ココンパクト埋め込み

数学において、ココンパクト埋め込みは、コンパクト性と似ているが、より弱い特定の性質を持つノルムベクトル空間の埋め込みである。ココンパクト性は、1980年代から数学的解析において使用されてきたが、特定の名前で呼ばれることはなく^[1] (補題6)、^[2] (補題2.5)、^{[3] (定理1)、または}消失補題や逆埋め込みなどのアドホックな呼び名で呼ばれることもなかった。^[4]

ココンパクト性により、問題における並進不変性またはスケーリング不変性に基づいてシーケンスの収束を検証することができ、通常はソボレフ空間のコンテキストで考慮されます。ココンパクト埋め込みという用語は、ココンパクト位相空間の概念に触発されています。

をノルムベクトル空間上の等長変換の群と します。すべての数列 に対して数列がゼロに弱収束 する場合、数列は-弱収束するといいます。${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{k})\subset X}$${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G}$${\displaystyle (g_{k})\subset G}$${\displaystyle g_{k}(x_{k}-x)}$

2つのノルムベクトル空間の連続埋め込みは、すべての弱収束する列 が で収束する とき、 上の 等長変換群に対してココンパクトと呼ばれる。^[5]${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (x_{k})\subset X}$${\displaystyle Y}$

空間をそれ自身に埋め込むことは、シフトの群に対してココンパクトです。実際、 、 がゼロに弱収束するシーケンスである場合 、の任意 の選択に対して となります。特に、となるような を選択でき、これは においてとなることを意味します。 ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{nj}),j\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle (x_{n})^{(k)}}$${\displaystyle k=1,2,\dots }$${\displaystyle G}$${\displaystyle x_{n_{k}}^{(k)}\to 0}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle 2|x_{n_{k}}^{(k)}|\geq \sup _{n}|x_{n}^{(k)}|=\|(x_{n})^{ (k)}\|_{\infty }}$${\displaystyle (x_{n})^{(k)}\to 0}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

• ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} )\hookrightarrow \ell ^{q}(\mathbb {Z} )}$、、に対する並進の作用に関連して：^[6]。${\displaystyle q<p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{n})\mapsto (x_{nj}),j\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle H^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb {R} ^{N})}$、、、は、に対する翻訳の作用に関連している。^[1]${\displaystyle p<q<{\frac {pN}{Np}}}$${\displaystyle N>p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• ${\displaystyle {\dot {H}}^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{\frac {pN}{Np}}(\mathbb {R} ^{N})}$、 、 上の拡大と移動の作用の積群に対する相対的な値。^{[2] [3] [6]}${\displaystyle N>p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$
• モーザー・トルーディンガーの場合のソボレフ空間を対応するオルリッチ空間に埋め込むもの。^[7]
• Besov 空間と Triebel-Lizorkin 空間の埋め込み。^[8]
• ストリヒャルツ空間の埋め込み^[4]