双線形時間頻度分布

双線形時間周波数分布、または二次時間周波数分布は、時間周波数信号処理と呼ばれる信号解析および信号処理のサブフィールド、および時系列データの統計解析で使用されます。このような方法は、信号の周波数構成が時間の経過とともに変化する可能性がある状況に対処する必要がある場合に使用されます。^[1]このサブフィールドは、以前は時間周波数信号解析と呼ばれていましたが、これらの方法が幅広い信号処理の問題に使用されるようになったため、現在では時間周波数信号処理と呼ばれることが多くなっています。

信号解析と時系列解析の両方における時系列解析法は、時間領域または周波数領域のいずれかに適用可能で、その領域に基づく本質的に別々の方法論として開発されてきました。時間周波数解析技術では混合アプローチが必要であり、これは特に、周波数分布と振幅が時間とともに変化する非定常信号の解析に効果的です。これらの例としては、音響信号があります。 「2 次時間周波数分布」（または双線形時間周波数分布）のクラスは、時間周波数信号解析に使用されます。このクラスは、1966 年に量子力学のコンテキストで使用された Cohen のクラス分布関数と定式化が似ています。この分布関数は、双線形変換を使用する一般化された時間周波数表現と数学的に類似しています。短時間フーリエ変換(STFT)などの他の時間周波数解析手法と比較すると、双線形変換 (または 2 次時間周波数分布) は、ほとんどの実用的な信号に対して明確性が高くない可能性がありますが、新しい定義と新しい方法を調査するための代替フレームワークを提供します。多成分信号を解析する場合、固有のクロスターム汚染の影響を受けますが、慎重に選択されたウィンドウ関数を使用することで、解像度を犠牲にして干渉を大幅に軽減できます。これらの双線形分布はすべて相互に変換可能です (時間周波数解析における分布間の変換を参照) 。

ウィグナー・ヴィル分布は、次式で与えられる局所的な時間周波数エネルギーを測定する二次形式です。

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)f^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }\,d\tau }$

ウィグナー・ヴィル分布は、τでエルミート対称性を持つf ( u  +  τ /2)· f *( u  −  τ /2 )のフーリエ変換であるため、実数のままです。また、パーセバルの公式を適用して周波数積分として表すこともできます。

${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}\left(\xi +{\tfrac {\gamma }{2}}\right){\hat {f}}^{*}\left(\xi -{\tfrac {\gamma }{2}}\right)e^{i\gamma u}\,d\gamma }$

命題1. L ² (R) 内の任意のfに対して

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}}$

モヤル定理。L ² (R) のfとgについて、

${\displaystyle 2\pi \left|\int _{-\infty }^{\infty }f(t)g^{*}(t)\,dt\right|^{2}=\iint {P_{V}f(u,\xi )}P_{V}g(u,\xi )\,du\,d\xi }$

命題 2 (時間周波数サポート)。f がコンパクトなサポートを持つ場合、すべてのξに対してuに沿ったのサポートはfのサポートに等しくなります。同様に、 がコンパクトなサポートを持つ場合、すべてのuに対してξに沿ったのサポートはのサポートに等しくなります。${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle P_{V}f(u,\xi )}$${\displaystyle {\hat {f}}}$

命題 3（瞬間周波数）。${\displaystyle f_{a}(t)=a(t)e^{i\phi (t)}}$

${\displaystyle \phi '(u)={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }\xi P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }{\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f_{a}(u,\xi )d\xi }}}$

を合成信号と すると、次のように書ける。${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}}$

${\displaystyle P_{V}f=P_{V}f_{1}+P_{V}f_{2}+P_{V}\left[f_{1},f_{2}\right]+P_{V}\left[f_{2},f_{1}\right]}$

どこ

${\displaystyle P_{V}[h,g](u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }h\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)g^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-i\tau \xi }d\tau }$

は2つの信号の交差ウィグナー・ヴィル分布である。干渉項

${\displaystyle I[f_{1},f_{2}]=P_{V}[f_{1},f_{2}]+P_{V}[f_{2},f_{1}]}$

は、平面上の予期しない位置（原点に近い位置）にゼロ以外の値を生成する実関数です。実信号に存在する干渉項は、解析部分を計算すると回避できます。 ${\displaystyle (u,\xi )}$${\displaystyle f_{a}(t)}$

干渉項は振動的であり、周辺積分は消え、カーネル θで平滑化することで部分的に除去できる。${\displaystyle P_{V}f}$

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }{\int _{-\infty }^{\infty }{P_{V}f(u',\xi ')}}\theta (u,u',\xi ,\xi ')\,du'\,d\xi '}$

この分布の時間周波数分解能は、カーネルθの近傍での広がりに依存する。干渉は負の値を取るので、次の式を課すことですべての干渉が除去されることを保証できる。 ${\displaystyle (u,\xi )}$

${\displaystyle P_{\theta }f(u,\xi )\geq 0,\qquad \forall (u,\xi )\in {{\mathbf {R} }^{2}}}$

スペクトログラムとスカログラムは、正の時間周波数エネルギー分布の例です。線形変換を時間周波数原子の族に対して定義します。任意の に対して、時間周波数の中心が である唯一の原子が存在します。結果として得られる時間周波数エネルギー密度は、 ${\displaystyle Tf(\gamma )=\left\langle f,\phi _{\gamma }\right\rangle }$${\displaystyle \left\{\phi _{\gamma }\right\}_{\gamma \in \Gamma }}$${\displaystyle (u,\xi )}$${\displaystyle \phi _{\gamma (u,\xi )}}$${\displaystyle (u,\xi )}$

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )=\left|\left\langle f,\phi _{\gamma (u,\xi )}\right\rangle \right|^{2}}$

モヤルの式から、

${\displaystyle P_{T}f(u,\xi )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }P_{V}f(u',\xi ')P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')\,du'\,d\xi '}$

これはウィグナー・ヴィル分布の時間周波数平均である。したがって、平滑化カーネルは次のように記述できる。

${\displaystyle \theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')}$

時間周波数分解能の損失は、 の近傍における分布の広がりに依存します。 ${\displaystyle P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')}$${\displaystyle (u,\xi )}$

ウィンドウ化されたフーリエ原子で計算されたスペクトログラム、

${\displaystyle \phi _{\gamma (u,\xi )}(t)=g(t-u)e^{i\xi t}}$

${\displaystyle \theta (u,u',\xi ,\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}\phi _{\gamma (u,\xi )}(u',\xi ')={\frac {1}{2\pi }}P_{V}g(u'-u,\xi '-\xi )}$

したがって、スペクトログラムの場合、ウィグナー・ヴィル平均化は との 2 次元畳み込みです。 g がガウスウィンドウの場合、は 2 次元ガウスです。これは、十分に広いガウスで平均化すると、正のエネルギー密度が定義されることを証明しています。任意のカーネルθで畳み込むことによって得られる時間周波数分布の一般的なクラスは、以下で説明するコーエンのクラスと呼ばれます。 ${\displaystyle P_{V}g}$${\displaystyle P_{V}g}$${\displaystyle P_{V}f}$${\displaystyle P_{V}f}$

ウィグナーの定理。次の時間と周波数の周辺積分を満たす 正の二次エネルギー分布Pfは存在しません。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }Pf(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

コーエンの双線形（または二次）時間周波数分布のクラスの定義は次のとおりです。

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,}$

ここで、は曖昧性関数(AF)であり、これについては後で説明します。 はCohen の カーネル関数であり、これは多くの場合ローパス関数であり、通常は干渉をマスクする役割を果たします。元の Wigner 表現では、 です。 ${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )}$${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )}$${\displaystyle \Phi \equiv 1}$

同等の定義は、AFの代わりに ウィグナー分布関数（WD）の畳み込みに依存します。

${\displaystyle C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\theta ,\nu )\Pi (t-\theta ,f-\nu )\,d\theta \,d\nu =[W_{x}\ast \Pi ](t,f)}$

ここで、カーネル関数は、あいまいさの領域ではなく、時間周波数領域で定義されます。元のウィグナー表現では、 です。2 つのカーネルの関係は、WD と AF の関係、つまり 2 つの連続するフーリエ変換と同じです (図を参照)。 ${\displaystyle \Pi (t,f)}$${\displaystyle \Pi =\delta _{(0,0)}}$

${\displaystyle \Phi ={\mathcal {F}}_{t}{\mathcal {F}}_{f}^{-1}\Pi }$

つまり

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Pi (t,f)\exp(-j2\pi (t\eta -f\tau ))\,dt\,df,}$

または同等

${\displaystyle \Pi (t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau .}$

双線形（または二次）時間周波数分布のクラスは、以下で説明する 曖昧性関数の観点から最も簡単に理解できます。

定常プロセスの場合の よく知られたパワースペクトル密度 と信号自己相関関数を考えてみましょう。これらの関数の関係は次のとおりです。${\displaystyle P_{x}(f)}$${\displaystyle R_{x}(\tau )}$

${\displaystyle P_{x}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\,dt.}$

非定常信号の場合、これらの関係は、時間依存のパワースペクトル密度、または同等の有名なウィグナー分布関数を使用して次のように一般化できます。 ${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,}$

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right).}$

自己相関関数のフーリエ変換をτではなくtに関して行うと、次のような曖昧さ関数が得られます。

${\displaystyle A_{x}(\eta ,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j2\pi t\eta }\,dt.}$

ウィグナー分布関数、自己相関関数、および曖昧性関数の関係は、次の図で示されます。

双線形（または二次）時間頻度分布の定義をウィグナー分布関数の定義と比較すると、後者は前者の特殊なケースであることが簡単にわかります。あるいは、カーネル関数を選択した場合、双線形（または二次）時間頻度分布はウィグナー分布関数のマスクされたバージョンと見なすことができます。適切に選択されたカーネル関数は、ウィグナー分布関数の望ましくない交差項を大幅に削減できます。 ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=1}$${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )\neq 1}$

追加のカーネル関数の利点は何ですか? 次の図は、あいまいさ分布関数とウィグナー分布関数の両方におけるマルチコンポーネント信号の自動項と交差項の分布を示しています。

一般に、多成分信号の場合、そのウィグナー分布関数内の自己項と交差項の分布は予測不可能であるため、交差項を簡単に除去することはできません。ただし、図に示すように、あいまいさ関数の場合、多成分信号の自己項は本質的に ητ平面で原点に近づく傾向があり、交差項は原点から離れる傾向があります。この特性により、適切なローパス カーネル関数をητ領域に適用すると、交差項を簡単に除去できます。以下は、交差項がどのように除去されるかを示す例です。

のフーリエ変換は ${\displaystyle \theta (u,\xi )}$

${\displaystyle {\hat {\theta }}(\tau ,\gamma )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\theta (u,\xi )e^{-i(u\gamma +\xi \tau )}\,du\,d\xi }$

次の命題は、ウィグナー・ヴィル分布のような限界エネルギー特性を満たす ことを保証するための必要十分条件を与えます。${\displaystyle P_{\theta }}$

命題:限界エネルギー特性

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,d\xi =2\pi |f(u)|^{2},}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }P_{\theta }f(u,\xi )\,du=|{\hat {f}}(\xi )|^{2}}$

すべてに対して満たされるのは、 ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \forall (\tau ,\gamma )\in \mathbf {R} ^{2}:\qquad {\hat {\theta }}(\tau ,0)={\hat {\theta }}(0,\gamma )=1}$

前述のように、ウィグナー分布関数は、カーネル関数を持つ2次時間周波数分布（QTFD）のクラスのメンバーです。ウィグナー分布の定義は次のとおりです。 ${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=1}$

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\tfrac {\tau }{2}}\right)x^{*}\left(t-{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau .}$

スケーリング特性を満たす時間周波数エネルギー分布を設計することができる。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)\longleftrightarrow P_{V}f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right)}$

ウィグナー・ヴィル分布も同様である。

${\displaystyle g(t)={\frac {1}{\sqrt {s}}}f\left({\tfrac {t}{s}}\right)}$

それから

${\displaystyle P_{\theta }g(u,\xi )=P_{\theta }f\left({\tfrac {u}{s}},s\xi \right).}$

これは、

${\displaystyle \forall s\in \mathbf {R} ^{+}:\qquad \theta \left(su,{\tfrac {\xi }{s}}\right)=\theta (u,\xi ),}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \theta (u,\xi )=\theta (u\xi ,1)=\beta (u\xi )}$

Rihaczek 分布と Choi–Williams 分布は、アフィン不変 Cohen 類分布の例です。

チェイ・ウィリアムズ分布の核は次のように定義されます。

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp(-\alpha (\eta \tau )^{2}),}$

ここで、αは調整可能なパラメータです。

Rihaczek 分布のカーネルは次のように定義されます。

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )=\exp \left(-i2\pi {\frac {\eta \tau }{2}}\right),}$

この特定のカーネルでは、簡単な計算で次のことが証明されます。

${\displaystyle C_{x}(t,f)=x(t){\hat {x}}^{*}(f)e^{i2\pi tf}}$

円錐形分布関数のカーネルは次のように定義されます。

${\displaystyle \Phi (\eta ,\tau )={\frac {\sin(\pi \eta \tau )}{\pi \eta \tau }}\exp \left(-2\pi \alpha \tau ^{2}\right),}$

ここで、α は調整可能なパラメータです。時間周波数解析における分布間の変換を参照してください。このような QTFD の詳細と完全なリストについては、例えば、引用した Cohen のテキストを参照してください。

非定常過程の時間変動スペクトルは、期待されるウィグナー・ヴィル分布から定義されます。局所的に定常な過程は、時間とともにゆっくりと変化するメカニズムによってランダムな変動が生成される多くの物理システムに現れます。このような過程は、局所的に定常過程によって近似できます。共分散を持つ実数値ゼロ平均過程を とします。 ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle R(t,s)=E[X(t)X(s)]}$

共分散演算子Kは任意の決定論的信号に対して次のように 定義される。${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbf {R} )}$

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }R(t,s)f(s)\,ds}$

局所的に定常なプロセスの場合、 Kの固有ベクトルはWigner-Ville スペクトルによってよく近似されます。

共分散の特性は、およびの関数として研究されます。 ${\displaystyle R(t,s)}$${\displaystyle \tau =t-s}$${\displaystyle u={\frac {t+s}{2}}}$

${\displaystyle R(t,s)=R\left(u+{\tfrac {\tau }{2}},u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)=C(u,\tau )}$

共分散が のみに依存する場合、プロセスは広義の定常です。 ${\displaystyle \tau =t-s}$

${\displaystyle Kf(t)=\int _{-\infty }^{\infty }C(t-s)f(s)\,ds=C*f(t)}$

固有ベクトルは複素指数であり、対応する固有値はパワースペクトルによって与えられる。 ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle P_{X}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }C(\tau )e^{-i\omega \tau }\,d\tau }$

非定常過程に対して、マーティンとフランドリンは時間変動スペクトルを導入した。

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }C(u,\tau )e^{-i\xi \tau }\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }E\left[X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right]e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

収束の問題を避けるために、 X はコンパクトサポートを持ち、 はにおいてコンパクトサポートを持つと仮定します。上から次のように書けます。 ${\displaystyle C(u,\tau )}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle P_{X}(u,\xi )=E[P_{V}X(u,\xi )]}$

これは、時間変動スペクトルがプロセスXのウィグナー・ヴィル変換の期待値であることを証明している。ここで、ウィグナー・ヴィル確率積分は平均二乗積分として解釈される：^[2]

${\displaystyle P_{V}(u,\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{X\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)X\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)\right\}e^{-i\xi \tau }\,d\tau }$

• L. コーエン、 「時間周波数分析」、Prentice-Hall、ニューヨーク、1995 年。ISBN 978-0135945322 
• B. Boashash 編、「時間周波数信号分析および処理 - 包括的なリファレンス」、Elsevier Science、オックスフォード、2003 年。
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