非自律システム（数学）

数学において、自律システムとは滑らかな多様体上の動的方程式です。非自律システムとは、上の滑らかなファイバー束 上の動的方程式です。たとえば、非自律力学の場合がこれに該当します。 ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ファイバーバンドル上のr階微分方程式は、ジェットバンドルの閉じたサブバンドルによって表されます。 上の動的方程式は、高次導関数について代数的に解かれる微分方程式です。 ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle J^{r}Q}$${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$

特に、ファイバーバンドル上の1階の動的方程式は、上の何らかの接続の共変微分の核です。上のバンドル座標と1階のジェット多様体上の適応座標が与えられると、1階の動的方程式は次のようになります。 ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (t,q^{i})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle (t,q^{i},q_{t}^{i})}$${\displaystyle J^{1}Q}$

${\displaystyle q_{t}^{i}=\Gamma (t,q^{i}).}$

たとえば、これはハミルトン非自律力学の場合です。

2次動的方程式

${\displaystyle q_{tt}^{i}=\xi^{i}(t,q^{j},q_{t}^{j})}$

上の は、ジェットバンドル 上のホロノミック接続として定義されます。この方程式は、アフィンジェットバンドル上の接続によっても表されます。正準埋め込み により、これはの接線バンドル 上の測地線方程式と同等です。非自律力学における自由運動方程式は、2 次非自律動力学方程式の例です。 ${\displaystyle Q\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle J^{1}Q\to \mathbb {R} }$${\displaystyle J^{1}Q\to Q}$${\displaystyle J^{1}Q\to TQ}$${\displaystyle TQ}$${\displaystyle Q}$

• 自律システム（数学）
• 非自律的なメカニクス
• 自由運動方程式
• 相対論的システム（数学）

• De Leon, M.、Rodrigues, P.、「解析力学における微分幾何学の方法」（North Holland、1989年）。
• Giachetta, G.、Mangiarotti, L.、Sardanashvily, G.、「古典力学と量子力学の幾何学的定式化」（World Scientific、2010） ISBN  981-4313-72-6 （arXiv：0911.0411）。