トレース演算子

この段落はエヴァンス^{[ 2 ]}に倣っており、より詳細な情報はそちらを参照されたい。${\textstyle \Omega }$持っている${\textstyle C^{1}}$-境界。^{[ a ]}リプシッツ領域に対するトレース定理の証明（より強力なバージョン）はガリアルドの文献に見られる。^{[ 1 ]} a${\textstyle C^{1}}$-領域では、トレース演算子は演算子の連続的な線形拡張として定義できます。

${\displaystyle T:C^{\infty }({\bar {\Omega }})\to L^{p}(\partial \Omega )}$

宇宙へ${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$密度によって​${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$で${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$このような拡張は、${\textstyle T}$に関して連続である${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$-ノルム。これの証明、つまり存在する${\textstyle C>0}$（に応じて${\textstyle \Omega }$そして${\textstyle p}$) のように

${\displaystyle \|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}}$すべての人々のために${\displaystyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$、

はトレース演算子の構築における中心的な要素です。 のこの推定値の局所的な変種は、${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$-関数は、発散定理を用いて局所的に平坦な境界に対して最初に証明される。変換により、一般的な${\textstyle C^{1}}$-境界を局所的に直線化して、この場合に縮小することができます。${\textstyle C^{1}}$変換の正則性は、局所的な推定が成り立つことを要求する。${\textstyle C^{1}({\bar {\Omega }})}$-関数。

トレース演算子のこの連続性により${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$拡張${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$抽象的な議論によって存在し、${\textstyle Tu}$のために${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$は次のように特徴づけられる。${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$近似する数列である${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )}$密度によって。証明された連続性によって${\textstyle T}$で${\textstyle C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$シーケンス${\textstyle u_{k}|_{\partial \Omega }}$はコーシー列である${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$そして${\textstyle Tu=\lim _{k\to \infty }u_{k}|_{\partial \Omega }}$制限は${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$。

拡張プロパティ${\textstyle Tu=u|_{\partial \Omega }}$保持する${\textstyle u\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$構造上、しかしどのような${\textstyle u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$数列が存在する${\textstyle u_{k}\in C^{\infty }({\bar {\Omega }})}$これは一様に収束する${\textstyle {\bar {\Omega }}}$に${\textstyle u}$より大きなセットで拡張特性を検証する${\textstyle W^{1,p}(\Omega )\cap C({\bar {\Omega }})}$。

もし${\textstyle \Omega }$境界があり、${\textstyle C^{1}}$-境界が存在する場合、モレーの不等式により連続埋め込みが存在する${\textstyle W^{1,\infty }(\Omega )\hookrightarrow C^{0,1}(\Omega )}$、 どこ${\textstyle C^{0,1}(\Omega )}$はリプシッツ連続関数の空間を表す。特に、任意の関数${\textstyle u\in W^{1,\infty }(\Omega )}$古典的な痕跡がある${\textstyle u|_{\partial \Omega }\in C(\partial \Omega )}$そして、

${\displaystyle \|u|_{\partial \Omega }\|_{C(\partial \Omega )}\leq \|u\|_{C^{0,1}(\Omega )}\leq C\|u\|_{W^{1,\infty }(\Omega )}.}$

トレース演算子は全射ではない${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$もし${\textstyle p>1}$つまり、すべての関数が${\textstyle L^{p}(\partial \Omega )}$関数のトレースは${\textstyle W^{1,p}(\Omega )}$以下に詳述するように、この画像は、${\textstyle L^{p}}$-ヘルダー連続性のバージョン。

のために${\textstyle p=1}$トレース演算子のイメージは${\textstyle L^{1}(\partial \Omega )}$そして、そこには^{[ 1 ]}が成り立つ。

${\displaystyle T\colon W^{1,1}(\Omega )\to L^{1}(\partial \Omega )}$

は全射かつ有界な線形作用素である。

これまでの結果の多くは、${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$より高い識別性${\textstyle m=2,3,\ldots }$ドメインが十分に規則的である場合。${\textstyle N}$外部単位法線場を表す${\textstyle \partial \Omega }$。 以来${\textstyle u|_{\partial \Omega }}$法線方向の微分特性のみ接線方向でエンコード可能${\textstyle \partial _{N}u|_{\partial \Omega }}$トレース理論にとってさらに興味深いのは${\textstyle m=2}$同様の議論は、より高次の導関数にも適用されます。${\textstyle m>2}$。

させて${\textstyle 1<p<\infty }$そして${\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$境界領域である${\textstyle C^{m,1}}$-境界。すると^{[ 3 ]}全射で有界な高階線形トレース演算子が存在する。

${\displaystyle T_{m}\colon W^{m,p}(\Omega )\to \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )}$

ソボレフ＝スロボデツキー空間${\textstyle W^{s,p}(\partial \Omega )}$非整数の場合${\textstyle s>0}$定義済み${\textstyle \partial \Omega }$平面ケースへの変換を通して${\textstyle W^{s,p}(\Omega ')}$のために${\textstyle \Omega '\subset \mathbb {R} ^{n-1}}$その定義は、ソボレフ・スロボデツキー空間に関する記事で詳しく説明されている。演算子${\textstyle T_{m}}$古典的な正規トレースを拡張するという意味で、

${\displaystyle T_{m}u=\left(u|_{\partial \Omega },\partial _{N}u|_{\partial \Omega },\ldots ,\partial _{N}^{m-1}u|_{\partial \Omega }\right)}$すべての人々のために${\textstyle u\in W^{m,p}(\Omega )\cap C^{m-1}({\bar {\Omega }}).}$

さらに、有界な線形右逆行列が存在する。${\textstyle T_{m}}$、高階トレース拡張演算子^{[ 3 ]}

${\displaystyle E_{m}\colon \prod _{l=0}^{m-1}W^{m-l-1/p,p}(\partial \Omega )\to W^{m,p}(\Omega )}$。

最後に、スペース${\textstyle W_{0}^{m,p}(\Omega )}$の完了${\textstyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}$で${\textstyle W^{m,p}(\Omega )}$-ノルムは、カーネルとして特徴づけられる。${\textstyle T_{m}}$[ ^{3 ]}すなわち^​

${\displaystyle W_{0}^{m,p}(\Omega )=\{u\in W^{m,p}(\Omega )\mid T_{m}u=0\}}$。

範囲の特性${\textstyle T}$は、${\textstyle Tu=g}$規則性を保つ${\textstyle g\in H^{1/2}(\partial \Omega )}$は必要である。この正則性は弱解の存在にも十分であり、それは次のように見ることができる。トレース拡張定理により、${\textstyle Eg\in H^{1}(\Omega )}$そのため${\textstyle T(Eg)=g}$定義する${\textstyle u_{0}}$による${\textstyle u_{0}=u-Eg}$私たちはそれを持っています${\textstyle Tu_{0}=Tu-T(Eg)=0}$そしてこうして${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$特徴付けによって${\textstyle H_{0}^{1}(\Omega )}$トレースゼロの空間として。関数${\textstyle u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega )}$すると積分方程式を満たす

${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u_{0}\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }\nabla (u-Eg)\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f\varphi \,\mathrm {d} x-\int _{\Omega }\nabla Eg\cdot \nabla \varphi \,\mathrm {d} x}$すべての人々のために${\textstyle \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega )}$。

したがって、不均一な境界値の問題は次のようになります。${\textstyle u}$均質な境界値を持つ問題に還元できる可能性がある。${\textstyle u_{0}}$これは、任意の線形微分方程式に適用できる手法である。リース表現定理により、一意解が存在する。${\textstyle u_{0}}$この問題に対して。分解の一意性により${\textstyle u=u_{0}+Eg}$これは、唯一の弱解が存在することと同等である。${\textstyle u}$非均質境界値問題へ。

依存性を調査する必要がある${\textstyle u}$の上${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$。 させて${\textstyle c_{1},c_{2},\ldots >0}$は、${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$継続的な依存により${\textstyle u_{0}}$積分方程式の右辺には、

${\displaystyle \|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}\leq c_{1}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\right)}$

そしてそれを利用して${\textstyle \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{2}\|u_{0}\|_{H_{0}^{1}(\Omega )}}$そして${\textstyle \|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{3}\|g\|_{H^{1/2}(\Omega )}}$トレース拡張演算子の連続性により、次のことが導かれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\|u\|_{H^{1}(\Omega )}&\leq \|u_{0}\|_{H^{1}(\Omega )}+\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\leq c_{1}c_{2}\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+(c_{3}+c_{1}c_{2})\|Eg\|_{H^{1}(\Omega )}\\&\leq c_{4}\left(\|f\|_{H^{-1}(\Omega )}+\|g\|_{H^{1/2}(\partial \Omega )}\right)\end{aligned}}}$

そして解決策マップ

${\displaystyle H^{-1}(\Omega )\times H^{1/2}(\partial \Omega )\ni (f,g)\mapsto u\in H^{1}(\Omega )}$

したがって、連続的である。