5単体

5次元 幾何学において、5単体は自己双対正 多面体である。6つの頂点、15の辺、20の三角形の面、15の四面体セル、および6つの5セル ファセットを持つ。二面角はcos ⁻¹（⁠1/5⁠）、または約78.46°です。

5 単体は、15 本のマッチ棒を使用して 20 個の正三角形を作成するという問題の解決策です。各三角形の各辺は、正確に 1 本のマッチ棒です。

5 次元の 6 面体多面体として、ヘキサトロン または ヘキサ 5 トープ と呼ばれることもあります。ヘキサトロンという名前は、6つの面を持つことを意味するhexa-と、 4 次元の面を持つことを意味するteron ( ter-はtetra-の訛り) に由来しています。

ジョナサン・バウワーズによれば、ヘキサテロンはhixという頭字語で呼ばれている。^[1]

この配置行列は5 単体を表します。行と列は頂点、辺、面、セル、4 面に対応します。対角の数字は、5 単体全体で各要素がいくつ出現するかを示します。非対角の数字は、列の要素が行の要素内または行の要素でいくつ出現するかを示します。この自己双対単体の行列は、180 度回転したものと同じです。^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}6&5&10&10&5\\2&15&4&6&4\\3&3&20&3&3\\4&6&4&15&2\\5&10&10&5&6\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

ヘキサトロンは、 5 つのセルの他のすべての頂点から等距離になるように 6 番目の頂点を追加することで、 5 つのセルから構築できます。

原点中心で辺の長さが 2 の正六角形の頂点の 直交座標は次 のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {6}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {6}}},\ -{\tfrac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ {\tfrac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}},\ 0,\​​ 0\right)\\[5pt]&\left({\tfrac {1}{\sqrt {15}}},\ -{\tfrac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)\\[5pt]&\left(-{\tfrac {\sqrt {5}}{\sqrt {3}}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)\end{aligned}}}$

5 次元単体の頂点は、 (0,0,0,0,0,1)または(0,1,1,1,1,1)の順列として、6 次元空間の超平面上に簡単に配置できます。これらの構成は、それぞれ6 次元正多面体または修正された 6 次元立方体の面として見ることができます。

対称性の低い形式は、[3,3,3]対称位数が120の5セルピラミッド{3,3,3}∨( )であり、 4次元空間超平面内の5セルの底部と超平面上の頂点として構築されます。ピラミッドの5つの側面は5セルのセルで構成されています。これらは、切り取られた6次元立方体のような、切り取られた正6次元多面体の頂点図形として見られます。

もう 1 つの形式は {3,3}∨{ } で、[3,3,2,1] 対称順序が 48 で、直交二角形と四面体の結合が直交オフセットされ、その間のすべての頂点のペアが接続されています。もう 1 つの形式は {3}∨{3} で、[3,2,3,1] 対称順序が 36 で、拡張対称 [[3,2,3],1]、順序が 72 です。これは、2 つの直交三角形の結合が直交オフセットされ、その間のすべての頂点のペアが接続されていることを表します。

形式 { }∨{ }∨{ } は対称性 [2,2,1,1]、順序 8 を持ち、3 つのセグメントを [3[2,2],1] または [4,3,1,1]、順序 48 に並べ替えることで拡張されます。

これらは、二面切断および三面切断された正則 6 次元多面体の頂点図、例えば二面切断 6 次元立方体や三面切断 6 次元単体に見られます。ここでの辺ラベルは、その方向に沿った面の種類を表し、異なる辺の長さを表します。

全切頂5単体ハニカムの頂点図形、は、5つの長辺を持つペトリ多角形サイクルを持つ5次元単体です。その対称性は、二面体群Dih ₆または単純回転群[6,2] ⁺ （位数12）と同型です。

2 つの 5 単体の双対構成の合成は、赤と青の 5 単体の頂点と辺を持つこの A6コクセター平面投影で確認できます。この合成は [[3,3,3,3]] 対称性を持ち、次数は 1440 です。これら 2 つの 5 単体の交差は、均一な双対 5 単体です。=∩。

これは、コクセターによって1 _3k級数として表現された、一様な多面体とハニカムの次元級数の最初のものです。 退化した 4 次元のケースは、3 球のタイリング、四面体細面体として存在します。

これは、コクセターによって3 _k1級数として表現された、一様な多面体とハニカムの次元級数の最初のものです。 退化した 4 次元のケースは、3 球のタイリング、四面体二面体として存在します。

5 次元単体は、 2 ₂₀多面体として、次元数列 2 _2kで最初になります。

正 5 単体は、 [3,3,3,3]コクセター群に基づく19 個の均一多面体の 1 つであり、ここではすべて₅コクセター平面正投影で示されています。(頂点は投影の重なり順で色分けされており、頂点の数が多い順に赤、オレンジ、黄、緑、シアン、青、紫となっています)

• 11セル

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• さまざまな次元の多面体、ジョナサン・バワーズ
• 多次元用語集