数学用語
数学 において 、 リー群 Gの 随伴表現 （または 随伴作用 ） は、群の要素を、 ベクトル空間 とみなされる 群の リー代数の 線型変換 として表現する方法です。たとえば、 G が実 n 行n 列の可逆行列 のリー群 で ある場合、随伴表現は、可逆な n 行n 列 行列を、 次のように定義される のすべての線型変換のベクトル空間の 自己準同型 に送る群 準 同型です 。
グ ら （ ん 、
R
）
{\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}
グ
{\displaystyle g}
R
ん
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
x ↦ グ x
グ
− 1
{\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}
任意のリー群に対して、この自然な 表現は 、共役 によって G の 作用を線型化 (つまり、 の 微分を とる) することによって得られます。随伴表現は、 任意の 体上の 線型代数群 に対して定義できます 。
意味 Gを リー 群 とし 、
Ψ
:
G
→
Aut
(
G
)
{\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}
写像 g ↦ Ψ g 、Aut( G )は G の 自己同型群 、 Ψ g : G → G は 内部自己同型 （共役）
によって与えられる
Ψ
g
(
h
)
=
g
h
g
−
1
.
{\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}
この Ψ は リー群準同型 です。
G の 各 g について、 Ad g を 原点における
Ψ g の 微分 として定義します。
Ad
g
=
(
d
Ψ
g
)
e
:
T
e
G
→
T
e
G
{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}
ここで、 d は 微分であり、は 原点 eにおける 接空間 である （ eは群 G の単位元 ）。 はリー群の自己同型なので、Ad g は リー代数の自己同型 、すなわち、 リー括弧 を 保存する から へ の可逆な 線型変換で ある 。 さらに、 は群準同型なので、 も群準同型である。 [1] したがって、写像
g
=
T
e
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}
Ψ
g
{\displaystyle \Psi _{g}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
↦
Ψ
g
{\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}
g
↦
Ad
g
{\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
,
g
↦
A
d
g
{\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}
はG の 随伴表現 と呼ばれる 群表現 です 。
G が 一般線型群の 浸漬リー部分群 (浸漬線型リー群と呼ばれる)である 場合 、リー代数は 行列で構成され、 指数写像は 小さな演算子ノルムを持つ行列 X の行列指数です。 における の導関数を計算します 。 G の g と の小さな X に対して 、曲線は t = 0で 導関数を持ち 、次の式が得られます。
G
L
n
(
C
)
{\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
exp
(
X
)
=
e
X
{\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}
Ψ
g
{\displaystyle \Psi _{g}}
e
{\displaystyle e}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
t
→
exp
(
t
X
)
{\displaystyle t\to \exp(tX)}
X
{\displaystyle X}
Ad
g
(
X
)
=
(
d
Ψ
g
)
e
(
X
)
=
(
Ψ
g
∘
exp
(
t
X
)
)
′
(
0
)
=
(
g
exp
(
t
X
)
g
−
1
)
′
(
0
)
=
g
X
g
−
1
{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}
ここで、右側には行列の積があります。 が閉じた部分群（つまり、 Gが行列リー群）である場合、この式は G 内のすべての g と 内のすべての X に対して有効です 。
G
⊂
G
L
n
(
C
)
{\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
簡単に言えば、随伴表現は、 G の単位元周りの G の共役作用に関連付けられた 等方性表現 です。
広告の派生語 常に、単位元での導関数を取ることによって、
リー群 G の表現から そのリー代数の表現 に移行することができます。
随伴写像の微分をとる
A
d
:
G
→
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
単位元におけるは、 G の リー代数の 随伴表現 を与える。
g
=
Lie
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
a
d
:
g
→
D
e
r
(
g
)
x
↦
ad
x
=
d
(
Ad
)
e
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}
ここで は のリー代数であり、 の 微分代数 と同一視できる 。
D
e
r
(
g
)
=
Lie
(
Aut
(
g
)
)
{\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}
A
u
t
(
g
)
{\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
a
d
x
(
y
)
=
[
x
,
y
]
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}
全ての に対して成り立ち 、右辺は ベクトル場 のリー括弧 によって与えられる（誘導される） 。実際、 [2] を G 上の左不変ベクトル場のリー代数として見ると 、 の括弧は次のように与えられること を思い出す とよい： [3] 左不変ベクトル場 X 、 Y に対して、
x
,
y
∈
g
{\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
[
X
,
Y
]
=
lim
t
→
0
1
t
(
d
φ
−
t
(
Y
)
−
Y
)
{\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}
ここで、 は X によって生成される フロー を表します 。 結局のところ、 は 、両辺がフローを定義する同じ常微分方程式を満たすため、ほぼ となります。 つまり、 は による右乗算を表します 。 一方、 は 連鎖律 により 、
φ
t
:
G
→
G
{\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}
φ
t
(
g
)
=
g
φ
t
(
e
)
{\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}
φ
t
=
R
φ
t
(
e
)
{\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}
R
h
{\displaystyle R_{h}}
h
∈
G
{\displaystyle h\in G}
Ψ
g
=
R
g
−
1
∘
L
g
{\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}
Ad
g
(
Y
)
=
d
(
R
g
−
1
∘
L
g
)
(
Y
)
=
d
R
g
−
1
(
d
L
g
(
Y
)
)
=
d
R
g
−
1
(
Y
)
{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}
Y は左不変なので 、
[
X
,
Y
]
=
lim
t
→
0
1
t
(
Ad
φ
t
(
e
)
(
Y
)
−
Y
)
{\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}
、 それは示す必要があったものです。
したがって、は、 以下の§ リー代数の随伴表現で定義されているものと同じである。Adとadは 指数写像 を介して関連付けられている。具体的には、リー代数内のすべての xに対して、Ad exp( x ) = exp(ad x )である 。 [4] これは、リー群とリー代数準同型を指数写像を介して関連付ける一般的な結果の結果である。 [5]
a
d
x
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}
G がはめ込み線形リー群である 場合、上記の計算は次のように単純化される。確かに、先に述べたように、 したがって 、
Ad
g
(
Y
)
=
g
Y
g
−
1
{\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}}
g
=
e
t
X
{\displaystyle g=e^{tX}}
Ad
e
t
X
(
Y
)
=
e
t
X
Y
e
−
t
X
{\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}}
。 これを で微分すると 、次のようになります。
t
=
0
{\displaystyle t=0}
ad
X
Y
=
X
Y
−
Y
X
{\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}
。 一般の場合も線型の場合から演繹できます。実際、は G と同じリー代数を持つはめ込み線型リー群とします。すると、 G の単位元での Ad の導関数 と G ' の単位元での Ad の導関数は一致するため、一般性を失うことなく、 G は G ' であると想定できます 。
G
′
{\displaystyle G'}
大文字/小文字の表記は文献で広く使用されています。したがって、たとえば、 代数のベクトル x は 、 群 Gの ベクトル場 X を 生成します。同様に、 のベクトルの 随伴写像 ad x y = [ x , y ]は、 多様体 として考えられた 群 G上のベクトル場の リー微分 L X Y = [ X , Y ] に 準同型です [ 説明が必要 ] 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
さらに 指数写像の微分 を参照してください。
リー代数の随伴表現 をある体上のリー代数とする。 リー代数の 元 xが与えられたとき、 x の随伴作用を 写像として
定義する。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad
x
:
g
→
g
with
ad
x
(
y
)
=
[
x
,
y
]
{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}
の すべての y に対して成り立つ。これは 随伴自己準同型 または 随伴作用 と呼ばれる。（ は と表記されることが多い 。）括弧は双線型なので、これは 線型写像を決定する。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad
x
{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}
ad
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {ad} (x)}
ad
:
g
→
g
l
(
g
)
=
(
End
(
g
)
,
[
,
]
)
{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}
x ↦ ad x によって与えられます 。 End 内では 、括弧は定義により、2つの演算子の交換子によって与えられます。
(
g
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}})}
[
T
,
S
]
=
T
∘
S
−
S
∘
T
{\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}
ここで、は 線型写像の合成を表す。上記の括弧の定義を用いると、 ヤコビ恒等式は
∘
{\displaystyle \circ }
[
x
,
[
y
,
z
]
]
+
[
y
,
[
z
,
x
]
]
+
[
z
,
[
x
,
y
]
]
=
0
{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}
形式は
(
[
ad
x
,
ad
y
]
)
(
z
)
=
(
ad
[
x
,
y
]
)
(
z
)
{\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}
ここで、 x 、 y 、 z は の任意の要素です 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
この最後の恒等式は、 ad がリー代数準同型、つまり括弧を括弧に写す線型写像であることを示しています。したがって、 ad は リー代数の表現 であり、代数の 随伴表現 と呼ばれます 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
が有限次元であり 、その基底が選択されると、 は 正方行列のリー代数となり、その合成は 行列の乗算 に対応します。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
l
(
g
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}
よりモジュール理論的な言語では、構文は が それ自身のモジュールであることを示します。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ad の核は の 中心 です(これは定義を言い換えただけです)。一方、 の各要素 z に対して、線形写像は ライプニッツの法則 に従います 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
δ
=
ad
z
{\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}
δ
(
[
x
,
y
]
)
=
[
δ
(
x
)
,
y
]
+
[
x
,
δ
(
y
)
]
{\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}
代数内のすべてのx と y に対して 成り立つ (ヤコビ恒等式の言い換え)。つまり、 ad z は 微分 であり 、 ad による の像は Der の部分代数 、つまり のすべての微分空間である 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
(
g
)
{\displaystyle ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
がリー群G のリー代数である 場合、 ad は G の単位元における Ad の微分です 。
g
=
Lie
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
ライプニッツの公式 に似た次の公式がある 。スカラー とリー代数要素の場合 、
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
x
,
y
,
z
{\displaystyle x,y,z}
(
ad
x
−
α
−
β
)
n
[
y
,
z
]
=
∑
i
=
0
n
(
n
i
)
[
(
ad
x
−
α
)
i
y
,
(
ad
x
−
β
)
n
−
i
z
]
.
{\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}
構造定数 随伴表現の明示的な行列要素は代数の 構造定数 によって与えられる。つまり、{e i }を代数の 基底ベクトル の集合とし 、
[
e
i
,
e
j
]
=
∑
k
c
i
j
k
e
k
.
{\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}
そして、ad e i の行列要素は
次のように与えられる。
[
ad
e
i
]
k
j
=
c
i
j
k
.
{\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}
したがって、例えば、 su(2)の随伴表現は so(3) の定義表現である 。
例 Gが n 次元の アーベル である 場合、 G の随伴表現は 自明な n 次元表現です。 G が 行列リー群 （つまり の閉部分群） である 場合、そのリー代数は 、リー括弧（つまり の部分代数）の交換子を持つ n × n 行列の代数です。この場合、随伴写像は Ad g ( x ) = gxg −1 で与えられます 。
G
L
(
n
,
C
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}
g
l
n
(
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}
Gが SL(2, R ) ( 行列式 が 1である実数 2×2 行列) である 場合、 G のリー代数は トレース が 0である実数 2×2 行列で構成されます。この表現は、バイナリ (つまり 2 変数) の 二次形式 の空間への線形置換による G の作用によって与えられる表現と同等です 。
プロパティ 次の表は定義で言及されているさまざまなマップの特性をまとめたものである。
随伴表現による G の 像 はAd( G ) と表記される。 Gが 連結で あれば 、 随伴表現の 核は G の 中心である Ψ の核と一致する。したがって、連結リー群 G の随伴表現が 忠実 である ためには、 G が中心を持たない必要がある。より一般的には、 G が連結でなけれ
ば、随伴写像の核は G の 恒等成分 G 0 の 中心化子となる。 第一同型定理 により、
A
d
(
G
)
≅
G
/
Z
G
(
G
0
)
.
{\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}
有限次元の実リー代数 が与えられた場合 、 リーの第 3 定理 により、リー代数が の随伴表現の像である 連結リー群 (つまり ) が存在します。これは の 随伴群 と呼ばれます。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Int
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Lie
(
Int
(
g
)
)
=
ad
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
ここ
で、 が連結リー群 G のリー代数である場合 、 は G の随伴表現の像です 。
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
Int
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}
Int
(
g
)
=
Ad
(
G
)
{\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}
半単純リー群の根 G が 半単純 である場合、 随伴表現の 非ゼロの 重みは ルートシステム を形成する。 [6] （一般に、先に進む前にリー代数の複素化に進む必要がある。）これがどのように機能するかを見るために、 G = SL( n , R )の場合を考える。対角行列の群 diag( t 1 , ..., t n )を 最大トーラス T としてとることができる 。T の元による共役 は
[
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
a
n
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
↦
[
a
11
t
1
t
2
−
1
a
12
⋯
t
1
t
n
−
1
a
1
n
t
2
t
1
−
1
a
21
a
22
⋯
t
2
t
n
−
1
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
t
n
t
1
−
1
a
n
1
t
n
t
2
−
1
a
n
2
⋯
a
n
n
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}
したがって、 T は G のリー代数の対角部分に自明に作用し 、 さまざまな非対角要素に固有ベクトル t i t j −1 を作用させます。G の根は重み diag( t 1 , ..., t n ) → t i t j −1です。これは、 G = SL n ( R )の根系を e i − e j の形式のベクトルの集合として標準的に記述することを説明しています 。
例 SL(2, R) リー群の最も単純なケースの1つに対するルートシステムを計算する場合、行列式が1である2次元行列の群SL(2, R )は、次の形式の行列の集合から構成されます。
[
a
b
c
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}
ここで、 a 、 b 、 c 、 dは 実数 であり、 ad − bc = 1です。
最大コンパクト連結アーベルリー部分群、または最大トーラス T は、次の形式のすべての行列の部分集合によって与えられる。
[
t
1
0
0
t
2
]
=
[
t
1
0
0
1
/
t
1
]
=
[
exp
(
θ
)
0
0
exp
(
−
θ
)
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}
である 。最大トーラスのリー代数は、行列
t
1
t
2
=
1
{\displaystyle t_{1}t_{2}=1}
[
θ
0
0
−
θ
]
=
θ
[
1
0
0
0
]
−
θ
[
0
0
0
1
]
=
θ
(
e
1
−
e
2
)
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}
SL(2, R )の元を 最大トーラスの元と
共役にすると、
[
t
1
0
0
1
/
t
1
]
[
a
b
c
d
]
[
1
/
t
1
0
0
t
1
]
=
[
a
t
1
b
t
1
c
/
t
1
d
/
t
1
]
[
1
/
t
1
0
0
t
1
]
=
[
a
b
t
1
2
c
t
1
−
2
d
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}
マトリックス
[
1
0
0
0
]
[
0
0
0
1
]
[
0
1
0
0
]
[
0
0
1
0
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}
は、固有値を持つ共役演算の「固有ベクトル」です 。 を与える関数 Λ は、 乗法特性、つまり、群のトーラスから基礎となる体 R への準同型です。 θ を与える関数 λ は、行列の範囲によって与えられる重み空間を持つリー代数の重みです。
1
,
1
,
t
1
2
,
t
1
−
2
{\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}
t
1
2
{\displaystyle t_{1}^{2}}
特性の乗法性と重みの線形性を示すことは満足のいくものです。さらに、Λ の微分を使用して重みを作成できることが証明されます。SL(3, R ) の場合を検討することも教育的です。
変種と類似品 随伴表現は、 任意の体上の 代数群に対しても定義できます。 [ 説明が必要 ]
共 随伴表現 は随伴表現の 反随伴表現 である。 アレクサンドル・キリロフは、 共随伴表現における任意のベクトルの 軌道は シンプレクティック多様体 であることを観察した。 軌道法 として知られる 表現論 の哲学 （ キリロフ指標公式 も参照）によれば、リー群 Gの既約表現は、共随伴軌道によって何らかの方法でインデックス付けされるはずである。この関係は 、冪零リー群 の場合に最も近い 。
参照 随伴バンドル – 随伴表現によって任意の主バンドルに関連付けられたリー代数バンドル Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
注記
^ 実際、 連鎖律 によれば、
Ad
g
h
=
d
(
Ψ
g
h
)
e
=
d
(
Ψ
g
∘
Ψ
h
)
e
=
d
(
Ψ
g
)
e
∘
d
(
Ψ
h
)
e
=
Ad
g
∘
Ad
h
.
{\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.}
^ 小林・野水 1996年、41ページ ^ 小林＆野水 1996、命題 1.9. ^ ホール 2015 提案 3.35 ^ ホール 2015 定理 3.28 ^ ホール 2015 セクション 7.3
参考文献 
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2c3163e2fc6e4dbfb7b63b1ce6f2af936b47d1)
![{\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbe9f909bd97a70fd4dc1c4708b8b95650347cd)
![{\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c7012a98cc3072de49aad460164b6327fa9a9b)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121f2f8284ca408c1eb3d24a9a5041a769b5f935)
![{\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b5e5f07367c605accbdc025b3d95e232764955)
![{\displaystyle [T,S]=T\circ SS\circ T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817deb1087b510bd4b89acd6e94902d9a9ea2a72)
![{\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23655a62f2a7cc545f121d9bcc30fe2c56731457)
![{\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03033688ecfa882481ea623ade592e849e1c91e2)
![{\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87aef094b6b41ea9f7592abc397e6c714b87f7d)
![{\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{ni}z\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e8e7a5b77d30561ac83b2fcaa9fbb5495e354b8)
![{\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bbd6608d189fa0eba25ebe91791535356d84c1)
![{\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a743d23dd87c9e4012b424b09bdb24ca9ddfbf4)
