主対角線

線型代数において、行列の主対角線（主対角線、第 1 対角線、主対角線、長対角線、または良対角線と呼ばれることもある）は、 となる要素のリストです。対角行列では、非対角要素はすべて0です。次の 4 つの行列の主対角線は赤で示されています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle i=j}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0\\0&0&\color {red}{1}\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {red}{1}&0&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&\color {red}{1}&0&0\\0&\color {赤}{1}&0\\0&0&0&\color {赤}{1}\end{bmatrix}}\qquad }$$

正方行列の場合、対角線（または主対角線）は、左上隅から右下隅まで伸びる要素の対角線です。^{[1] [2] [3]}行インデックスが で指定され、列インデックスが で指定される行列の場合、これらはの要素になります。たとえば、単位行列は、主対角線上に 1 の要素があり、他の場所に 0 の要素があると定義できます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

行列のトレースは対角要素の合計です。

右上から左下への対角線は、マイナー対角線または反対角線と呼ばれることもあります。

非対角要素は主対角線上にない要素である。対角行列とは、非対角要素がすべてゼロである行列のことである。^{[4] [5]}

上対角要素は、主対角線の真上と右側にある要素です。^{[6] [7]}対角要素がである要素であるのと同様に、上対角要素は である要素です。たとえば、次の行列のゼロ以外の要素はすべて上対角線上にあります。 ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

同様に、下対角要素は主対角線のすぐ下と左側にある要素、つまりを持つ要素です。^[8] 一般的な行列の対角要素は、主対角線を基準として測定されたインデックスによって指定できます。主対角要素は を持ち、上対角要素は を持ち、下対角要素は を持ち、一般に、 -対角要素はを持つ要素で構成されます。 ${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=0}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle j=i+k}$

帯行列とは、非ゼロ要素が対角帯に制限される行列です。三重対角行列では、主対角要素、上対角要素、下対角要素のみが非ゼロになります。

次数正方行列の反対角成分（反対角成分、第2 対角成分(*)、後続対角成分、副対角成分、非対角成分、または不良対角成分と呼ばれることもある）は、すべての に対してとなるような成分の集合です。つまり、右上隅から左下隅まで伸びています。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle b_{i,j}}$${\displaystyle i+j=N+1}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {red}{1}\\0&\color {red}{1}&0\\\color {red}{1}&0&0\end{bmatrix}}}$

(*)二次対角線(および後続対角線、副対角線、非対角線) は、主対角線に平行な(別名k番目) 対角線、つまり、k =1、2、3、... などの非ゼロの対角線も意味することが非常に多くあります。より一般的かつ普遍的に、行列の非対角要素とは、主対角線上にないすべての要素、つまり、異なるインデックスi ≠ jを持つ要素のことです。 ${\displaystyle A_{i,\,i\pm k}}$

• トレース

• ブロンソン、リチャード（1970）、マトリックス法：入門、ニューヨーク：アカデミックプレス、LCCN  70097490
• カレン、チャールズ G. (1966)、「行列と線形変換」、Reading: Addison-Wesley、LCCN  66021267
• Herstein, IN (1964)、Topics In Algebra、ウォルサム：Blaisdell Publishing Company、ISBN 978-1114541016
• ネリング、エヴァー・D.（1970）、線形代数と行列理論（第2版）、ニューヨーク：ワイリー、LCCN  76091646
• Weisstein、Eric W.「主対角線」。MathWorld。