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数学の一分野である圏論において、閉圏は特別な種類の圏である。

局所的に小さいでは、外部 hom ( x , y ) は一対のオブジェクトを射の集合に写像します。したがって、集合のカテゴリでは、これはカテゴリ自体のオブジェクトです。同様に、閉じたカテゴリでは、1 つのオブジェクトから別のオブジェクトへの射 (のオブジェクト) は、カテゴリ内にあると見なすことができます。これは内部 hom [ x , y ] です。

すべての閉じたカテゴリには、集合のカテゴリへの忘却関手があり、特に内部 hom を外部 hom に変換します。

閉カテゴリは、いわゆる内部Hom関数を持つカテゴリとして定義できる。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \left[-\ -\right]:{\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}$

左米田矢印付き

${\displaystyle L:\left[B\ C\right]\to \left[\left[A\ B\right]\left[A\ C\right]\right]}$

およびにおいて自然であり、において二重自然であり、の固定オブジェクトが自然同型である${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle i_{A}:A\cong \left[I\ A\right]}$

そして、二自然的変化

${\displaystyle j_{A}:I\to \left[A\ A\right]}$、

すべて特定の一貫性条件を満たしています。

• デカルトの閉カテゴリは閉カテゴリです。特に、任意のトポスは閉じています。標準的な例は集合のカテゴリです。
• コンパクト閉カテゴリは閉カテゴリです。標準的な例は、有限次元ベクトル空間をオブジェクトとして、線型マップを射として持つカテゴリFdVectです。
• より一般的には、任意のモノイド閉カテゴリは閉カテゴリです。この場合、オブジェクトはモノイド単位です。${\displaystyle I}$

• アイレンバーグ、S. ;ケリー、GM (2012) [1966]。「閉じたカテゴリ」。カテゴリ代数に関する会議の議事録。(ラホヤ、1965年。シュプリンガー。pp. 421–562。doi : 10.1007 / 978-3-642-99902-4_22。ISBN 978-3-642-99902-4。
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