リーマン幾何学の基本定理

ここではアインシュタインの総和規約が用いられます。つまり、添え字と上付き文字の両方で繰り返されるインデックスは、すべての値について総和されます。mをMの次元とします。ローカルチャートに関して、接続はm ^{3 つの}滑らかな関数 によって与えられることを思い出してください。$${\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\},}$$ と $${\displaystyle (\nabla _{X}Y)^{i}=X^{j​​}\partial _{j}Y^{i}+X^{j}Y^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}}$$ 任意のベクトル場XおよびYに対して。^{[ 11 ]}接続のねじれフリー性とは、任意のXおよびYに対して∇ _X Y − ∇ _Y X = [ X , Y ]という条件を指します。局所座標で記述すると、これは以下と同等です。 $${\displaystyle 0=X^{j​​}Y^{k}(\Gamma ^{i}{}_{jk}-\Gamma ^{i}{}_{kj}),}$$これは、 XとY の任意性により、条件Γ ⁱ _jk = Γ ⁱ _kjと同等である。^{[ 12 ]}同様に、計量適合性の条件は、条件^{[ 13 ]と同等である。}$${\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\Gamma ^{l}{}_{ki}g_{lj}+\Gamma ^{l}{}_{kj}g_{il}.}$$ このように、ねじれのない条件と計量適合性の条件は、接続に関する線形方程式系として見なすことができ、その系の係数と「右辺」は計量とその1階微分によって与えられることがわかる。リーマン幾何学の基本定理は、この線形系が一意の解を持つことを示していると見なすことができる。これは次の計算によって確認できる。^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}&=\left(\Gamma ^{p}{}_{ij}g_{pl}+\Gamma ^{p}{}_{il}g_{jp}\right)+\left(\Gamma ^{p}{}_{ji}g_{pl}+\Gamma ^{p}{}_{jl}g_{ip}\right)-\left(\Gamma ^{p}{}_{li}g_{pj}+\Gamma ^{p}{}_{lj}g_{ip}\right)\\&=2\Gamma ^{p}{}_{ij}g_{pl}\end{aligned}}}$$ ここでは、最初の等式に計量適合条件が3回使用され、2番目の等式にねじれのない条件が3回使用されます。結果として得られる式は、第1クリストッフェル恒等式として知られています。^{[ 15 ]}計量の逆数g ^klと縮約することで、第2クリストッフェル恒等式が得られます。^{[ 16 ]}$${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right).}$$ これは、ねじれがなく計量に適合する条件の一意性を証明するものです。つまり、そのような接続はすべて上記の式で与えられなければなりません。存在を証明するには、上記の式がねじれがなく計量に適合する接続を定義していることを確認する必要があります。これは直接行うことができます。

上記の証明はベクトル場を用いて表現することもできる。^{[ 17 ]}ねじれフリー性とは、 $${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}$$ メトリック互換性とは、 $${\displaystyle X\left(g(Y,Z)\right)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}$$ ここで、 X、Y、Zは任意のベクトル場である。以前にローカル座標で行われた計算は次のように記述できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}X\left(g(Y,Z)\right)&+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)\\&={\Big (}g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z){\Big )}+{\Big (}g(\nabla _{Y}X,Z)+g(X,\nabla _{Y}Z){\Big )}-{\Big (}g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y){\Big )}\\&=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)\\&=g(2\nabla _{X}Y+[Y,X],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).\end{aligned}}}$$X、Y、Zが座標ベクトル場である 場合、これは直ちに最初のクリストッフェル恒等式に帰着する。上記の式を並べ替えると、コズルの公式または恒等式が得られる。$${\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\left(g(Y,Z)\right)+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}$$これは、任意のZに対してg ( W , Z )がg ( U , Z )と等しい場合、W はUと等しくなければならない ため、ねじれのない計量適合条件の一意性を証明する。これは計量の非退化の結果である。上記の局所的な定式化では、この計量の重要な特性は、g ^klの存在を介して、同じ方法で暗黙的に使用されていた。さらに、同じ推論により、Koszul の公式を使用して、XとYが与えられたときにベクトル場∇ _X Yを定義することができ、これがねじれのない計量適合の接続を定義することを確認するのはルーチンである。^{[ 18 ]}