ベレジニアン

数学と理論物理学において、ベレジニアまたは超行列式は、行列式を超行列の場合に一般化したものです。この名前はフェリックス・ベレジーンにちなんで付けられました。ベレジニアは、超多様体上の積分における座標変換を考慮するときに、行列式と同様の役割を果たします。

ベレジニアンは、次の 2 つの定義特性によって一意に決定されます。

• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }\,}$

ここで、str( X )はXのスーパートレースを表します。古典的な行列式とは異なり、ベレジニアンは可逆なスーパー行列に対してのみ定義されます。

最も単純なケースは、体 Kの要素を持つ超行列のベレジニアンである。このような超行列は、K上の超ベクトル空間の線形変換を表す。特定の偶超行列は、次の形式の ブロック行列である。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}}$

このような行列が可逆であるためには、AとDの両方がK上の可逆行列である必要があります。Xのベレジニアンは次のように与えられます 。

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}}$

負の指数の理由については、奇数の場合の 置換式を参照してください。

より一般的には、超可換代数 Rの要素を持つ行列を考えます。偶超行列は次の形式になります。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

ここで、AとDは偶数要素を持ち、BとCは奇数要素を持つ。このような行列が可逆なのは、AとDの両方が可換環 R ₀（Rの偶数部分代数）内で可逆な場合のみである。この場合、ベレジニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}}$

あるいは、同等に、

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.}$

これらの式は、可換環R ₀に含まれる要素を持つ行列の行列式のみをとっているため、明確に定義されています。行列

${\displaystyle D-CA^{-1}B\,}$

はAのシューア補集合として知られている。${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.}$

奇数行列X は、偶数次元の数が奇数次元の数に等しい場合にのみ逆行列となる。この場合、Xの逆行列可能性はJXの逆行列可能性と等しく、

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}.}$

このとき、 Xのベレジニアンは次のように定義される。

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\operatorname {Ber} (JX)=\det(C-DB^{-1}A)\det(-B)^{-1}.}$

• のベレジニアは常に環R _0の単位です。${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{-1})=\operatorname {Ber} (X)^{-1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{st})=\operatorname {Ber} (X)}$ここで はの転置を表します。${\displaystyle X^{st}}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)}$

自由加群Mの自己準同型の行列式は、Mの 1 次元の最高外冪に対する誘導作用として定義できます。超対称性の場合、最高外冪はありませんが、それでも次のようにベレジニアンの同様の定義が存在します。

M がR上の次元 ( p , q )の自由モジュールであるとする。AをMの双対M *の(超) 対称代数S *( M *) とする。すると、 Mの自己同型がextモジュール に作用する。

${\displaystyle Ext_{A}^{p}(R,A)}$

( qが偶数の場合は次元 (1,0)、奇数の場合は次元 (0,1)になります) をベレジヌス乗法で乗算します。

• ベレジン統合

• ベレジン、フェリクス・アレクサンドロヴィッチ（1966）[1965]、「第二量子化の方法」、純粋および応用物理学、第24巻、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-089450-5、MR  0208930
• ピエール・ドリーニュ、ジョン・W・モーガン (1999)、「超対称性に関する注釈 (ジョセフ・バーンスタインに倣って)」、ピエール・ドリーニュ、パベル・エティンゴフ、ダニエル・S・フリード、リサ・C・ジェフリー、デビッド・カズダン、ジョン・W・モーガン、デビッド・R・モリソン、エドワード・ウィッテン (編)、『量子場と弦: 数学者のためのコース』第 1 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 41–97、ISBN 978-0-8218-1198-6、MR  1701597
• マニン、ユーリ・イワノビッチ（1997）、ゲージ場理論と複素幾何学（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-61378-7