フーリエ数

熱伝導の研究では、フーリエ数 は、時間と熱拡散の特性時間スケールの比です。この無次元群は、熱伝導の現代的な理解を定式化したJBJ フーリエにちなんで名付けられました。 ^{[1]拡散の時間スケールは、}熱が距離 にわたって拡散するために必要な時間を表します。熱拡散率が である媒体の場合、この時間スケールは であるため、フーリエ数は です。フーリエ数は、またはと表記されることが多いです。^[2]${\displaystyle t}$${\displaystyle t_{d}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle t_{d}=L^{2}/\alpha }$${\displaystyle t/t_{d}=\alpha t/L^{2}}$${\displaystyle \mathrm {Fo} }$${\displaystyle \mathrm {Fo} _{L}}$

フーリエ数は質量拡散の研究にも使用でき、その場合、熱拡散率は質量拡散率に置き換えられます。

フーリエ数は、時間依存の輸送現象の解析に使用され、対流が存在する場合は通常ビオ数と組み合わせて使用​​されます。フーリエ数は、熱方程式の無次元化で自然に生じます。

フーリエ数Foの一般的な定義は以下の通りである^[3]。

$${\displaystyle \mathrm {Fo} ={\frac {\text{time}}{\text{拡散の時間スケール}}}={\frac {t}{t_{d}}}}$$

熱拡散率が の媒体における特性長さスケールでの熱拡散の場合、拡散時間スケールは であり、 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle t_{d}=L^{2}/\alpha }$

$${\displaystyle \mathrm {Fo} _{L}={\frac {\alpha t}{L^{2}}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle \alpha}$熱拡散率（m ² / s）
• ${\displaystyle t}$時間（秒）
• ${\displaystyle L}$伝導が起こる特性長さ（m）

最初は均一な温度 である厚さ の板における過渡的な熱伝導を考えます。板の片側は、時刻 に高温 まで加熱されます。もう一方の側は断熱状態です。物体のもう一方の側で顕著な温度変化が見られるようになるまでに必要な時間が拡散時間 です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{h}>T_{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t_{d}}$

のとき、反対側の温度が変化するのに十分な時間が経過していません。この場合、大きな温度変化は加熱側の近くでのみ発生し、スラブの大部分は温度 のままです。 ${\displaystyle \mathrm {Fo} \ll 1}$${\displaystyle T_{0}}$

のとき、厚さ全体にわたって大きな温度変化が発生します。スラブのどの部分も温度 のままではありません。 ${\displaystyle \mathrm {Fo} \cong 1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T_{0}}$

のとき、スラブが定常状態に近づくのに十分な時間が経過しています。スラブ全体の温度は に近づきます。 ${\displaystyle \mathrm {Fo} \gg 1}$${\displaystyle T_{h}}$

フーリエ数は、時間依存の拡散方程式を無次元化することで導出できる。例として、長さ の棒が、時間と位置（棒の軸に沿って ）で温度 の熱源を印加することで初期温度から加熱されているとする。1つの空間次元 の熱方程式は、次のように適用できる。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{L}>T_{0}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}$$

ここで、 はおよびの温度です。微分方程式は無次元形式にスケーリングできます。無次元温度は と定義され、方程式は で割ることができます。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle 0<x<L}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle \Theta =(T-T_{L})/(T_{0}-T_{L})}$${\displaystyle \alpha /L^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \Theta }{\partial (\alpha t/L^{2})}}={\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial (x/L)^{2}}}}$$

結果として得られる無次元時間変数はフーリエ数 です。拡散の特性時間スケール は、熱方程式のこのスケーリングから直接得られます。 ${\displaystyle \mathrm {Fo} _{L}=\alpha t/L^{2}}$${\displaystyle t_{d}=L^{2}/\alpha }$

フーリエ数は、固体の過渡熱伝導を研究する際の無次元時間としてよく使用されます。2 番目のパラメータであるビオ数は、対流境界条件が熱方程式に適用されたときに無次元化で発生します。 ^[2]フーリエ数とビオ数は、対流加熱または冷却を受ける固体の温度応答を決定します。

類似のフーリエ数は、フィックの拡散の第二法則を無次元化することで導くことができる。その結果得られるのは、次のように定義される質量輸送のフーリエ数である。^[4]${\displaystyle \mathrm {Fo} _{m}}$

$${\displaystyle \mathrm {Fo} _{m}={\frac {Dt}{L^{2}}}}$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathrm {Fo} _{m}}$質量輸送のフーリエ数である
• ${\displaystyle D}$質量拡散率（m ² /s）
• ${\displaystyle t}$時間（秒）
• ${\displaystyle L}$関心のある長さスケール（m）

質量移動フーリエ数は、特定の時間依存の質量拡散問題の研究に適用できます。

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