最高重量の定理

数学の一分野である表現論において、最高重み定理は、複素半単純リー代数の既約表現を分類する。^{[1] [2]}連結コンパクトリー群の既約表現を分類する、密接に関連する定理がある。^[3]この定理は、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \lambda \mapsto [V^{\lambda }]}$

「優勢な積分元」の集合から、またはの既約表現の同値類の集合へ。 2 つの結果の違いは、優勢な積分元の定義における「積分」の正確な概念にあります。 が単連結である場合、この違いは消えます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

この定理はもともとエリー・カルタンが1913年の論文で証明した。 ^[4]コンパクト・リー群の定理のバージョンはヘルマン・ワイルによるものである。この定理は半単純リー代数の表現論の重要な要素の1つである。

をカルタン部分代数を持つ有限次元半単純複素リー代数とする。を関連するルート系とする。 このとき、要素が整的であるとは ^[5]言う。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$

${\displaystyle 2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}}$

は各根 に対して整数です。次に、正の根の集合を選び、すべての に対してであるとき、その元は優勢であるといい、 であると同時に優勢であるとき、その元は優勢整数であるといい、 であると同時に優勢整数であるといい、 およびが に含まれるとき、 が非負の実数係数を持つ正の根の線形結合として表現できる とき^[6]よりも高いと言います。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle R^{+}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0}$${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \lambda -\mu}$

の表現の重みがの他のどの重みよりも大きい場合、その表現の重みは 最高重みと呼ばれます。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle V}$

最高重量の定理は次のように述べている: ^[2]

• が の有限次元既約表現である場合、 は一意の最大重みを持ち、この最大重みは優勢積分です。${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$
• 2 つの有限次元既約表現の最高重みが同じである場合、それらは同型です。
• 各支配的な積分要素に対して、最も高い重みを持つ有限次元の既約表現が存在します。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$

最も難しい部分は最後の部分、つまり、規定された最高の重みを持つ有限次元の既約表現の構築です。

をリー代数 を持つ連結コンパクトリー群とし、を の複素化とする。を を持つ最大トーラスとする。するとはのカルタン部分代数となり、関連するルート系 を形成することができる。理論はリー代数の場合とほぼ同じように進むが、重要な違いが1つある。それは、整数の概念が異なるということである。具体的には、要素が解析的に整数であるとは ^[7]いう。${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle \langle \lambda ,H\rangle }$

は常に整数である

${\displaystyle e^{2\pi H}=I}$

ここで はの単位元である。解析的に積分な元はすべてリー代数の意味で積分であるが^[8]、リー代数の意味での積分元の中には解析的に積分でないものがあるかもしれない。この区別は、 が単連結でない場合、の表現から来ない の表現が存在する可能性があるという事実を反映している。一方、が単連結である場合、「積分」と「解析的に積分」の概念は一致する。^[3]${\displaystyle I}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

^[9]の表現に対する最高重みの定理は、リー代数の場合と同じであるが、「積分」が「解析的に積分」に置き換えられている。 ${\displaystyle K}$

少なくとも 4 つの証拠があります。

• ヘルマン・ワイルによるコンパクト群の観点からのオリジナルの証明^[10]は、ワイル指標公式とピーター・ワイル定理に基づいています。
• Verma 加群の理論には最高重み定理が含まれています。これは、多くの標準的な教科書 (たとえば、Humphreys および Hall のパート II) で採用されているアプローチです。
• ボレル・ヴェイユ・ボットの定理は、豊富な直線束の全体的セクションの空間として既約表現を構築します。その結果、最高重み定理が生まれます。(このアプローチでは、かなりの量の代数幾何学を使用しますが、非常に迅速に証明できます。)
• 不変理論的アプローチ: 標準表現のテンソル冪の部分表現として既約表現を構築します。このアプローチは本質的に H. Weyl によるもので、古典群に対して非常にうまく機能します。

• リー代数の有限次元表現の分類
• 連結コンパクトリー群の表現論
• 半単純リー代数の表現理論における重み

• ディクスミア、ジャック (1996) [1974]、「包絡代数」、Graduate Studies in Mathematics、第 11 巻、プロビデンス、RI:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-0560-2、MR  0498740
• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666
• ハンフリーズ、ジェームズ E. (1972a)、リー代数と表現論入門、ビルクハウザー、ISBN 978-0-387-90053-7。