光学的等価定理

量子光学における光学的等価定理は、ヒルベルト空間における演算子の期待値と、準確率分布に関する位相空間定式化における関連関数の期待値との間の等価性を主張する。この定理は、1963年にジョージ・スダルシャンによって正規順序演算子に対して初めて報告され^[1]、その10年後には任意の順序に一般化された。^{[2] [3] [4] [5]}

Ω を非可換な生成消滅演算子の順序とし、を生成消滅演算子のべき級数として表現でき、順序 Ω を満たす演算子とします。このとき、光学的等価定理は次のように簡潔に表現されます。 ${\displaystyle g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger })}$

ここで、α はコヒーレント状態における消滅演算子の固有値であると理解され、形式的にはgのべき級数展開に置き換えられます。上記の式の左辺はヒルベルト空間における期待値であり、右辺は準確率分布に関する期待値です。

より明確にするために、これらをそれぞれ明示的に書きます。を密度演算子とし、をΩの順序逆数とします。Ωに関連する準確率分布は、少なくとも形式的には、次のように表されます。 ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$${\displaystyle {\bar {\オメガ }}}$

${\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{\pi }}\int f_{\bar {\Omega }}(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha .}$

上記の式は

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{\Omega }({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int f_{\bar {\オメガ }}(\アルファ ,\アルファ ^{*})g_{\オメガ }(\アルファ ,\アルファ^{*})\,d^{2}\alpha .}$

たとえば、Ω を正規順序とします。これは、g が次の形式のべき級数で表せることを意味します。

${\displaystyle g_{N}({\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}})=\sum _{n,m}c_{nm}{\hat {a}}^{\dagger n}{\hat {a}}^{m}.}$

正規分布に関連する準確率分布は、グラウバー・スダルシャンP表現である。この表現では、次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {tr} ({\hat {\rho }}\cdot g_{N}({\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }))=\int P(\alpha )g(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha .}$

この定理は、量子光学における正規順序演算子の期待値と古典光学における対応する複素数との間の形式的な等価性を意味します。