本質的下限と本質的上限

数学では、本質的下限と本質的上限の概念は、下限と上限の概念に関連していますが、測度論と関数解析に適応されています。これらの分野では、集合内のすべての要素に対して有効ではなく、ほとんどすべての場所で有効である命題、つまり測度がゼロの集合を除いて有効である命題を扱うことがよくあります。

正確な定義はすぐには分かりにくいが、直感的には、関数の本質的な上限とは、測度ゼロの点における関数の挙動を無視して、あらゆる点で関数の値以上となる最小の値である。例えば、関数を考えると、${\displaystyle f(x)}$それは、を除くすべての場所でゼロに等しい。${\displaystyle x=0}$どこ${\displaystyle f(0)=1,}$すると、関数の上限は 1 になります。ただし、(ルベーグ測度の下で) 関数が次の単一点で何をするかを無視できるため、その本質的な上限は 0 です。${\displaystyle f}$特異なことである。本質的最小値も同様に定義される。

測度論的な問題でよくあるように、本質的な上限と下限の定義は、関数が何であるかを問うことから始まるわけではない。${\displaystyle f}$特定の時点で${\displaystyle x}$（つまり、${\displaystyle f}$）ではなく、点の集合を要求することによって${\displaystyle x}$どこ${\displaystyle f}$特定の値に等しい${\displaystyle y}$（つまり、${\displaystyle y}$下${\displaystyle f}$)

させて${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$集合上で定義された実数値関数とする${\displaystyle X.}$関数の上限${\displaystyle f}$以下の特性によって特徴づけられる。${\displaystyle f(x)\leq \sup f\leq \infty }$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$そしてもし一部の人にとって$\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$我々は持っています${\displaystyle f(x)\leq a}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X}$それから${\displaystyle \sup f\leq a.}$ より具体的には、実数${\displaystyle a}$は上限と呼ばれます${\displaystyle f}$もし${\displaystyle f(x)\leq a}$すべての人々のために${\displaystyle x\in X;}$つまり、セットが $${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}}$$空 です。 $${\displaystyle U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}\,}$$ 上限の集合とする${\displaystyle f}$空集合の下限を次のように定義する。${\displaystyle \inf \varnothing =+\infty .}$そして至高の${\displaystyle f}$は $${\displaystyle \sup f=\inf U_{f}.}$$ 定義により、上限の集合が${\displaystyle U_{f}}$空です、私たちは${\displaystyle \sup f=+\infty }$。

さらに、${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$は測度空間であり、簡略化のため、関数は${\displaystyle f}$は測定可能である。上限と同様に、関数の本質的上限は次の性質によって特徴付けられる。${\displaystyle f(x)\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \infty }$のために${\displaystyle \mu }$-ほぼすべて${\displaystyle x\in X}$そしてもし一部の人にとって$\displaystyle a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$我々は持っています${\displaystyle f(x)\leq a}$のために${\displaystyle \mu }$-ほぼすべて${\displaystyle x\in X}$それから${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a.}$より具体的には、${\displaystyle a}$と呼ばれる本質的な上限${\displaystyle f}$測定可能な集合が${\displaystyle f^{-1}(a,\infty )}$は、${\displaystyle \mu }$-測定ゼロ、^{[ a ]}つまり、${\displaystyle f(x)\leq a}$のために${\displaystyle \mu }$-ほぼすべて${\displaystyle x}$で${\displaystyle X.}$させて $${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R}$$ :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}} を 本質的な上限の集合とする。すると、本質的至高は、同様に次のように定義される。 $${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }}$$ もし${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing ,}$そして${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$さもないと。

定義するのとまったく同じ方法での最高値としての必須下限値本質的な下限s、つまり、 $${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R}$$ :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}} 本質的下限の集合が空でない場合、そして${\displaystyle -\infty }$そうでなければ、別の表現として ${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{a\in \mathbb {R} :f(x)\geq a{\text{ほとんどすべての }}x\in X\}}$ （これは${\displaystyle -\infty }$セットが空の場合）。

実数直線上で、ルベーグ測度とその対応するσ代数を考える。${\displaystyle \Sigma .}$関数を定義する${\displaystyle f}$式により $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

この関数の上限（最大値）は5、下限（最小値）は-4です。ただし、この関数はこれらの値をとるのは集合上のみです。${\displaystyle \{1\}}$そして${\displaystyle \{-1\},}$それぞれ、測度がゼロである。それ以外の場所では、関数は値2をとる。したがって、この関数の本質的上限と本質的下限はどちらも2である。

別の例として、関数を考えてみましょう。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbb {Q} }$は有理数を表します。この関数は上からも下からも有界ではないため、その上限と下限は${\displaystyle \infty }$そして${\displaystyle -\infty ,}$それぞれ。しかし、ルベーグ測度の観点から見ると、有理数の集合は測度ゼロです。したがって、本当に重要なのは、この集合の補集合で何が起こるかであり、そこで関数は次のように与えられます。${\displaystyle \arctan x.}$したがって、本質的な至高は${\displaystyle \pi /2}$本質的な最小値は${\displaystyle -\pi /2.}$

一方、関数を考えてみましょう。${\displaystyle f(x)=x^{3}}$すべての実数に対して定義される${\displaystyle x.}$その本質的な至高は${\displaystyle +\infty ,}$そしてその本質的な最小値は${\displaystyle -\infty .}$

最後に、関数について考えてみましょう。 $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$$ そして、どんな${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$など${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }=\varnothing }$そして${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty .}$

もし${\displaystyle \mu (X)>0}$それから $${\displaystyle \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \inf f~\leq ~\operatorname {ess} \sup f~\leq ~\sup f.}$$ それ以外の場合は、${\displaystyle X}$測定値がゼロの場合^{[ 1 ]}$${\displaystyle +\infty ~=~\operatorname {ess} \inf f~\geq ~\operatorname {ess} \sup f~=~-\infty .}$$

もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$測定可能であれば、

$${\displaystyle \operatorname {ess\,sup} (f+g)\leq \operatorname {ess\,sup} f+\operatorname {ess\,sup} g}$$

そして

$${\displaystyle \operatorname {ess\,inf} (f+g)\geq \operatorname {ess\,inf} f+\operatorname {ess\,inf} g.}$$

もし${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$測定可能であり、${\displaystyle f\leq g}$ほぼどこでも、それから

$${\displaystyle \operatorname {ess\,sup} f\leq \operatorname {ess\,sup} g}$$

そして

$${\displaystyle \operatorname {ess\,inf} f\leq \operatorname {ess\,inf} g.}$$

2 つの関数の本質的な上限が${\displaystyle f}$そして${\displaystyle g}$両方とも非負である場合、 ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)~\leq ~(\operatorname {ess} \sup f)\,(\operatorname {ess} \sup g).}$

関数の本質的上限は、本質的上限の下限であるだけでなく、それらの最小値でもある。本質的下限についても同様の結果が成り立つ。

測度空間が与えられた場合${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu ),}$スペース​${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$ほとんど至るところで有界なすべての可測関数から構成される空間は、半ノルム空間であり、その半ノルムは$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {ess} \sup |f|&{\text{ if }}0<\mu (S),\\0&{\text{ if }}0=\mu (S),\end{cases}}}$$ は、関数の絶対値の本質的な上限です。${\displaystyle \mu (S)\neq 0.}$^{[ b ]}

• エッセンシャルシリーズ
• ${\displaystyle L^{p}}$空間– 有限次元pノルム空間を一般化した関数空間 

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