分割リー代数

リー理論の数学分野では、分裂リー代数はペアである。${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})}$どこ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$はリー代数であり、${\displaystyle {\mathfrak {h}}<{\mathfrak {g}}}$は分割カルタン部分代数であり、「分割」とは、すべての に対して が成り立つことを意味する。${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$、${\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}x}$は三角化可能である。リー代数が分割を許容する場合、それは分割可能なリー代数と呼ばれる。^{[ 1 ]}簡約リー代数の場合、カルタン部分代数は中心を含む必要があることに注意。

複素数体のような代数的に閉じた体上では、すべての半単純リー代数は分割可能であり（実際、カルタン部分代数は三角化可能な行列によって作用するだけでなく、さらに強いことに、対角化可能な行列によって作用する）、すべての分割は共役である。したがって、分割リー代数は、代数的に閉じていない体にとって最も興味深いものである。

分割リー代数は、複素リー代数の分割実形式を形式化することと、任意の体上の分割半単純リー代数（より一般的には分割還元リー代数）が、代数的に閉じた体上の半単純リー代数と多くの性質を共有していること（例えば、本質的に同じ表現論を持つこと、分割カルタン部分代数が代数的に閉じた体上のカルタン部分代数と同じ役割を果たすこと）の両方において興味深い。これは、例えば（Bourbaki 2005 ）で採用されているアプローチである。

• 代数的に閉じた体上では、すべてのカルタン部分代数は共役です。代数的に閉じていない体上では、一般にすべてのカルタン部分代数が共役であるとは限りませんが、分割可能な半単純リー代数においては、すべての分割カルタン代数は共役です。
• 代数的に閉じた体上では、すべての半単純リー代数は分割可能である。
• 代数的に閉じていない体上には、分割不可能な半単純リー代数が存在する。^{[ 2 ]}
• 分割可能なリー代数では、分割しないカルタン部分代数が存在する可能性がある。 ^{[ 3 ]}
• 分割可能なリー代数と分割可能なリー代数内のイデアルの直和は分割可能である。

複素半単純リー代数の分割実形式は次のとおりです。^{[ 6 ]}

• ${\displaystyle A_{n},{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle B_{n},{\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n+1}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle C_{n},{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {sp}}_{n}(\mathbf {R} )}$
• ${\displaystyle D_{n},{\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbf {C} ):{\mathfrak {so}}_{n,n}(\mathbf {R} )}$
• 例外的なリー代数：${\displaystyle E_{6}、E_{7}、E_{8}、F_{4}、G_{2}}$実形E I、E V、E VIII、F I、Gが分離している。

これらは、複素リー群の分割実群のリー代数である。

注意してください。${\displaystyle {\mathfrak {sl}}}$そして${\displaystyle {\mathfrak {sp}}}$実形式は、同じ代数群の（リー代数の）実点であり、一方、${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$群SOはコンパクトであるため、（最大不定指数を持つ）分割形式を使用する必要がある。

• コンパクトリー代数
• 実形
• 分割複素数
• 分割直交群