幾何学的不変理論

数学において、幾何不変量理論（GIT ）は、代数幾何学における群作用による商を構成する方法であり、モジュライ空間の構築に使用されます。これは、古典的不変量理論の論文（ヒルベルト 1893）のアイデアを使用して、1965 年にデイビッド・マンフォードによって開発されました。

幾何不変理論は、代数多様体（またはスキーム） $X$ への群 $G$ の作用を研究し、合理的な特性を持つスキームとしてXの「商」を形成するための手法を提供します。 1つの動機は、マークされたオブジェクトをパラメータ化するスキームの商として代数幾何学のモジュライ空間を構築することでした。 $1970$ 年代 $と$ 1980年代に、この理論はシンプレクティック幾何学や同変位相との相互作用を発展させ、インスタントンやモノポールなどの微分幾何学のオブジェクトのモジュライ空間を構築するために使用されました。

背景

不変理論は、代数多様体（またはスキーム） $X$ への群 $G$ の群作用を扱う。古典的な不変理論は、 $X$ $=$ $Vが$ ベクトル空間であり、 $Gが有限群、または$ $V$ に線型に作用する古典的なリー群のいずれかである場合の状況を扱う。この作用は、式 $V$ 上の多項式関数 $R$ $（$ $V$ $）$ の空間への $G$ の線型作用を誘導する。

g\cdot f(v)=f(g^{-1}v),\quad g\in G,v\in V.

$V$ への $G$ 作用の多項式不変量は、群の作用による「変数変換」の下で固定される $V$ 上の多項式関数 $f$ であり、 $G$ 内のすべての $G$ に対して $g$ $\cdot$ $f$ $=$ $f と$ なる。これらは可換代数 $A$ $=$ $R$ $($ $V$ $)$ $G$ を形成し、この代数は「不変理論商」 $V$ $//$ $G$ 上の関数の代数として解釈される。なぜなら、これらの関数のいずれも、同等なすべての点に対して同じ値を与えるからである (つまり、すべての $g$ に対して $f$ $($ $v$ $) =$ $f$ $($ $gv$ $)となる)。現代$ 代数幾何学の言語では、

V/\!\!/G=\operatorname {Spec} A=\operatorname {Spec} R(V)^{G}.

この記述から、いくつかの困難が浮かび上がる。最初の困難は、一般線型群の場合にヒルベルトが首尾よく取り組んだもので、代数 $A$ が有限生成であることを証明することである。これは、商をアフィン代数多様体にしたい場合に必要である。同様の事実が任意の群 $Gに対して成り立つかどうかは、$ ヒルベルトの第 14 の問題の主題であり、永田は一般に答えが否定的であることを証明した。一方、20 世紀前半の表現論の発展の過程で、答えが肯定的である大規模な群のクラスが特定された。これらは簡約群と呼ばれ、すべての有限群とすべての古典群が含まれる。

代数 $Aの有限生成は、$ $A$ の完全な記述への第一歩に過ぎず、このより繊細な問題の解決に向けた進歩はむしろ控えめなものでした。不変量は、古典的には限られた範囲の状況でのみ記述されてきましたが、最初のいくつかのケースを超えるこの記述の複雑さは、不変量代数一般の完全な理解にほとんど望みを託しませんでした。さらに、任意の多項式不変量 $f が、$ $V$ 内の与えられた 2 つの点 $u$ と $vで同じ値を取ることがありますが、これらの点は$ $G$ 作用の異なる軌道にあります。簡単な例として、スカラー乗算によって $n$ 次元複素ベクトル空間 $C$ $n$ に作用する、非ゼロ複素数の乗法群 $C$ $*$ が挙げられます。この場合、すべての多項式不変量は定数ですが、作用の異なる軌道が多数存在します。ゼロベクトルはそれ自体で軌道を形成し、任意の非ゼロベクトルの非ゼロ倍は軌道を形成するため、非ゼロ軌道は複素射影空間 $CP$ $n$ $-1$ の点によってパラメータ化されます。これが発生する場合 (異なる軌道が同じ関数値を持つ)、「不変量は軌道を分離しない」と言われ、代数 $A は位相商$ 空間 $X$ $/$ $G$ をかなり不完全に反映します。実際、商位相を持つ後者の空間は、しばしば分離されていません (非ハウスドルフ)。 (これは、私たちの例の場合です。つまり、ヌル軌道は開いていません。なぜなら、ヌルベクトルの任意の近傍には他のすべての軌道の点が含まれるため、商位相では、ヌル軌道の任意の近傍には他のすべての軌道が含まれるからです。) 1893 年にヒルベルトは、不変多項式によってゼロ軌道から分離されていない軌道を決定するための基準を定式化し、証明しました。驚くべきことに、抽象代数学の急速な発展につながった不変量理論におけるヒルベルトの初期の業績とは異なり、この結果がその後 70 年間ほとんど知られず、ほとんど使用されなかった。20 世紀前半の不変量理論の発展の多くは、不変量を使った明示的な計算に関するものであり、いずれにせよ、幾何学ではなく代数の論理に従っていた。

マムフォードの本

幾何学的不変量理論は、1965年に初版が出版されたマンフォードのモノグラフで確立され、発展した。このモノグラフは、ヒルベルトのいくつかの結果を含む19世紀の不変量理論の考え方を現代の代数幾何学の問題に適用したものである。（この本はその後の2版で大幅に拡張され、フォガティとマンフォードによる追加の付録と、キルワンによるシンプレクティック商の章が追加された。）この本では、スキーム理論と例で利用できる計算手法の両方が使用されている。使用されている抽象的な設定は、スキーム $Xに対する$ 群作用である。軌道空間

G\setminus X

つまり、群作用による $X$ の商空間は、抽象的な言葉で説明できる理由により、代数幾何学では困難に陥ります。実際、同値関係が、代数幾何学の核心である（むしろ厳格な）正則関数（多項式関数）とうまく相互作用する一般的な理由は存在しません。考慮すべき軌道空間 $G$ $\$ $X$ $上の関数は、 G$ の作用に対して不変である $X$ 上の関数です。多様体（つまり有理関数）の関数体を使用して直接アプローチできます。つまり、その上のG 不変有理関数を、商多様体の関数体としてとります。残念ながら、これは（双有理幾何学の観点では）答えの第一近似しか与えません。マンフォードは本の序文で次のように述べています。

問題は、結果として得られる双有理クラスのすべてのモデルの集合の中に、何らかのアクションにおける軌道の集合、または何らかのモジュライ問題における代数的オブジェクトの集合を分類する幾何学的点を持つモデルが 1 つあることです。

第5章では、彼はさらに、非常に古典的なタイプのモジュライ問題で取り上げられた特定の技術的問題、すなわち、非特異性（および分極化の必要条件）のみを条件として、すべての代数多様体の大きな「集合」を分類する問題を分離している。モジュライはパラメータ空間を記述することになっている。たとえば、代数曲線の場合、リーマンの時代から、次元の連結成分が存在することが知られていた。

0,1,3,6,9,\dots

種数 $g = 0, 1, 2, 3, 4, \dots$ に従って、モジュライは各成分上の関数です。粗いモジュライ問題では、マンフォードは障害を次のように考えています。

モジュライ空間上の非分離位相（つまり、良好な状態のパラメータが不十分）
無限に多くの既約成分（これは避けられないが、局所的な有限性が保たれる可能性がある）
コンポーネントはトポロジ的には表現できるものの、スキームとしては表現できない。

この理論全体の動機となったのは3番目の点である。マンフォードが言うように、最初の2つの困難が解決されれば

[3番目の質問]は、射影群によるヒルベルトスキームまたはチョウスキームの局所的に閉じた部分集合の軌道空間が存在するかどうかという質問と本質的に同等になります。

これに対処するために、彼は安定性の概念（実際には3つ）を導入した。これにより、以前は危険だった領域を開拓することができた。特にフランチェスコ・セヴェリによって多くのことが書かれていたが、文献の方法には限界があった。双有理的観点では、余次元1のサブセットについて無頓着になることができる。モジュライ空間をスキームとして持つことは、一方ではスキームを表現可能な関数として特徴付ける問題である（グロタンディーク学派が考えるように）が、安定性基準が明らかにしたように、幾何学的にはコンパクト化の問題に近い。非特異多様体への制限は、モジュライ空間としていかなる意味でもコンパクト空間にはつながらない。多様体は特異点を持つように退化することができる。一方、高度に特異な多様体に対応する点は、答えに含めるには明らかに「悪すぎる」。十分に安定して認められる点の正しい中間点は、マンフォードの研究によって分離された。この概念は完全に新しいものではなかった。その特定の側面は、ダヴィト・ヒルベルトが他の分野に移る前の不変理論に関する最終的な考えの中に見出されたからである。

この本の序文では、後にウィリアム・ハブーシュによって証明されたマンフォード予想についても述べられている。

安定性

簡約群 $G が$ ベクトル空間 $Vに線型的に作用する場合、$ $V$ の非零点は

0が軌道の閉区間にある場合は不安定である。
0が軌道の閉区間にない場合は半安定、
軌道が閉じていて、安定子が有限であれば安定します。

これらを述べる同等の方法があります（この基準はヒルベルト・マンフォード基準として知られています）。

非ゼロ点 $xが不安定となるのは、$ $G$ の 1 パラメータ部分群が存在し、その部分群の $x$ に関する重みがすべて正である場合のみです。
ゼロ以外の点 $xが不安定なのは、すべての不変多項式が 0 と$ $x$ で同じ値を持つ場合のみです。
非ゼロ点 $xが半安定となるのは、$ $x$ に関する重みがすべて正である $G$ の 1 パラメータ部分群が存在しないときのみです。
非ゼロ点 $xが半安定となるのは、何らかの不変多項式が 0 と$ $x$ で異なる値を持つ場合のみです。
非ゼロ点 $xが安定するのは、$ $G$ のすべての 1 パラメータ部分群が $x$ に関して正 (および負) の重みを持つ場合のみです。
非ゼロ点 $x$ が安定であるためには、 $x$ の軌道上にないすべての $yに対して、$ $y$ と $x$ で異なる値を持つ不変多項式が存在し、その不変多項式環が超越次数 $dim($ $V$ $) - dim($ $G$ $)$ を持つ必要があります。

$V$ の対応する射影空間の点は、同じ特性を持つ $V$ 内の点の像である場合、不安定、半安定、または安定と呼ばれます。「不安定」は「半安定」の反対語です (「安定」ではありません)。不安定点は射影空間のザリスキ閉集合を形成し、半安定点と安定点は両方ともザリスキ開集合 (空になる可能性あり) を形成します。これらの定義は (Mumford 1977) からのものであり、Mumford の本の初版にある定義と同じではありません。

多くのモジュライ空間は、何らかの群作用による射影空間の何らかの部分集合の安定点の空間の商として構成できます。これらの空間は、半安定点の特定の同値類を追加することでコンパクト化できることがよくあります。異なる安定軌道は商の異なる点に対応しますが、2 つの異なる半安定軌道の閉包が交差する場合、商の同じ点に対応することがあります。

例: (Deligne & Mumford 1969)安定曲線とは、種数 ≥ 2 の縮小連結曲線で、その唯一の特異点が通常の二重点であり、すべての非特異有理成分が他の成分と少なくとも 3 点で交わるものです。種数 $Gの安定曲線のモジュライ空間は、$ $P$ $5$ $g$ $-6$ の曲線のヒルベルトスキームのサブセットをヒルベルト多項式 $(6$ $n$ $- 1)($ $g$ $- 1)$ で割った値を群 $PGL$ $5$ $g$ $-5$ で割ったものです。

例:代数曲線（またはリーマン面）上のベクトル束 $Wが$ 安定ベクトル束となるのは、

\displaystyle {\frac {\deg(V)}{{\hbox{rank}}(V)}}}<{\frac {\deg(W)}{{\hbox{rank}}(W)}}

$W$ のすべての適切な非ゼロ部分束 $V$ に対してであり、この条件が < を ≤ に置き換えて成立する場合、半安定です。

参照

参考文献

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