架空の二成分化学混合物（2つの成分はA とB で表される）の相図。共晶組成、温度、および共晶点を示すために用いられる。（Lは 液体状態を表す。）共晶系または共晶混合物 （ [ 1 、 構成成分の融点よりも低い融点を持つ均一混合物の一種です。[2] 構成 の すべて 混合比 最低を 共晶 温度 と 呼びます 。相図では、共晶温度 は [ 3 ]
非共晶混合物では、各成分の融点が異なります。これは、一方の成分の格子が 他方の成分の格子よりも低い温度で融解するためです。逆に、非共晶混合物が冷却されるにつれて、各成分は異なる温度で格子状に固化し 、最終的に全体が固体になります。したがって、非共晶混合物には、相変化を起こす単一の融点/凝固点温度はなく、液体とスラッシュの間で変化する温度（液相線） と、スラッシュと固体の間で変化するより低い温度（固相線 ）が存在します。
現実世界では、共晶特性は、シリコンチップを 超音波 で金メッキ基板に接合する共晶接合 などのプロセスで有利に利用でき、共晶合金は、はんだ付け、ろう付け、金属鋳造、電気保護、消火スプリンクラーシステム、無毒性の水銀代替品など、多様な用途で価値を発揮します。
共晶 という用語は、1884 年にイギリスの物理学者で化学者のフレデリック・ガスリー (1833–1886) によって造語されました。この言葉はギリシャ語 の εὐ - (eû) 「 井戸 」 と τῆξῐς (têxis) 「 溶ける 」 に由来します。[ 2 ] [ 4 ]
非共晶組成物 共晶点にない共晶系の組成は、亜共晶 または過共晶 に分類できる。
亜共晶 組成とは、共晶組成（E）よりもα種の組成比が高く、β種の組成比が低い組成のことである。過共晶 組成は、共晶組成よりもβ種の組成が高く、α種の組成が低い組成として特徴づけられる。非共晶組成物の温度を下げると、液体混合物は一方の成分が他方の成分よりも先に析出します。過共晶溶液ではβ種のプロユートクトイド相が存在し、亜共晶溶液ではα 種のプロユートク [ 5 ]
種類
合金 共晶合金は 2種類以上の材料から構成され、共晶組成を持つ。非共晶合金が凝固する際、その構成成分は異なる温度で凝固し、塑性融解範囲を示す。一方、十分に混合された共晶合金が溶融する際は、単一の明確な温度で溶融する。特定の合金組成の凝固中に起こる様々な相変態は、その合金の相図上で液相から固相へ垂直線を引くことで理解できる。
共晶合金の用途には以下のようなものがあります。
その他 エタノール－水混合物の固液相変化
強化メカニズム
合金 金属の共晶構造の主な強化機構は複合 強化です（材料の強化機構を 参照）。この変形機構は、2 つの構成相間の荷重伝達によって機能し、より柔軟な相が、より硬い相に応力を伝達します。[ 17 ]
共晶構造の2つ目の調整可能な強化メカニズムは、第二相の間隔です。第二相の間隔を変えることで、共有される相境界を介した2つの相間の接触の割合も変化します。共晶相の間隔を小さくして微細な共晶構造を作ると、2つの構成相間で共有される表面積が増え、より効果的な荷重伝達につながります。[ 18 ] 転位 に対する障壁として機能し、材料をさらに強化します。この強化メカニズムの結果として、粗大な共晶構造は剛性が低く延性が高くなる傾向があり、微細な共晶構造は剛性が高く脆くなります。[ 18 ] [ 19 ]
λ * = 2 γ V m T E Δ H * Δ T 0 {\displaystyle \lambda ^{*}={\frac {2\gamma V_{m}T_{E}}{\Delta H*\Delta T_{0}}}}
どこγ {\displaystyle \gamma } 表面エネルギー であり、V m {\displaystyle V_{m}} は共晶相のモル体積 であり、T E {\displaystyle T_{E}} Δ H {\displaystyle \Delta H} 生成エンタルピー であり、Δ T 0 \displaystyle \Delta T_{0}}
高温での変形に抵抗する金属共晶相の強化（クリープ変形 を参照）は、加えられる応力のレベルに応じて主要な変形メカニズムが変化するため、より複雑です。変形が転位の移動によって支配される高温では、荷重伝達と二次相間隔による強化は、転位の移動に抵抗し続けるため維持されます。ナバロ・ヘリングクリープが支配的な低ひずみでは、共晶相構造の形状とサイズが、空孔拡散が発生する利用可能な境界領域に影響を与えるため、材料の変形において重要な役割を果たします。[ 20 ]
その他の重要なポイント 鉄-炭素相図。オーステナイト（γ）とパーライト間の共析変態を示す。
包晶 金-アルミニウム相図 包晶変態は共晶反応と類似している。ここでは、一定の割合の液相と固相が一定温度で反応し、単一の固相を生成する。固体生成物は2つの反応物の界面に形成されるため、拡散障壁となり、一般的に共晶変態や共析変態よりもはるかにゆっくりと進行する。このため、包晶組成物が凝固する際には、共晶凝固で見られるような層状構造は 現れない。
図の左上隅付近に見られるように、鉄-炭素系にもこのような変化が存在します。これは逆共晶に似ており、δ相が液体と結合して、1,495℃（2,723°F）、炭素含有量0.17%の純粋なオーステナイトを 生成 し ます 。
包晶分解温度では、化合物は融解するのではなく、別の固体化合物と液体に分解します。それぞれの比率はてこの法則 によって決まります。例えば、 Al-Au相図では、 AuAl₂ とAu₂Alの2つの相のみ が が わかります。
最低融点系がすべて「共晶」であるとは限りません。「貧固溶体」という代替案は、一般的な貴金属系である Cu-Ag と Cu-Au を比較することで説明できます。Cu-Ag は、例えばhttps://himikatus.ru/art/phase-diagr1/Ag-Cu.php を参照すればわかるように、真の共晶系です。共晶融点は 780 °C で、固溶限界は重量比で 80 と 912 の純度で、共晶点は 719 です。Cu-Ag は真の共晶であるため、純度が 80 から 912 の間の銀は、正確に 780 °C で固相線に達し、少なくとも部分的に溶融します。純度が正確に 719 の共晶合金は、その正確な温度で液相線に達し、合金全体が溶融するまでそれ以上の温度上昇なしに完全に溶融します。純度が80～912で、正確に719ではない銀は、780℃で固相線に達しますが、部分的に溶融します。その結果、純度が正確に912または正確に80の固体残留物が残りますが、両方の成分が混在することはありません。共晶合金（純度719）が正確に溶融して合金が共晶溶融物と固溶体残留物に分かれるまで、温度上昇なしに一定温度で溶融します。さらに加熱すると、固溶体残留物が溶融物に溶解し、液相線に達して残留物全体が溶解するまで組成が変化します。例えば、Cu-Auのソースコード（https://himikatus.ru/art/phase-diagr1/Au-Cu.php）では、910℃で最低融点が示され、原子数は44とされています。 % Cu は、約 20 重量パーセント Cu に相当し、約 800 の純度の金に相当します。しかし、これは真の共晶ではありません。800 の純度の金は 910 °C で同じ組成の溶融物に溶け、合金全体も同じ温度で溶けます。しかし、違いは最小組成から離れたところで発生します。719 以外の純度の銀 (広い純度範囲で正確に 780 °C で部分的に溶ける) とは異なり、800 以外の純度の金は、合金の純度に応じて、910 °C とは異なる、より高い温度で固相線に達し、部分的に溶け始めます。部分的な溶融により、組成にいくつかの変化が生じます。液体は残りの固体よりも 800 に近い純度になりますが、液体の純度は正確に 800 ではなく、残りの固体の純度は液体の純度に依存します。根本的な理由は、Cu-Agのような共晶系では、液相での溶解度は高いものの、固相での溶解度は限られているためです。そのため、銀-銅合金を凝固させると、実際には純度912の銀と純度80の銀の結晶に分離します。どちらも飽和しており、凝固点である780℃では常に同じ組成になります。したがって、780℃直下の合金は、合金全体の組成に関わらず、まったく同じ組成の2種類の結晶から構成され、それぞれの結晶の相対的な量だけが異なるのです。そのため、どちらか一方の結晶、あるいは両方の結晶がなくなるまで、常に780℃で融解します。一方、Cu-Au系では、すべての組成において、固体状態でも融点において成分が混和します。組成に応じて異なる温度で融解する、あらゆる組成の結晶が存在する可能性があります。しかし、Cu-Au系は「貧弱な」固溶体です。固体中の原子間にはかなりの不整合が存在するが、融点付近では熱運動によるエントロピー変化によって原子が混合され、この不整合は解消される。しかしながら、この不整合は、溶融状態など原子間の適合性が高い相に比べてCu-Au固溶体を不利にし、その結果、融点が構成成分の融点よりも低くなる。
共晶計算 共晶の組成と温度は、各成分の融解エンタルピーと融解エントロピーから計算できる。[ 24 ]
ギブズ自由エネルギーGは 、その微分値に依存する。
G = H − T S ⇒ { H = G + T S （ ∂ G ∂ T ） P = − S ⇒ H = G − T （ ∂ G ∂ T ） P 。 {\displaystyle G=H-TS\Rightarrow {\begin{cases}H=G+TS\\\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}=-S\end{cases}}\Rightarrow H=GT\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}.} したがって、定圧におけるG / T微分値は、次の式で計算されます。
（ ∂ G / T ∂ T ） P = 1 T （ ∂ G ∂ T ） P − 1 T 2 G = − 1 T 2 （ G − T （ ∂ G ∂ T ） P ） = − H T 2 。 {\displaystyle \left({\frac {\partial G/T}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {1}{T}}\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}-{\frac {1}{T^{2}}}G=-{\frac {1}{T^{2}}}\left(GT\left({\frac {\partial G}{\partial T}}\right)_{P}\right)=-{\frac {H}{T^{2}}}.} 化学ポテンシャルμ 私 \displaystyle \mu _{i}}
μ 私 = μ 私 ∘ + R T ln 1 私 1 ≈ μ 私 ∘ + R T ln x 私 。 {\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln {\frac {a_{i}}{a}}\approx \mu _{i}^{\circ }+RT\ln x_{i}.} 平衡状態では、μ 私 = 0 {\displaystyle \mu _{i}=0} μ 私 ∘ {\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}
μ 私 = μ 私 ∘ + R T ln x 私 = 0 ⇒ μ 私 ∘ = − R T ln x 私 。 {\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln x_{i}=0\Rightarrow \mu _{i}^{\circ }=-RT\ln x_{i}.} 使用
（ ∂ μ 私 / T ∂ T ） P = ∂ ∂ T （ R ln x 私 ） ⇒ R ln x 私 = − H 私 ∘ T + K 。 {\displaystyle \left({\frac {\partial \mu _{i}/T}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {\partial }{\partial T}}\left(R\ln x_{i}\right)\Rightarrow R\ln x_{i}=-{\frac {H_{i}^{\circ }}{T}}+K.} 積分定数Kは 、融点を持つ純粋成分について決定することができる。T ∘ \displaystyle T^{\circ }} H ∘ \displaystyle H^{\circ }}
x 私 = 1 ⇒ T = T 私 ∘ ⇒ K = H 私 ∘ T 私 ∘ 。 {\displaystyle x_{i}=1\Rightarrow T=T_{i}^{\circ }\Rightarrow K={\frac {H_{i}^{\circ }}{T_{i}^{\circ }}}.} 各成分について、温度の関数としてモル分率を決定する関係式が得られます。
R ln x 私 = − H 私 ∘ T + H 私 ∘ T 私 ∘ 。 {\displaystyle R\ln x_{i}=-{\frac {H_{i}^{\circ }}{T}}+{\frac {H_{i}^{\circ }}{T_{i}^{\circ }}}.} n 個の成分の混合物は、次のシステムによって記述されます。
{ ln x 私 + H 私 ∘ R T − H 私 ∘ R T 私 ∘ = 0 、 ∑ 私 = 1 n x 私 = 1. {\displaystyle {\begin{cases}\ln x_{i}+{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT_{i}^{\circ }}}=0,\\\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}=1.\end{cases}}} { ∀ 私 < n ⇒ ln x 私 + H 私 ∘ R T − H 私 ∘ R T 私 ∘ = 0 、 ln （ 1 − ∑ 私 = 1 n − 1 x 私 ） + H n ∘ R T − H n ∘ R T n ∘ = 0 、 {\displaystyle {\begin{cases}\forall i<n\Rightarrow \ln x_{i}+{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{i}^{\circ }}{RT_{i}^{\circ }}}=0,\\\ln \left(1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}x_{i}\right)+{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT_{n}^{\circ }}}=0,\end{cases}}} これは、
[ Δ x 1 Δ x 2 Δ x 3 ⋮ Δ x n − 1 Δ T ] = [ 1 / x 1 0 0 0 0 − H 1 ∘ R T 2 0 1 / x 2 0 0 0 − H 2 ∘ R T 2 0 0 1 / x 3 0 0 − H 3 ∘ R T 2 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 0 0 1 / x n − 1 − H n − 1 ∘ R T 2 − 1 1 − ∑ 私 = 1 n − 1 x 私 − 1 1 − ∑ 私 = 1 n − 1 x 私 − 1 1 − ∑ 私 = 1 n − 1 x 私 − 1 1 − ∑ 私 = 1 n − 1 x 私 − 1 1 − ∑ 私 = 1 n − 1 x 私 − H n ∘ R T 2 ] − 1 ⋅ [ ln x 1 + H 1 ∘ R T − H 1 ∘ R T 1 ∘ ln x 2 + H 2 ∘ R T − H 2 ∘ R T 2 ∘ ln x 3 + H 3 ∘ R T − H 3 ∘ R T 3 ∘ ⋮ ln x n − 1 + H n − 1 ∘ R T − H n − 1 ∘ R T n − 1 ∘ ln （ 1 − ∑ 私 = 1 n − 1 x 私 ） + H n ∘ R T − H n ∘ R T n ∘ ] {\displaystyle {\begin{array}{c}\left[{\begin{array}{*{20}c}{\Delta x_{1}}\\{\Delta x_{2}}\\{\Delta x_{3}}\\\vdots \\{\Delta x_{n-1}}\\{\Delta T}\\\end{array}}\right]\ =\ \left[{\begin{array}{*{20}c}{1/x_{1}}&0&0&0&0&{-{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\0&{1/x_{2}}&0&0&0&{-{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\0&0&{1/x_{3}}&0&0&{-{\frac {H_{3}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &{\vdots }\\0&0&0&0&{1/x_{n-1}}&{-{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\\end{array}}\right]^{-1}\!\cdot \ \ \left[{\begin{array}{*{20}c}{\ln x_{1}+{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT_{1}^{\circ }}}}\\{\ln x_{2}+{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT_{2}^{\circ }}}}\\{\ln x_{3}+{\frac {H_{3}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{3}^{\circ }}{RT_{3}^{\circ }}}}\\\vdots \\{\ln x_{n-1}+{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT_{n-1}^{\circ }}}}\\{\ln \left({1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}\right)+{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT_{n}^{\circ }}}}\\\end{array}}\right]\end{array}}}
参考文献 ↑ 「共晶」。Merriam - Webster.com辞書 1032680871 。 1 2 Guthrie, Frederick (1884 年 6 月)。 「LII. 共融性について」 。 ロンドン、エジンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学ジャーナル 。第 5 シリーズ。17 ( 108): 462–482。doi : 10.1080/14786448408627543。p . 462:本稿の主な論点 は 、化合物の存在に依拠しており、その主な特徴は融解温度が 低いことである。この性質は共融性と呼ばれ、共融性を持つ物体は共晶体または共晶（ εὖ τήκειν ）と呼ばれる。 ↑ スミス＆ ハシェミ 2006、326 ～327 ページ ↑ Routledge, R. (1885). "F. Guthrie (1885) による論文「Eutexia」の要約" . Journal of the Chemical Society . 48 (Part II): 329. 1 2 3 Smith & Hashemi 2006 、p. 327 。 ↑ Smith & Hashemi 2006 、pp. 332–333 。 ↑ 黄、劉飛。ハン、イーチェン。太陽、ヤオニン。パタマッタ、ASL スブラマニヤム。ルアン、ジュンファ。王、清。レン、コンコン。周、元峰。リー・ジンフェン。ルアン、ヘンウェイ。 ピーター・K・リアウ ;ルー・ジャン（2025）。 「優れた強度と延性を備えたバーミキュラ共晶多主元素合金」 。 先端科学 。 12 (25) 2501150。 Bibcode : 2025AdvSc..1201150H 。 土井 ： 10.1002/advs.202501150 。 ISSN 2198-3844 。 PMC 12225001 。 PMID 40178222 。 ↑ 「オーバーロードの操作」 。 2015年8月5日 取得 。 ↑ Hanna Sizemore 他 (2025 年 10 月 10 日) 「地球と火星の氷で固められた地盤における液体脈ネットワークの生息地：土壌の形状と塩分の影響☆」 . Icarus . 445 116828. doi : 10.1016/j.icarus.2025.116828 . ↑ Muldrew, Ken; Locksley E. McGann (1997). "Phase Diagrams" . Cryobiology—A Short Course . University of Calgary. 2006-06-15 の オリジナルからアーカイブ済み 。2006-04-29 に 取得 。 ↑ Senese, Fred (1999). 「塩水は凍るとき、真水と同じくらい膨張するのか？」 . Solutions: よくある質問 . Department of Chemistry, Frostburg State University . 2006-04-29 に取得. ↑ 「溶融塩の特性」 。 アルキメデス太陽光発電所の仕様 。2020年4月20日にオリジナルからアーカイブ済み 。 2011年7月15日 に取得。 ↑ ペチャムド、タワッチャイ。トゥンタラウォンサ、サルン。チャロエンスクサイ、プリン（2016年10月）。 「共晶溶媒とイブプロフェン共晶溶液の蒸発挙動と特性評価」 。 AAPSファーマサイエンステック 。 17 (5): 1213–1220 。 土井 : 10.1208/s12249-015-0459-x 。 ISSN 1530-9932 。 PMID 26669887 。 ↑ Fichter, Lynn S. (2000). "火成岩相図" . 火成岩 . ジェームズ・マディソン大学。 2011年6月28日の オリジナルからアーカイブ済み。 2006年4月29日 取得 。 ↑ US 5298062A、& Nicholas, Beatrice M.、「ホットメルトジェットインク用共晶組成物」、1994年3月29日公開、1994年3月29日発行 ↑ ソカス・ロドリゲス、バルバラ。トーレス・コルネホ、モニカ・ヴァネサ。アルバレス・リベラ、ヘラルド。メンディオラ、ホセ A. (2021 年 5 月)。 「天然資源および農業副産物から生理活性化合物を抽出するための深共晶溶媒」 。 応用科学 。 11 (1): 4897. 土井 : 10.3390/app11114897 。 hdl : 10261/253199 。 ISSN 2076-3417 。 ↑ Courtney, TH (1990). 材料の機械的挙動 （第2 版）。ニューヨーク：マグロウヒル。 1 2 Callister, WD (2010). 材料科学と工学：入門 。 ↑ Porter, DA; Easterling, KE; Sherif, MY (2009). 金属および合金の相変態 。 ↑ Wu, T.; Plotkowski, A.; Shyam, A.; Dunand, DC「鋳造された共晶近傍Al-Ce-Ni合金の微細構造とクリープ特性」 Mater. Sci. Eng. A. 833 : 12. ↑ Ballentine, Kim (1996年4月28日). 「鉄-炭化鉄相図の例」 . 2008年2月16日に オリジナル (PDF) からアーカイブ済み。 ↑ IUPAC 、 化学 用語集 、第5版（「ゴールドブック」）（2025年）。オンライン版：（2006年 ～ ）「 ペリテクトイド反応」。doi ： 10.1351/goldbook.P04501↑ Das, Amit; Manna, Indranil; Pabi, SK (1999 年 10 月). "周析変質の数値モデル". Metallurgical and Materials Transactions A . 30 (10). The Minerals, Metals & Materials Society , ASM International : 2563– 2573. Bibcode : 1999MMTA...30.2563D . doi : 10.1007/s11661-999-0295-2 . S2CID 95279944 . ↑ Brunet, Luc E.; Caillard, Jean; André, Pascal (2004 年 6 月). " n 成分共晶混合物の熱力学的計算". International Journal of Modern Physics C . 15 (5). World Scientific: 675– 687. Bibcode : 2004IJMPC..15..675B . doi : 10.1142/S0129183104006121 .
参考文献 スミス、ウィリアム F.、ハシェミ、ジャヴァド (2006)、材料科学と工学の基礎 (第 4 版)、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-295358-9 。
さらに読む Askeland, Donald R.; Pradeep P. Phule (2005).材料の科学と工学 . Thomson-Engineering. ISBN 978-0-534-55396-8 。 イースターリング、エドワード（1992）。金属および合金の相 変態 。CRC。ISBN 978-0-7487-5741-1 。 モーティマー、ロバート・G. (2000).物理化学 . アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-508345-4 。 リード＝ヒル、RE;レザ・アバシアン (1992).物理冶金学の原理 . トムソン・エンジニアリング. ISBN 978-0-534-92173-6 。 サドウェイ、ドナルド （2004）。「相平衡と相図」（PDF） 。3.091固体化学入門、2004年秋 。MITオープンコースウェア。2005年10月20日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2006年4月12日 取得 。
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\left[{\begin{array}{*{20}c}{\Delta x_{1}}\\{\Delta x_{2}}\\{\Delta x_{3}}\\\vdots \\{\Delta x_{n-1}}\\{\Delta T}\\\end{array}}\right]\ =\ \left[{\begin{array}{*{20}c}{1/x_{1}}&0&0&0&0&{-{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\0&{1/x_{2}}&0&0&0&{-{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\0&0&{1/x_{3}}&0&0&{-{\frac {H_{3}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &{\vdots }\\0&0&0&0&{1/x_{n-1}}&{-{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{\frac {-1}{1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}}&{-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT^{2}}}}\\\end{array}}\right]^{-1}\!\cdot \ \ \left[{\begin{array}{*{20}c}{\ln x_{1}+{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{1}^{\circ }}{RT_{1}^{\circ }}}}\\{\ln x_{2}+{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{2}^{\circ }}{RT_{2}^{\circ \{\ln x_{3}+{\frac {H_{3}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{3}^{\circ }}{RT_{3}^{\circ }}}}\\\vdots \\{\ln x_{n-1}+{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n-1}^{\circ }}{RT_{n-1}^{\circ }}}}\\{\ln \left({1-\sum \limits _{i=1}^{n-1}{x_{i}}}\right)+{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT}}-{\frac {H_{n}^{\circ }}{RT_{n}^{\circ }}}}\\\end{array}}\right]\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3b6eb2492daa91e216305cfd18d7e9a6dfd3f6)