スメイル予想

スメール予想は、スティーブン・スメールにちなんで名付けられたもので、 3次元球面の微分同相群がその等長群である直交群O(4)のホモトピー型を持つという主張である。これは1983年にアレン・ハッチャーによって証明された。^{[ 1 ]}

スメール予想にはいくつかの同値な記述がある。その一つは、3次元空間における円の滑らかな埋め込み空間におけるアンノットの成分が、円のホモトピー型、すなわちO(3)を持つというものである。興味深いことに、この記述は高次元における一般化されたスメール予想とは同値ではない。

別の同義の表現としては、境界上で恒等写像に制限される3次元球の微分同相写像群は可縮である、というものがある。

さらに、これと同等の別の表現として、3次元球面上の定曲率リーマン計量の空間は可縮であるということが挙げられる。

包含に関する（誤った）記述${\displaystyle O(n+1)\to {\text{Diff}}(S^{n})}$はすべての人にとって弱い同値関係である${\displaystyle n}$は、一般化されたスメール予想を指す場合に用いられることがある。${\displaystyle n=1}$これは古典的である。${\displaystyle n=2}$スメイル自身がそれを証明した。^{[ 2 ]}

のために${\displaystyle n\geq 5}$この推測は、以下の理由により誤りである。$\displaystyle {\text{Diff}}(S^{n})/O(n+1)}$契約可能であること。^{[ 3 ]}

2018年後半、渡辺忠之は、ガウス連結積分の一般化であるコンツェビッチ積分に関する研究に基づき、残りの4次元の場合におけるスメール予想の失敗を証明するプレプリントを発表した^{[ 4 ]}。2021年現在、その証明は数学誌には未掲載である。

• 球体バンドル

• ハートネット、ケビン（2021年10月26日）。「渡辺忠之が球体に関する主要な推測をいかにして否定したか」。クアンタマガジン。