース音Cより上の音程は3度と5度であり、数字は次のようになります。⁵
₃この三和音が第1転回形（例えばE-G-C）であれば、⁶
₃ベース音 E の上に 3 度と 6 度の音程が現れるため、適用されます。

数字付き低音には慣例的な略語がいくつかある。例えば、ルートポジションの三和音は記号なしで表記される（⁵
₃理解される）、そして第一転回形の三和音は慣例的に⁶ではなく6と省略される。⁶
₃右の表にこれらの規則を示します。

数字付き低音の数字は、和音内のベース音に関連する個別の音程のみを表します。数字付き低音の数字は、進行のキーを参照しません (ローマ数字の和声分析とは異なります)。また、上声部のペア間の音程自体も表しません。たとえば、C–E–G の三和音では、数字付き低音は E–G 間の音程関係を意味しません。また、上声部でベース音と重複する音やベース音とユニゾンする音は表しません。

しかし、音楽理論では、単にコードの転回を指定するために、これらの数字が単独で（ベースなしで）使用されることがよくあります。これが、上記の「⁶
₄2 度転回形の三和音は「和音」と呼ばれます。同様に、和音分析では、I ⁶という用語は1 度転回形の主音三和音を指します。

ポピュラー音楽でよく使われるコード転回形の表記法は、コード名の後にスラッシュ、ベース音名の順に書くというものである。^[4]これはスラッシュコードと呼ばれる。例えば、第1転回形のCメジャーコード（ベースにEがある）は「C/E」と表記される。この表記法は、トライアドに存在しない音がベース音である場合でも機能する。例えば、F/G ^{[5]は、Fadd 9}コード（G–F–A–C）をボイシングする特定のアプローチを表記する方法である。これは機能の分析表記法とはまったく異なる。例えば、「IV/V」という表記法はドミナントのサブドミナントを表す。

コード記号の後に小文字を置いて、ルートの位置や転回形を示すことができる。^{[6] [ページが必要]}したがって、ハ長調のキーでは、第1転回形のハ長調コードはIbと表記され、コード I、第1転回形を示す。 （あまり一般的ではないが、コードのルートに小文字を付けて命名することもある：Cb ）。文字を追加しない場合は、 a が挿入されたか のように、コードはルート転回形であると見なされる。

ジャン＝フィリップ・ラモーの『和声論』（1722年）では、異なる転回形の和音は機能的に同等であるとされ、ラモーはそれらの根本的な類似性を認識した最初の人物とされている。^{[7] [8]初期の理論家は、} regola delle terze e seste （「六度と三度の規則」）などの別の説明を使用して異なる音程について語っていた。これは不完全な協和音を完全な協和音に解決することを必要とし、例えば、⁶
₄そして⁵
₃コード。

J.S.バッハのインヴェンション第13番イ短調BWV784の1小節における対位法の転回の例。

対位法の転回では、2つのメロディーが、以前一度伴奏した後、再び伴奏しますが、高音域にあったメロディーが今度は低音域になり、逆もまた同様です。声部を変える行為は、テクスチャ転回と呼ばれます。2つの声部が関係する場合は二重対位法、3つの声部が関係する場合は三重対位法と呼ばれます。2声の転回可能な対位法における転回は、リヴォルジメントとも呼ばれます。^[9]

このように対位法の規則に違反することなく展開できる主題は、転回対位法にあるといわれます。 転回対位法は、通常はオクターブですが、まれに 10 度や12 度など、さまざまな音程で発生します。 転回音程を計算するには、^{[説明が必要]}各声部が移動した音程を合計し、1 を引きます。 たとえば、高声部のモチーフA が 6 度下がり、低声部のモチーフ B が 5 度上がり、その結果 A と B の音域が入れ替わった場合、この 2 つは 10 度で二重対位法 になっています (6 + 5 – 1 = 10)。

J.S.バッハのフーガの技法では、第1カノンはオクターブ、第2カノンは第10、第3カノンは第12、第4カノンは増動と逆行である。他の例としては、 J.S.バッハの『平均律クラヴィーア曲集』第2巻のト短調のフーガ（2010-03-27にWayback Machineでアーカイブ）とロ長調[外部Shockwaveムービー]があり、どちらもオクターブ、第10、第12の位置に反転可能な対位法が含まれている。

たとえば、J.S.バッハの『平均律クラヴィーア曲集』第1巻のA ♭長調の鍵盤前奏曲では、9小節目から18小節目までの次の一節に、両手に1つずつ、計2本の線が含まれています。

このパッセージが25～35小節目に戻るとき、次の行が入れ替わります。

JS バッハの3 声のインヴェンション ヘ短調 BWV 795 では、 3 つのテーマの組み合わせを探求します。最初の 2 小節で 2 つのテーマが発表されます。3 つ目のアイデアが 3 小節目と 4 小節目に加わります。このパッセージが数小節後の 7 小節目と 9 小節目に繰り返されるときに、3 つのパートが入れ替わります。

この作品では、これら 3 つのラインを対位法で組み合わせる 6 つの可能な順列のうち 4 つを探求していきます。

可逆対位法の最も見事な例の 1 つは、モーツァルトの交響曲「ジュピター」 の終楽章です。ここでは、5 つ以上のテーマが同時に聞こえます。

この一節全体は、輝かしいオーケストラの楽曲の輝きの中で交響曲を締めくくります。トム・サービスによると、

モーツァルトが作曲したジュピター交響曲の終楽章は、音楽史と彼自身のパリンプセストである。音楽的業績として、その最も明白な先行作は、彼のト長調弦楽四重奏曲 K. 387のフーガの終楽章であるが、この交響曲の終楽章は、そのスケールと野心において、その作品さえも凌駕している。そのオペラ曲の第 1 楽章の物語が、本能的な感情を対位法的な経験に変えることであるならば、終楽章はまさにその逆を行い、作曲技術の最も複雑な技巧を純粋で爽快な感覚に変換している。ミヒャエルとヨーゼフのハイドンをモデルにしていることは疑いの余地がないが、モーツァルトは同時に彼らに敬意を表し、彼らを超越している。これこそが、私が真の独創性と呼ぶものである。^[10]

J.S.バッハの「平均律クラヴィーア曲集」第1巻よりト長調のフーガの2行。28 ～30小節の最低声部は、1～3小節の冒頭のメロディーの転回形です。

メロディーを反転するには、メロディーを「逆さま」にし、メロディーの輪郭を反転します。たとえば、元のメロディーの長三度が上昇している場合、反転したメロディーは長三度が下降します (または、特に調性音楽では、短三度が下降する場合があります)。

ハーバード音楽辞典によると、「連続する音程の間隔は正確のままである場合もあれば、調性音楽ではより一般的には全音階の同等のものである場合もある。したがって、c'–d–e' は c'–b–a （最初の下降は全音ではなく半音）になる場合があり、c'–b ♭ –a ♭になるわけではない。」^[11]さらに、転回形は元のメロディーと同じピッチで始まる場合もありますが、右の例に示すように、そうである必要はありません。

十二音技法では、音列の転回形は4 つの伝統的な順列のうちの 1 つです(他の 3 つは、基本形、逆行形、逆行転回形です)。アルノルド シェーンベルクの管弦楽変奏曲、作品 31で使用されている音列の 4 つの順列 (基本形、逆行形、転回形、逆行転回形と表示)を以下に示します。

集合論では、逆演算は と表記されることがある。ここで は「反転」を意味し、 は「半音の数で測定されるある間隔で転置する」ことを意味する。したがって、反転は反転とそれに続く転置の組み合わせである。反転演算 を適用するには、整数表記のピッチクラス を12 から減算する（慣例により、反転はピッチクラス 0 の周囲で行われる）。次に、を加算して転置演算を適用する。たとえば、 を計算するには、まず 12 から 3 を減算して（9 になる）、次に 5 を加算して（14 になり、これは 2 に等しい）。したがって、 となる。^[12]ピッチのセットを反転するには、セット内の各ピッチを順番に反転するだけである。^[13]${\displaystyle T_{n}I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle I}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{5}I(3)}$${\displaystyle T_{5}I(3)=2}$

集合論において、反転同値性は、音程、和音、その他の音高のセットは反転しても同じであるという概念である。 ^{[要出典]これは、}異名同値性、オクターブ同値性、さらには移調同値性に似ている。反転同値性は調性理論ではほとんど使用されないが、互いに反転できるセットはわずかに共通していると想定されている。ただし、音楽集合論では、それらは同一またはほぼ同一であると想定されているだけである。

セットが反転対称であるとは、反転によってそれ自身に写像される場合である。セットが反転されるピッチは、対称軸（または中心）と呼ばれる。軸は、特定のピッチにある場合もあれば、2 つのピッチの中間にある場合もある（微分音が使用されていないと仮定）。たとえば、セット C–E ♭ –E–F ♯ –G–B ♭は、セットが F ♯ –G–B ♭ –C–E ♭ –Eと記載されている場合、F に軸があり、3 音離れた B に軸があります。別の例として、セット C–E–F–F ♯ –G–B は、F ♯ –G–B–C–E–F と記載されている場合、 2 音階F/F ♯に軸があり、B/C に軸があります。^[14]

「きらきら星」のCとAに関するピッチ軸反転

ジャズ理論では、ピッチ軸はメロディーが反転する中心となる。^[15]

「ピッチ軸」は、転置が転置の後に実行される複合操作転置反転のコンテキストで機能します。ただし、集合論とは異なり、転置は半音階または全音階の転置である可能性があります。したがって、DAG (P5 上、M2 下) が DGA (P5 下、M2 上) に転置されると、「ピッチ軸」は D になります。ただし、CFG に転置されるとピッチ軸は G になり、ピッチ軸が A の場合、メロディーは EAB に転置されます。

オクターブ位置の表記によって、軸を共有する線とスペースの数が決まります。DAG とその反転 ADE のピッチ軸は、C/B ♮の間か、単一のピッチ F の間にあるように見えます。

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