カレー

数学やコンピュータサイエンスにおいて、カリー化（ハスケル・カリーにちなんで名付けられた）とは、複数の引数を取る関数を、それぞれが単一の引数を取る関数の集合に変換する手法である。

典型的な例では、関数から始めます。${\displaystyle f:(X\times Y)\to Z}$これは 2 つの引数を取ります。1 つは${\displaystyle X}$そして1つは${\displaystyle Y,}$そしてオブジェクトを生成する${\displaystyle Z.}$この関数のカリー化形式は、最初の引数をパラメータとして扱い、関数群を作成します。${\displaystyle f_{x}:Y\to Z.}$家族は各オブジェクトに対して次のように配置されます${\displaystyle x}$で${\displaystyle X,}$関数は1つだけあります${\displaystyle f_{x}}$任意の${\displaystyle y}$で${\displaystyle Y}$、${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$。

この例では、${\displaystyle {\mbox{curry}}}$それ自体が関数となり、${\displaystyle f}$引数として渡され、各要素をマッピングする関数を返します。${\displaystyle x}$に${\displaystyle f_{x}.}$これを表現する適切な表記法は冗長です。${\displaystyle f}$関数の集合に属する${\displaystyle (X\times Y)\to Z.}$ その間、${\displaystyle f_{x}}$関数の集合に属する${\displaystyle Y\to Z.}$つまり、地図${\displaystyle x}$に${\displaystyle f_{x}}$次のようなものになります${\displaystyle X\to [Y\to Z].}$この表記法では、${\displaystyle {\mbox{curry}}}$これは、最初のセットからオブジェクトを受け取り、2番目のセットのオブジェクトを返す関数なので、次のように書きます。${\displaystyle {\mbox{curry}}:[(X\times Y)\to Z]\to (X\to [Y\to Z]).}$これはやや非公式な例です。「対象」と「機能」の意味に関するより正確な定義は後述します。これらの定義は文脈によって異なり、扱う理論によっても形が変わります。

カリー化は部分適用と関連していますが、同じではありません。^{[ 1 ] [ 2 ]}上記の例は部分適用を説明するために使用できます。非常によく似ています。部分適用は関数です。${\displaystyle {\mbox{適用}}}$ペアを取る${\displaystyle f}$そして${\displaystyle x}$引数としてまとめて返され、${\displaystyle f_{x}.}$上記と同じ表記法を用いると、部分適用は次の式で表される。${\displaystyle {\mbox{apply}}:([(X\times Y)\to Z]\times X)\to [Y\to Z].}$このように記述すると、適用はカリー化に付随するものと見なすことができる。

2つ以上の引数を持つ関数のカリー化は、帰納法によって定義できる。

カリー化は、実用的および理論的な両方の場面で役立ちます。関数型プログラミング言語やその他多くの言語では、関数や例外に引数を渡す方法を自動的に管理する方法を提供します。理論計算機科学では、引数が1つしかないより単純な理論モデルで、複数の引数を持つ関数を研究する方法を提供します。カリー化と非カリー化の厳密な概念の最も一般的な設定は、閉じたモノイド圏にあり、これは、証明とプログラムのカリー・ハワード対応を量子力学、コボルディズム、弦理論など、他の多くの構造との対応に大きく一般化することの基礎となっています。^{[ 3 ]}

カレー風味という概念はゴットロープ・フレーゲによって導入され、^{[ 4 ] [ 5 ]}モーゼス・シェーンフィンケルによって発展させられ、^{[ 6 ] [ 5 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}ハスケル・カリー によってさらに発展させられた。^{[ 8 ] [ 10 ] [ 12 ] [ 13 ]}

アンカリー化はカリー化への双対変換であり、脱機能化の一形態と見なすことができる。関数を受け取る。${\displaystyle f}$戻り値が別の関数である${\displaystyle g}$、新しい関数を生成する${\displaystyle f'}$両方の引数をパラメータとして受け取る${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$結果として、適用が返される。${\displaystyle f}$そしてその後、${\displaystyle g}$これらの議論に対して。このプロセスは反復可能である。

カリー化は、複数の引数を取る関数を扱い、関数が1つの引数しか取らないフレームワークでそれらを使用する方法を提供します。たとえば、一部の解析的手法は、単一の引数を持つ関数にのみ適用できます。実用的な関数は、これよりも多くの引数を取ることがよくあります。フレーゲは、複数の引数を持つ関数を代わりに単一の引数を持つ関数の連鎖に変換できるため、単一の引数の場合の解決策を提供すれば十分であることを示しました。この変換は、現在カリー化として知られているプロセスです。^{[ 14 ]}数学的解析やコンピュータ プログラミングで通常遭遇する可能性のあるすべての「通常の」関数はカリー化できます。ただし、カリー化が不可能なカテゴリがあります。カリー化が可能な最も一般的なカテゴリは、閉じたモノイド カテゴリです。

プログラミング言語の中には、複数の引数を扱う際にほぼ必ずカリー化された関数を用いるものがあります。代表的な例としては、MLやHaskellが挙げられます。これらの言語では、すべての関数が引数を1つだけ持ちます。この特性はラムダ計算から受け継がれたもので、ラムダ計算では複数の引数を持つ関数は通常カリー化された形式で表現されます。

カリー化は部分適用と関連していますが、同じではありません。^{[ 1 ] [ 2 ]}実際には、クロージャのプログラミング技術を使用して、カリー化された関数とともに移動する環境に引数を隠すことで、部分適用と一種のカリー化を実行できます。

「Currying」の「Curry」は、この概念を広く用いた論理学者ハスケル・カリーに由来するが、モーゼス・シェーンフィンケルはカリーより6年前にこの考えを持っていた。^{[ 10 ]}別名「シェーンフィンケル化」も提案されている。^{[ 15 ]}数学の文脈では、この原理は1893年のフレーゲの研究に遡ることができる。^{[ 4 ] [ 5 ]}

「currying」という言葉の考案者は明確ではありません。David Turner は、この言葉はChristopher Stracheyが1967 年の講義ノート「 Fundamental Concepts in Programming Languages 」で造語したと述べていますが^{[ 16 ]}、その資料では概念を「Schönfinkel が考案した装置」として紹介しており、「currying」という用語は使用されていません。一方、Curry は後に高階関数の文脈で言及されています。^{[ 7 ]} John C. Reynolds は1972 年の論文で「currying」を定義しましたが、この用語を造語したとは主張していません。^{[ 8 ]}

カリー化は、まず非公式な定義から始めると最も理解しやすく、その後、さまざまな領域に合わせて形を変えることができます。まず、いくつかの表記法を確立する必要があります。表記法${\displaystyle X\to Y}$は、すべての関数を表します。${\displaystyle X}$に${\displaystyle Y}$。 もし${\displaystyle f}$このような関数では、次のように書きます。${\displaystyle f\colon X\to Y}$。 させて${\displaystyle X\times Y}$の要素の順序対を表す${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれ、すなわち、デカルト積${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$。 ここ、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$これらは集合である場合もあれば、型である場合もあり、あるいは以下で説明するように他の種類のオブジェクトである場合もある。

関数が与えられた場合

${\displaystyle f\colon (X\times Y)\to Z}$、

カリー化によって新しい関数が構築される

${\displaystyle g\colon X\to (Y\to Z)}$。

つまり、${\displaystyle g}$型の引数を取る${\displaystyle X}$そして、型の関数を返します。${\displaystyle Y\to Z}$定義は

${\displaystyle g(x)(y)=f(x,y)}$

のために${\displaystyle x}$タイプの${\displaystyle X}$そして${\displaystyle y}$タイプの${\displaystyle Y}$我々はまたこう書く

$\displaystyle {\text{curry}}(f)=g.}$

アンカリングは逆変換であり、その右随伴関数である関数の観点から最も簡単に理解できます。${\displaystyle \operatorname {適用} 。}$

カリー化と部分関数適用はしばしば混同される。^{[ 1 ] [ 2 ]}両者の重要な違いの1つは、部分適用された関数の呼び出しは、カリー化チェーンの下流にある別の関数ではなく、結果をすぐに返すことである。この違いは、引数の数が2より大きい関数で明確に説明できる。^{[ 25 ]}

型の関数が与えられた場合${\displaystyle f\colon (X\times Y\times Z)\to N}$カレーを作ると${\displaystyle {\text{curry}}(f)\colon X\to (Y\to (Z\to N))}$つまり、最初の関数の評価は次のように表されるかもしれない。${\displaystyle f(1,2,3)}$カリー化された関数の評価は次のように表されます。${\displaystyle f_{\text{curried}}(1)(2)(3)}$各引数を、前の呼び出しで返された単一引数関数に順番に適用します。呼び出し後に注意${\displaystyle f_{\text{curried}}(1)}$すると、引数を 1 つだけ取り、別の関数を返す関数が得られ、引数を 2 つ取る関数は得られません。

対照的に、部分関数適用とは、関数の引数の数を固定して、引数の数が少ない別の関数を生成するプロセスを指します。${\displaystyle f}$上記のように、最初の引数を固定（または「バインド」）して、次の型の関数を生成することができます。${\displaystyle {\text{partial}}(f)\colon (Y\times Z)\to N}$この関数の評価は次のように表すことができます。${\displaystyle f_{\text{partial}}(2,3)}$なお、この場合の部分関数適用の結果は、2つの引数を取る関数になります。

直感的に言えば、部分関数適用とは「関数の最初の引数を固定すると、残りの引数の関数が得られる」ということです。例えば、関数div が除算演算x / yを表す場合、パラメータxを 1 に固定したdiv (つまりdiv 1) は別の関数です。これは、引数の乗法逆数を返す関数inv ( y ) = 1/ yと同じです。 

部分適用の実際的な動機は、関数に引数の一部のみを与えることで得られる関数が非常に有用であることが多いという点にあります。例えば、多くのプログラミング言語には、 に似た関数や演算子がありますplus_one。部分適用を用いることで、これらの関数を簡単に定義できます。例えば、最初の引数として 1 を境界値とする加算演算子を表す関数を作成するなどです。

部分適用は、例えば、固定点でカリー化された関数を評価することと見なすことができる。${\displaystyle f\colon (X\times Y\times Z)\to N}$そして${\displaystyle a\in X}$それから${\displaystyle {\text{curry}}({\text{partial}}(f)_{a})(y)(z)={\text{curry}}(f)(a)(y)(z)}$または単に${\displaystyle {\text{partial}}(f)_{a}={\text{curry}}_{1}(f)(a)}$どこ${\displaystyle {\text{curry}}_{1}}$カリーのfの最初のパラメータ。

したがって、部分適用は固定点におけるカリー化関数に還元される。さらに、固定点におけるカリー化関数は（自明に）部分適用である。さらなる証拠として、任意の関数が与えられた場合、${\displaystyle f(x,y)}$関数${\displaystyle g(y,x)}$は次のように定義される可能性がある。${\displaystyle g(y,x)=f(x,y)}$したがって、部分適用は単一のカレー操作に還元できる。そのため、カレーは、多くの理論的なケースでは再帰的に適用されることが多いが、理論的には（操作として考えると）部分適用と区別できない操作として定義するのがより適切である。

したがって、部分適用とは、ある関数の入力の順序付けに対してカリー演算子を一度適用した結果として得られる客観的な結果と定義できる。

• テンソルホム随伴
• 遅延評価
• クロージャ（コンピュータプログラミング）
• S m n  定理
• 閉じたモノイド圏