ヒルベルトの第14の問題

数学において、ヒルベルトの第 14 の問題、すなわち1900 年に提案されたヒルベルトの問題のうちの 14 番目は、特定の代数が有限生成であるかどうかを問うものです。

設定は次の通りである。kを体とし、Kをn変数の有理関数体のサブ体とする。

k ( x ₁ , ..., x _n ) をk上で計算します。

ここで、交差として定義される k代数 Rを考える。

${\displaystyle R:=K\cap k[x_{1},\dots ,x_{n}]\ .}$

ヒルベルトは、そのような代数はすべてk上で有限生成であると予想しました。

特殊な場合や特定の環のクラスにおいてヒルベルトの予想を裏付ける結果がいくつか得られました (特に、この予想は1954 年にザリスキによってn = 1 およびn = 2に対して無条件に証明されました)。その後、1959 年に永田正義がヒルベルトの予想に対する反例を発見しました。永田の反例は、線型代数群の作用に対する適切に構築された不変量の環です。

この問題はもともと代数的不変量理論で生じたものである。ここで環Rは、多項式環k [ x ₁ , ..., x _n ] (またはより一般的には、体上に定義された有限生成代数) に代数的に作用する体k上の線型代数群の多項式不変量の (適切に定義された) 環として与えられる。この状況では、体K は代数群の与えられた作用に対して不変な変数x _iの有理関数 (多項式の商)の体であり、環Rは作用に対して不変な多項式の環である。19 世紀の古典的な例としては、特殊線型群SL ₂ ( k )が自然に作用する 2 変数の2 値形式の不変量に​​関する広範な研究 (特にケイリー、シルベスター、クレプシュ、ポール・ゴードン、ヒルベルトによる)が挙げられる。ヒルベルト自身は、いくつかの古典的な半単純リー群（特に複素数上の一般線型群）と多項式環上の特定の線型作用、すなわちリー群の有限次元表現から生じる作用について、複素数体の場合の不変環の有限生成を証明した。この有限性の結果は、後にヘルマン・ワイルによってすべての半単純リー群のクラスに拡張された。ヒルベルトの証明の主要な要素は、不変量によって生成される多項式環内の イデアルに適用されたヒルベルト基底定理である。

ザリスキによるヒルベルトの第 14 の問題の定式化は、体k上の準 アフィン代数多様体 Xに対して、X が正規または滑らかであると仮定した場合、 X上の正則関数の環がk上で有限生成されるかどうかを問うものです。

ザリスキの定式化は、 Xが正規分布している場合、元の問題と同等であることが^[1]で示されました。（ザリスキの有限性定理も参照。）

Éfendiev FF (Fuad Efendi)は、r次のn元形式の不変量の基底を生成する対称アルゴリズムを提供した。^[2]

永田（1960）はヒルベルトの問題に対する次の反例を示した。体kは素体上で代数的に独立な48個の元a _{1 i} , ..., a _{16 i}（i =1, 2, 3）を含む体である。環Rは32個の変数の多項式環k [ x ₁ ,..., x ₁₆ , t ₁ ,..., t ₁₆ ]である。ベクトル空間Vは、i =1, 2, 3に対して 3 つのベクトル ( a _{1 i} , ..., a _{16 i} ) のそれぞれに直交するk ^{16のすべてのベクトル (} b ₁ , ..., b ₁₆ )から構成される、 k 上の 13 次元ベクトル空間です。ベクトル空間Vは、加法に関して 13 次元の可換ユニポレント代数群であり、その要素は、すべての要素t _jを固定し、x _jをx _j + b _j t _jにすることによってRに作用します。すると、群Vの作用に対して不変なRの要素の環は​​、有限生成k代数ではありません。

永田の例における群とベクトル空間のサイズを縮小した著者は数人いる。例えば、Totaro (2008)は、任意の体上でGの和の作用が存在することを示した。³
_a不変量環が有限生成でない k 18^上の加法群の 3 つのコピー。

• 局所冪零導出

文献

• 永田 正義(1960) [1958]、「ヒルベルトの第 14 問題について」、Proc. International Congress Math. 1958、ケンブリッジ大学出版局、pp. 459–462、MR  0116056、2011-07-17 にオリジナルからアーカイブ
• 永田 正義(1965)、「ヒルベルトの第 14 問題に関する講義」(PDF)、タタ基礎研究所数学講義、第 31 巻、ボンベイ: タタ基礎研究所、MR  0215828
• トタロ、バート (2008)、「有限体上のヒルベルトの第 14 問題と曲線の円錐に関する予想」、Compositio Mathematica、144 (5): 1176–1198、arXiv : 0808.0695、doi :10.1112/S0010437X08003667、ISSN  0010-437X、MR  2457523
• O. Zariski、Interpretations algebrico-geometriques du quatorzieme questione de Hilbert、Bulletin des Sciences Mathematiques 78 (1954)、155–168 ページ。

脚注